Графические работы на уроках стереометрии в средней школе (стр. 10 из 11)

Решение: а) Плоскость, параллельная каждой из скрещивающихся прямых существует, если данные прямые лежат в параллельных плоскостях.

б) Плоскость, пересекающая каждую из скрещивающихся прямых, существует, если существует прямая, принадлежащая этой плоскости, которая пересекает каждую из данных прямых.

2.11. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Пусть Р₁, Р₂, Р₃, Р₄, Р₅, Р₆, Р₇, Р₈ – середины ребер соответственно АВ, ВВ₁, В₁А_1, А₁А, CD, СС₁, С₁D₁, DD₁. Каково взаимное положение таких прямых и плоскостей, как: а) Р₃Р₄ и Р₁Р₂Р₆ (рис. 33а); б) Р₇Р₈ и Р₁Р₂Р₆ (рис. 33б); в) Р₄Р₇ и Р₁Р₂Р₅ (рис. 33в); г) Р₁Р₆ и АВ₁D (рис. 33г); д) АС и Р₃Р₄Р₅ (рис. 33д); е) BD и Р₃Р₄Р₅ (рис. 33е)?

Решение: а) Р₃Р₄ || (Р₁Р₂Р₆) (признак параллельности прямой и плоскости);

б) Р₇Р₈ || (Р₁Р₂Р₆) (признак параллельности прямой и плоскости);

в) Р₄Р₇

(Р₁Р₂Р₅) (при параллельном проектировании Р₄Р₇ на вектор

прямая пересечет плоскость Р₁Р₂Р₅);

г) Р₁Р₆ || (АВ₁D) (дополним плоскость АВ₁D до плоскости АВ₁С₁D; при параллельном проектировании Р₁Р₆ на вектор

прямая будет лежать в плоскости АВ₁С₁D, следовательно, в этой плоскости существует прямая, параллельная Р₁Р₆);

д) АС || (Р₃Р₄Р₅) (дополним плоскость Р₃Р₄Р₅ до Р₃Р₄Р₆Р₅; при параллельном проектировании АС на вектор

прямая перейдет в диагональ параллелограмма Р₃Р₄Р₆Р₅, следовательно, в этой плоскости существует прямая, параллельная АС);

е) BD

Р₃Р₄Р₅ (при параллельном проектировании BD на вектор

прямая пересечет плоскость Р₃Р₄Р₅).

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, P и Q – внутренние точки граней

соответственно ABCD и A₁B₁C₁D₁. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки P и Q и параллельной прямой СС₁ (рис. 34).

Решение: Проведем прямые PР₁ и QQ₁, параллельные СС₁. Они задают плоскость, параллельную СС₁ и проходящую через точки P и Q.

2.13. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁; точка Р – середина ребра АА₁. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки Р и D₁ параллельно диагонали АС грани ABCD куба (рис. 35). Найдите периметр сечения, если ребро куба равно 10.

Решение: АС₁ || (РВ₁D₁) (в этом можно убедиться, применив свойство диагоналей в параллелограмме A₁B₁C₁D₁ и теорему Фалеса к треугольнику АА₁С₁). По теореме Пифагора:

. По формуле Герона: .

2.14. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости (рис. 36).

Решение: Пусть прямые а и b скрещиваются. Выберем на прямой а произвольно точку А и проведем прямую с, параллельную b (через точку, не лежащую на данной прямой можно провести единственную прямую, параллельную данной). Прямые а и с задают плоскость β. По признаку параллельности прямой и плоскости: b || β. Аналогично, проведем прямую d в плоскости α.

α || β (если две пересекающиеся прямые плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны).

3.06. Постройте сечение пятиугольной пирамиды PABCDE плоскостью α, которая проходит через внутреннюю точку М основания ABCDE параллельно грани РAB (рис. 37).

Решение: Так как прямые, по которым две параллельные плоскости пересечены третьей плоскостью, параллельны, а плоскость α параллельна грани РАВ, то: а) прямая пересечения плоскости α с плоскостью основания пирамиды должна быть параллельна АВ; б) прямая пересечения α с плоскостью грани РВС – параллельна АР; в) прямая пересечения α с плоскостью РАD – параллельна РА, поэтому проводим: 1) через точку М прямую KF || AB; 2) FH || PA; 3) KR || PB; 4) ML || AP. Пятиугольник HLRKF – искомое сечение. В доказательстве используется признак параллельности прямой и плоскости, признак параллельности плоскостей.

3.07. Точки А, В и С лежат в плоскости α и не лежат на одной прямой. Равные и параллельные отрезки АА₁, ВВ₁ и СС₁ расположены по одну сторону от плоскости α. Докажите, что (А₁В₁С₁) ||

(АВС) (рис. 38).

Решение: ВВ₁С₁С – параллелограмм (из параллельности и равенства ВВ₁ и СС₁), следовательно ВС || В₁С₁. АВ || А₁В₁ (аналогично). По теореме о параллельности плоскостей (по двум пересекающимся прямым): (А₁В₁С₁) || (АВС).

3.08. Точка В не лежит в плоскости ΔAEC, точки М, К и Р – середины отрезков соответственно АВ, ВС и ВЕ (рис.39). а) Докажите, что плоскости МКР и АЕС параллельны. б) Найдите площадь ΔМКР, если площадь ΔAEC равна 48 см².

Решение: а)Заметим, что ΔAEC и не лежащая в нем точка В образуют тетраэдр ВАСЕ. МК || АС (МК – средняя линия ΔAВC). КР || СЕ (КР – средняя линия ΔВCЕ). По теореме о параллельности плоскостей (через пересекающиеся прямые): (МКР)||(АСЕ).

б) По формуле Герона:

, как средние линии соответствующих треугольников. Подставим данные значения в формулу: . Отсюда .

3.09. Три отрезка А₁А₂, В₁В₂ и С₁С₂, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ параллельны (рис. 40).

Решение: Каждые две пересекающиеся прямые задают плоскость (через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну). Так как точка пересечения делит прямые пополам, то по теореме Фалеса: А₁В₁ || В₂А₂. Аналогично доказывается параллельность С₁В₁ и С₂В₂, А₁В₁ и А₂В₂. По теореме о параллельности плоскостей (через пересекающиеся прямые): (А₁В₁С₁)||(А₂В₂С₂).

3.10. Прямая DF пересекает параллельные плоскости α, β и γ соответственно в точках D, Е и F, при этом DF = 3, ЕF = 9 (рис. 41). Прямая EG пересекает плоскости α и γ соответственно в точках G и Н, при этом EG = 12. Найдите длину GН.

Решение: Прямые EF и ЕH задают плоскость EFH, которая пересекает плоскости α и γ по прямым GD и FH соответственно. ∆GED ~∆HEF (так как GD || FH,

). По свойству преобразования подобия: . Тогда .