Графические работы на уроках стереометрии в средней школе (стр. 6 из 11)
Пример 2: На рисунке изображены три попарно пересекающиеся прямые, которые пересекают плоскость α. Верно ли сделан рисунок? (рис. 3)
Решение: При внимательном изучении рисунка видно, что прямые а, b и c лежат в одной плоскости (используется аксиома задания плоскости).Прямые а, b и c пересекают плоскость α по прямой, на которой лежат точки А, В и С (аксиома пересечения плоскостей). Но по чертежу видно, что через точки А, В и С невозможно провести единственной прямой. Следовательно, рисунок сделан неверно.
4.1.3. Задания на вычленение фигуры из состава других фигур
чертежа
Очень часто чертеж представляет собой не одну (однородную) фигуру, а их совокупность. Для решения задачи не все фигуры одинаково значимы. Необходимо зрительно выделить эту фигуру из состава других, мысленно ее «подчеркнуть»; удержать в образе, чтобы работать с ней. Для этого необходимо фиксировать внимание не на всех, а лишь на отдельных фигурах; причем на разных этапах решения задачи может происходить как бы смена «фигуры и фона»: те фигуры, которые рассматривались как значимые для решения задачи, должны сменяться другими. Для этого ученику нужно от них отвлечься, чтобы перейти к другим. Необходимы специальные упражнения, обеспечивающие возможность не только продуктивного выделения фигуры из фона, но и динамической смены их (то, что было «фоном» становится «фигурой», и наоборот). Такие задания полезны как в целях дифференциации учащихся, так и для развития у них умения последовательно, логично, обоснованно переходить в образах от одной фигуры к другой, подобно тому, как они учатся строго, логично, последовательно словесно излагать свои мысли. Переход от одной фигуры к другой в образах должен быть аргументирован опознаванием существенных признаков, детерминирован требованиями задачи.
Такие задания можно составить на любом материале, используя различные геометрические фигуры как двух-, так и трехмерные. Они предполагают смену анализа фигур: переход от одних к другим, отвлечение от остальных.
Пример 3: Назовите по рисунку (рис. 4):
1.Плоскости, в которых лежат прямые РЕ, МК, DВ, АВ, АС;
2.Точки пересечения прямой DК с плоскостью АВС, прямой СЕ с плоскостью АDВ.
Решение:1.
2.
4.1.4. Задания на сравнение фигур чертежа
Эти задания также требуют произвольного внимания, обеспечивающего гибкий переход от одних элементов к другим, с целью их сравнения по заданным признакам.
Такие задания требуют знания существенных признаков; фиксации внимания на двух или более фигурах; мысленного сопоставления их элементов; опознания на них существенных признаков, объединение фигур на основе их сходства и различия с целью вычленения общего признака, т.е. установления в образах определенной логической связи.
Сравнение элементов чертежа может осуществляться двумя путями. Первый путь — установление того, является ли данный объект элементом определенного множества объектов или нет (задача подведения под «понятие», осуществляемая в образной форме). Второй путь — установление принадлежности данного объекта одному из классов заданного множества объектов (задача на классификацию). И в том, и в другом случае выявляются, а также развиваются определенные логические операции, но осуществляются они над образами, ведь при этом имеет место мысленное воссоздание или видоизменение элементов чертежа, хотя исходный чертеж не изменяется. Происходит зрительная актуализация существенных признаков, выявление их логической структуры, мысленная проверка наличия этих признаков у рассматриваемой фигуры, их опознание.
Пример 4 (задача на классификацию): Сумма всех ребер параллелепипеда АВСDА1В1С1D1 равна 120 см. Найдите каждое ребро параллелепипеда, если известно, что
; 
(рис. 5). 
