Математические понятия (стр. 3 из 4)
а) рассматриваются конкретные примеры;
б) выделяются существенные свойства;
в) формулируется определение;
г) выполняются упражнения: на распознавание; на конструирование;
д) работа над свойствами, не включёнными в определение;
е) применение свойств.
Например: тема – параллелограммы:
а)  | |
 |  |
1, 3, 5 – параллелограммы.
б) существенные признаки: четырёхугольник, попарная параллельность сторон.
в) распознавание, построение:
г) найти (построить) четвёртую вершину параллелограмма (* - задача №3, ст.96, Геометрия 7-11 класс: Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в трёх заданных точках, не лежащих на одной прямой? Постройте их.).
д) другие свойства:
AC и BD пересекаются в точке О и АО=ОС, ВО=ОD; АВ=СD, AD=BC.
е)
А= С, В= D. 
BAD
Закрепление: решение задач №4-23, стр.96-97, Геометрия 7-11, Погорелов.
Перспективное значение:
а) используется при изучении и определении прямоугольника и ромба;
б) принцип параллельности и равенства отрезков, заключённых между параллельными прямыми в теореме Фалеса;
в) понятие параллельного переноса (вектора);
г) свойство параллелограмма используется при выводе площади треугольника;
д) параллельность и перпендикулярность в пространстве; параллелепипед; призма.
Абстрактно-дедуктивный метод
Сущность:
а) определение понятия:
- квадратное уравнение;б) выделение существенных свойств: х – переменная; a, b, c – числа; а≠0 при
в) конкретизация понятия:
- приведенное; примеры уравнений 
г) упражнения: на распознавание, на конструирование;
д) изучение свойств, не включённых в определение: корни уравнения и их свойства;
е) решение задач.
В школе абстрактно-дедуктивный способ применяется тогда, когда новое понятие полностью подготовлено изучением предыдущих понятий, в том числе изучением ближайшего родового понятия, а видовое отличие нового понятия весьма простое и понятное учащимся.
Например: определение ромба после изучения параллелограмма.
Кроме того, указанный метод используется:
1) при составлении “родословной” определения понятия:
Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые.
Параллелограмм – это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.
Четырёхугольник – фигура, которая состоит из четырёх точек и четырёх последовательно соединяющих их отрезков.
Иначе говоря, родословная представляет собой цепочку понятий, построенных через обобщения предыдущего понятия, финалом которой является неопределяемое понятие (напомним, что в курсе школьной геометрии к таковым относятся точка, фигура, плоскость, расстояние (лежать между));
2) классификация;
3) применяется к доказательствам теорем и решению задач;
4) широко используется в процессе актуализации знаний.
Рассмотрим этот процесс, представленный системой задач:
а) Дан прямоугольный треугольник со сторонами 3см и 4см. Найти длину медианы, проведённой к гипотенузе.
б) Доказать, что медиана, проведённая из вершины прямого угла треугольника, равна половине гипотенузы.
в) Доказать, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, проведёнными к гипотенузе.
г) На продолжении наибольшей стороны АС треугольника АВС отложен отрезок СМ, равный стороне ВС. Доказать, что
АВМ тупой.В большинстве случаев в школьном преподавании применяется конкретно-индуктивный способ. В частности, таким методом вводятся понятия в пропедевтических циклах начал алгебры и геометрии в 1-6 классах, причём многие определяющие понятия вводятся описательно, без строгих формулировок.
Незнание учителем различных методов введения определений приводит к формализму, который проявляется следующим образом:
а) учащиеся затрудняются применить определения в непривычной ситуации, хотя и помнят его формулировку.
Например: 1) считают функцию
- чётной, т.к. “cos” – чётная;2)
- не понимают связь между монотонностью функции и решением неравенства, т.е. не могут применять соответствующие определения, в которых основной приём исследования состоит в оценке знака разности значений функции, т.е. в решении неравенства.б) учащиеся обладают навыками решения задач какого-либо типа, но не могут объяснить, на основании каких определений, аксиом, теорем они выполняют те или иные преобразования.
Например: 1)
- преобразовать согласно этой формуле 
и 
2) представьте, что на столе – модель четырёхугольной пирамиды. Какой многоугольник будет основанием этой пирамиды, если модель положить на стол боковой гранью? (четырёхугольник).Процесс формирования знаний, умений и навыков не ограничивается сообщением новых знаний.
Эти знания должны быть усвоены и закреплены.
6. Методика обеспечения усвоения математических понятий (предложений)
1. Формулировки многих определений (теорем, аксиом) учащимся понятны, легко запоминаются после небольшого числа повторений, поэтому целесообразно в начале предложить их запомнить, а затем научить применять к решению задач.
Метод, при котором процессы запоминания определений и формирования навыков их применения протекают у учащихся неодновременно (раздельно), называют раздельным.
Раздельный метод используется при изучении определений хорды, трапеции, чётной и нечётной функции, теорем Пифагора, признаков параллельности прямых, теоремы Виета, свойств числовых неравенств, правил умножения обыкновенных дробей, сложения дробей с одинаковыми знаменателями и т.д.
Методика:
а) учитель формулирует новое определение;
б) учащиеся класса для запоминания повторяют его 1-3 раза;
в) отрабатывается на упражнениях.
2. Компактный метод состоит в том, что учащиеся читают по частям математическое определение или предложение и по ходу чтения одновременно выполняют упражнение.
Читая формулировку несколько раз, они попутно запоминают её.
Методика:
а) подготовка математического предложения к применению. Определение разбивается на части по признакам, теорема – на условие и заключение;
б) образец действий, предлагаемый учителем, который показывает, как работать с подготовленным текстом: читаем его по частям и одновременно выполняем упражнения;
в) учащиеся по частям читают определение и одновременно выполняют упражнения, руководствуясь подготовленным текстом и образцом учителя;
Например: определение биссектрисы в пятом классе:
1) введение понятия проводится методом целесообразных задач на модели угла;
2) выписывается определение: “Луч, выходящий из вершины угла и делящий его на две равные части, называется биссектрисой угла ”;
3) выполняется задание: указать, какие из линий на чертежах являются биссектрисами углов (равные углы обозначаются одинаковым числом дуг).
На одном из чертежей учитель показывает применение определения (см. дальше);
4) работа продолжается учениками.
3. Комбинация раздельного и компактного метода: после вывода нового правила оно повторяется 2-3 раза, а затем учитель требует в процессе выполнения упражнений формулировать правило по частям.
4. Алгоритмический метод используется для формирования навыков применения математических предложений.
Методика: математические предложения заменяются алгоритмом. Читая поочередно указания алгоритма, ученик решает задачу. Таким образом у него формируется навык применения определения, аксиомы и теоремы. При этом допускается либо последующее заучивание определения, либо прочтение вместе с алгоритмом и самого определения.
Основные этапы метода:
а) подготовка к работе списка указаний, который либо дается в готовом виде, с последующим разъяснением, либо учащиеся подводятся к его самостоятельному составлению;