Анализ ошибок заочной математической школы (стр. 5 из 7)
б) Подсчитаем количество игр:
– целое число. Значит турнир устроить можно.в) Подсчитаем количество игр:
– целое число. Значит турнир устроить можно.Анализ ошибки: В рассуждениях пункта а) никаких замечаний нет. Действительно, в любом турнире число игр целое (*). Есть сомнения в пунктах б) и в). Ученик использует утверждение, обратное (*): если при подсчете количества игр мы получаем целое число, то турнир можно устроить. На самом деле это утверждение не такое уж и очевидное и требует доказательства. Ошибка: использование вместо теоремы обратного к ней утверждения. Приведем пример того, что при выполнении прямого утверждения обратное ему не всегда выполняется:
Можно ли для пяти команд устроить турнир в один круг так, чтобы четыре из них сыграли бы по четыре игры, а одна – две?
Понятно, что такой турнир устроить нельзя. Если четыре команды сыграют по четыре игры, то и пятая при этом должна будет сыграть тоже четыре. Число игр при этом – целое число. Этот пример ясно показывает, что обратное утверждение не всегда верно.
Задача 3-8а. На окружности выбраны 10 точек. Сколько существует выпуклых четырехугольников с вершинами в этих точках?
1) Рассуждения ученика: У нас имеется десять точек, пронумеруем их от 0 до 9. Тогда каждому четырехзначному числу будет соответствовать ровно один четырехугольник. Значит четырехугольников столько же, сколько четырехзначных чисел с различными цифрами, а их 10×9×8×7=40320.
Анализ ошибки: Школьник хотел использовать для решения задачи взаимнооднозначное соответствие, но при этом установил его неправильно. Верно замечено, что каждому четырехзначному числу соответствует ровно один четырехугольник. Для взаимнооднозначного соответствия еще требуется, чтобы каждому четырехугольнику соответствовало ровно одно число, а их 4!=24.
О биекции и речи быть не может. К примеру, числам 1234, 2341, 3412, 4123, 4321, 3214, 2143, 1432 соответствует один и тот же четырехугольник «1234». Мало того, кроме выпуклых четырехугольников были подсчитаны самопересекающиеся «1342» и «1324» (это причина действия стереотипа, формирующегося в школе, так как школьники в основном работают только с выпуклыми фигурами), каждый из которых может быть представлен восемью различными четырехзначными числами.Причина ошибки: ученик просмотрев лишь несколько четырехугольников, сопоставив ему четырехзначное число, сделал вывод о взаимнооднозначности двух множеств. Данная ошибка – своего рода аналог ошибки «замена прямой теоремы обратной». Если проверена однозначность соответствия в одну сторону, то в обратную сторону соответствие автоматически считается однозначным. Это не верно. Примеры хорошо опровергают такие рассуждения.
§1.
Задача 1. Выяснить, какие из следующих утверждений верны, а какие – нет:
б) если aи b не делятся на 6, то a+bне делится на 6;
г) если aделится на 6,bне делится на 6, то abне делится на 6;
д) если aделится на 6, bделится на 10, то abделится на 60.
Рассуждения ученика: в решениях всех пунктов используется один и тот же метод. Утверждение проверяется лишь для конкретной пары чисел, удовлетворяющей условиям задачи. Результат проверки служит ответом.
Анализ ошибки: Выделим три случая: 1) при проверке для конкретной пары чисел утверждение неверно; 2) при проверке для конкретной пары чисел утверждение верно, но существуют пары чисел, при которых утверждение ложно; 3) при проверке для конкретной пары чисел утверждение верно и для остальных пар чисел оно также выполняется. Получается, что в первом и втором случаях утверждение неверное, а в третьем – верное. Ученики лучше всего действуют в первом случае, так как им легче оперировать конкретными числами. От них требуется лишь подобрать опровергающий пример. Если же все рассмотренные примеры подтверждают утверждение, но перебраны не все возможные случаи, что для бесконечного их множества просто невозможно, то нет гарантии, что это третий случай, а не второй. Поэтому требуются работать с классом чисел, в связи с этим возникают трудности представления в общем виде.
Все выше сказанное подтверждается в решениях школьников.
В пунктах б) и г) ученик находит пару чисел, при которых условие не выполняется, и делает правильный вывод, что утверждение не верно. В пункте д) также рассматривается одна или две пары aи b, для которых конечно же все справедливо. Делается вывод о выполнении утверждения для всех остальных чисел, то есть производится незаконное обобщение.
Стоит отметить следующий момент: в отличие от пунктов б) и г), где приводится одна пара чисел, в пункте д) ученики, как правило, рассматривают несколько пар чисел. Они понимают, что недостаточно рассмотрения конкретных чисел. Но рассмотреть все пары чисел невозможно, и они ограничиваются несколькими. Значит основная проблема состоит в переходе от конкретных чисел, обладающих определенным свойством, к классу, как объекту. Школьник не может представить класс в алгебраическом виде. Задача проверяющего – помочь ему в этом. На самом деле в методическом пособии приведено определение делимости, из которого можно понять, как представить класс чисел, делящихся на конкретное число, в общем виде. Конкретных примеров представления нет. Поэтому можно дать такой комментарий: «В пункте д) Вами был рассмотрен лишь частный случай. Выполнимость утверждения для всех оставшихся пар чисел (а их достаточно много) остается под вопросом. Чтобы проверить ее, необходимо рассуждать в общем виде. Скажем, число a, которое делится на 6 можно записать, как 6k, где k– некоторое целое число.»
Задача 2. Докажите утверждения:
г) если
и 
, то 
.д) если
, то 
.г) Рассуждения учеников: Так как
, то либо 
либо 
. Дальше рассматриваются эти варианты и отдельно для каждого доказывается, что .Анализ ошибки: Это типичный неполный перебор, рассмотрены не все варианты, а конкретно – не рассмотрен вариант, когда aи b не делятся на c. Ученик не учел случай, когда cпредставляется в виде произведения двух множителей, на один из которых делится a, на другой делится b. Причина ошибки – отождествление в сознании ученика делителя с простым числом и использование соответствующих свойств. Это обобщение свойств простого числа на все числа легко опровергается контрпримером: a=3, b=6, c=9. Понятно, что при этом
, но ни aи ни b на c не делятся.д) Рассуждения учеников: Так как
и 
, то 
.Анализ ошибки: В методическом пособии выделено несколько свойств делимости целых чисел. Одно из них формулируется следующим образом: если aи bделятся на c, то a+bи a-bделятся на c. Ученик воспользовался этим свойством, но неправильно, он его изменил: если cделится на aи на b, то c делится на a+bи на a-b (*). Причина в следующем: делимость – антисимметричное бинарное отношение. В школе ученики встречались лишь с равенством (симметричным отношением) и только начинают подробно изучать отношение порядка. Не удивительно, что они путают числа, которые делятся, и числа, на которые делятся. Единственное правило на первых этапах изучения делимости – внимательно применять свойства при решении задач. Для опровержения данного свойства (*) достаточно привести контрпример: 10 делится на 5 и на 2, но на 3 число 10 не делится. Для того, чтобы ученики лучше понимали суть делимости чисел и свойств, рекомендуется самостоятельно доказать некоторые из них, приведенные в пособии.
Задача 5-в. При каких n3n2+2n+2 делится на 4n+3.
Рассуждения ученика: Так как
, то и 
или 
Þ 
Þ 
.Если n = – 1, то 4n+3 = – 1, и
.Если n = 0, то 4 – n не делится на 4n+3.
Если n=1, то 4 – n не делится на 4n+3.