Решение: Используется свойство равенства противолежащих сторон граней – параллелограммов. Тогда 
см. Найдем искомое в задаче: 
; 
Отсюда
.4.1.5. Задания на построение недостающих фигур чертежа в ходе
решения задачи
В геометрии очень много заданий, требующих дополнительных построений. Они основаны на тщательном анализе исходных элементов чертежа, определении их существенных (по условию задачи) признаков, причем этот анализ идет в мысленном плане (элементы чертежа сравниваются зрительно). На этой основе возникает догадка о необходимости введения нового элемента и только после этого осуществляется его построение. Такие задания развивают у ученика «образную» логику. Ведь решение о дополнительном построении возникает не сразу, а после тщательного анализа элементов исходного чертежа, сопоставления их со словесными условиями задачи, выработки некоторой стратегии решения и как результат — выполнение построения на основе вычленения и обоснования недостающего данного (или их совокупности), что открывает путь к решению задачи, позволяет переосмыслить исходный чертеж.
Рассмотрев все элементы чертежа, определив их существенные (понятийные) признаки, ученик должен «расширить» круг необходимых данных, для чего и делается дополнительное построение. Оно может быть результатом «слепых» проб, когда ученик без достаточного анализа задачи делает те или иные построения — легко отказывается от одних и переходит к другим. Но построение может быть строго логически обосновано результатом решения задачи (ее отдельного этапа). Это нетрудно установить, наблюдая за работой ученика над задачей.
Задания на расширение данных чертежа путем:
а) дополнительных построений;
б) «переосмысливания», т.е. мысленного «включения» в другую фигуру, имеют большую диагностическую ценность.
Они проявляют возможность ученика выйти за пределы наличной наглядной ситуации, расширить ее, руководствуясь логикой решения задачи.
Эти задания имеют особую ценность в стереометрии, где поиск и нахождение нового элемента нередко представляет собой целую цепь мысленных преобразований, осуществляемых над образом исходной фигуры, когда требуется не только выделение понятийных признаков («ребро куба», «диагональ параллелепипеда», «сечение конуса» и т.п.), но и подлинное создание нового геометрического образа (мысленное «выделение» нового элемента чертежа; «помещение» его в определенной плоскости, выделение среди других). Конечно, все эти умения не формируются сами собой. Они должны быть обеспечены системой заданий. Должны быть разработаны соответствующие правила (образцы, рекомендации), их решения, которые бы раскрывали ученику «технологию» создания образа: возможность мысленно прослеживать его изменения, удерживать в образе его основные элементы, вводить новые — необходимые и достаточные для решения задачи.
Пример 5: Найдите образующую усеченного конуса, если радиусы оснований равны 3 см и 6 см, а высота равна 4 см (рис. 6).
Решение: Достроим усеченный конус до полного и рассмотрим его диагональное сечение. Заметим, что радиус нижнего основания усеченного конуса вдвое больше радиуса верхнего основания. Следовательно, высота и образующая конуса увеличатся в два раза (по подобию треугольников). По теореме Пифагора: образующая усеченного конуса равна 5 см.4.1.6. Задания на рассмотрение фигур чертежа с разных точек
зрения
Эти задания используются в тех случаях, когда некоторые фигуры чертежа надо рассмотреть в плане разных понятий, т. е. переосмыслить их. Это достигается вычленением отдельной фигуры, выделением ее из остальных и включением в новые фигуры, путем их сочетания. Все это должно осуществляться мысленно, что требует, во-первых, абстрагирования отдельных фигур (углов, отрезков, их комбинаций) и, во-вторых, объединения с новыми, т.е. своеобразного мысленного синтеза этих фигур. Заметим, что такое видоизменение чертежа осуществляется «в уме» (ведь исходный чертеж остается при этом неизменным), поэтому вся работа ученика протекает «во внутреннем плане», скрыта от непосредственного наблюдения со стороны учителя. Необходимо обучать вычленению отдельной фигуры, включению ее в другие. Для этого важно сформировать у ученика в определенном порядке следующие мыслительные операции: сосредоточение своего внимания на отдельной фигуре, отвлечения от остальных; актуализация существенных признаков геометрических понятий, характеризующих данную фигуру; актуализация геометрических понятий, отражающих свойства других фигур чертежа; сопоставление данной фигуры с другими, включение ее в состав этих фигур; объединение на основе новых геометрических понятий (признаков, свойств, отношений), что дает возможность рассмотреть их по-новому, т.е. переосмыслить.