Абстрактно-дедуктивный метод введения и формирования математических понятий в 10-11 классах (стр. 4 из 4)

При нечетных значениях п функция f(x) = xⁿвозрастает на всей числовой прямой; ее область значений — множество всех действительных чисел. Применяя теорему о корне, находим, что уравнение х^п — а имеет один корень при любом а и, в частности, при а<0. Этот корень для любого значения а (в том числе и а отрицательного) обозначают

Итак, при нечетном п существует корень п-й степени из любого числа а и притом только один.

Для корней нечетной степени справедливо равенство

В самом деле,

т.е. число —

есть корень n-й степени из — а. Но такой корень при нечетном п единственный. Следовательно,

Равенство

(при нечетном п) позволяет выразить корень нечетной степени из отрицательного числа через арифметический корень той же степени. Например, .

Замечание. Для любого действительного х

Замечание. Удобно считать, что корень первой степени из числа а равен а. Как вы уже знаете, корень второй степени из числа называют квадратным корнем, а показатель 2 корня при записи опускают (например, корень квадратный из 7 обозначают просто

) Корень третьей степени называют кубическим корнем.

2. Основные свойства корней. Напомним известные вам свойства арифметических корней л-й степени.

Для любого натурального п, целого k и любых неотрицательных чисел а и b выполнены равенства:

Докажем свойство 1⁰. По определению

— это такое неотрицательное число, п-я степень которого равна ab. Число · неотрицательно. Поэтому достаточно проверить справедливость равенства ( · )^п=abкоторое вытекает из свойств степени с натуральным показателем и определения корня n-й степени: ( · )^п=( )ⁿ( )ⁿ=ab

Аналогично доказываются следующие три свойства:

Докажем теперь свойство 5⁰. Заметим, что n-я степень числа (

)^k равна a^k:

По определению арифметического корня (

)^k= ^k(так как ).