Всякое понятие имеет содержание и объем. Содержанием понятия называется совокупность существенных свойств одноэлементного класса или класса однородных предметов, отраженных в этом понятии. Содержанием понятия «ромб» является совокупность двух существенных свойств: «быть параллелограммом» и «иметь равные стороны».
Объемом понятия называют класс обобщаемых в нем предметов. Объективно, т.е. вне сознания человека, существуют различные предметы, например, животные. Под объемом понятия «животные» подразумевается множество всех животных, которые существуют сейчас, существовали ранее и будут существовать в будущем. Класс (или множество) состоит из отдельных объектов, которые называются его элементами. В зависимости от их числа множества делятся на конечные и бесконечные. Например, множество планет Солнечной системы конечно, а множество натуральных чисел бесконечно.
Понятия можно классифицировать по объему и по содержанию. По объему понятия делятся на единичные, общие и пустые.
Объем единичного понятия составляет одноэлементный класс (например, «великий русский писатель Александр Николаевич Островский»; «столица России» и др.).
Объем общего понятия включает число элементов больше единицы (например, «автомобиль», «портфель», «государство» и др.).
Кроме общих и единичных понятий по объему выделяют понятия пустые (с нулевым объемом), т.е. такие, объем которых представляет пустое множество (например, «вечный двигатель», «баба Яга», «круглый квадрат», «человек, проживший» 300 лет и др.)
По содержанию можно выделить следующие четыре пары понятий.
Конкретные и абстрактные понятия
Конкретными называются понятия, в которых отражены одноэлементные или многоэлементные классы предметов (как материальные, так и идеальные). К их числу относят понятия: «дом», «свидетель», «романс», «поэма Владимира Маяковского «Хорошо!», «землетрясение» и другие).
Относительные и безотносительные понятия
Относительные — такие понятия, в которых мыслятся предметы, существование одного из которых предполагает существование другого («дети» — «родители», «ученик» — «учитель», «начальник» — «подчиненный», «северный полюс магнита» — «южный полюс магнита»).
Безотносительные — такие понятия, в которых мыслятся предметы, существующие самостоятельно, вне зависимости от другого предмета («дом», «человек», «доменная печь», «деревня»).
Положительные и отрицательные понятия
Положительные понятия характеризуют в предмете наличие того или иного качества или отклонения. Например, «грамотный человек», «алчность», «отстающий ученик», «красивый поступок», «эксплуататор» и т.д.
Если частица «не» или «без» («бес») слилась со словом и слово без нее не употребляется (например, «ненастье», «бесчинство», «беспечность», «безупречность», «ненависть», «неряха»), то понятия, выраженные такими словами, также называются положительными, так как они характеризуют наличие у предмета определенного качества (может быть даже и плохого — «неряха», «беспечность»).
Отрицательными называют те понятия, которые означают, что указанное качество отсутствует в предметах (например, «неграмотный человек», «некрасивый поступок», «ненормальный режим», «бескорыстная помощь»). Эти понятия в языке выражены словом или словосочетанием, содержащим отрицательную частицу «не» или «без» («бес»), присоединенную к соответствующему положительному понятию и выполняющую функцию отрицания.
Собирательные и несобирательные понятия
Собирательными называют понятия, в которых группа однородных предметов мыслится как единое целое (например, «полк», «стадо», «стая», «созвездие»). Собирательные понятия бывают общими (например, «роща», «студенческий строительный отряд») и единичными («созвездие Большая Медведица»).
Содержание несобирательного понятия можно отнести к каждому предмету данного класса, мыслимого в понятии(«ручка», «река», «игрушка»).При этом будут возникать истинные суждения.
В суждениях (высказываниях) общие и единичные понятия могут употребляться как в несобирательном (разделительном), так и в собирательном плане. В суждении «Студенты этой группы успешно сдали экзамен по педагогике» понятие «студенты этой группы» является общим и употребляется в разделительном (несобирательном) смысле, так как утверждение об успешной сдаче экзамена относится к каждому студенту этой группы. В суждении «Студенты этой группы провели общее собрание» понятие «студенты этой группы» употреблено в собирательном смысле, так как студенты этой группы взяты как единый коллектив и это понятие является единичным, ибо данная совокупность студентов (именно этой группы») одна, другого такого коллектива нет.
Например, дадим логическую характеристику понятиям «коллектив», «недобросовестность», «стихотворение».
«Коллектив» — общее, абстрактное, безотносительное, положительное, несобирательное.
«Недобросовестность» — общее, абстрактное, безотносительное, отрицательное несобирательное.
«Стихотворение» — общее, положительное, безотносительное, положительное , несобирательное.
В содержание понятия о каком-либо объекте входит много различных существенных свойств этого объекта. Однако чтобы установить, содержится ли объект в объеме данного понятия (т.е. распознать его), необходимо проверить наличие у него лишь некоторых свойств. Указание этих существенных свойств предмета, которые достаточны для распознания объекта, — определение понятия.
Определение понятия — это такая логическая операция, которая раскрывает содержание понятия либо устанавливает значение термина.
С помощью определения понятий мы в явной форме указываем на сущность отражаемых в понятии предметов, раскрываем содержание понятия и тем самым отличаем круг определяемых предметов от других предметов. Так, например, давая определение понятия «трапеция», мы отличаем его от других четырехугольников, например, от прямоугольника или ромба. «Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие — не параллельны»(1). Приведем еще несколько определений понятий, которые принадлежат к двум различным видам определений. «Вещества, растворы которых проводят электрический ток, называют электролитами»(2). «Флорой называют видовой состав растений, произрастающих на той или иной территории»(3). «Естественный отбор — процесс выживания наиболее приспособленных особей, который ведет к преимущественному повышению или понижению численности одних особей в популяции по сравнению с другими»(4).
Реальные и номинальные определения
Если определяется понятие, то определение будет реальным. Если определяется термин, обозначающий понятие, то определение будет номинативным. Из вышеприведенных определений (1) и (4) — это реальные определения, а (2) и (3) — номинативные определения.
С помощью номинативных определений вводятся также новые термины, краткие имена взамен более сложных описаний предметов. Например, «навыком называется такое действие, в составе которого отдельные операции стали автоматизированными в результате упражнений».
Определения могут быть явными и неявными.
Явные определения
Явные определения — это такие, в которых даны определяемое понятие и определяющее понятие, и между ними устанавливается некоторое отношение равенства, эквивалентности. Самое распространенное явное определение — определение через ближайший род и видовое отличие. В нем устанавливаются существенные признаки определяемого понятия. Например: «Правильный многоугольник — многоугольник, у которого все стороны конгруэнтны и все углы равны», «Барометр — прибор для измерения атмосферного давления».
Признак, указывающий не тот круг предметов, из числа которых нужно выделить определяемое множество предметов, называется родовым признаком, или родом. В приведенных примерах родовыми являются понятия «многоугольник», «прибор».
Признаки, при помощи которых выделяется определяемое множество предметов из числа предметов, соответствующих родовому понятию, называются видовым отличием. При определении понятия видовых признаков (отличий) может быть один или несколько.
К явным определениям понятий относят и генетические определения. Они часто встречаются в школьных учебниках. Генетическими называются определения предмета путем указания на способ, которым образуется только данный предмет и никакой другой (это его видовое отличие). Например: «Треугольником называется фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков».
Неявные определения
В отличии от явных определений, в неявных определениях на место определяющего понятия поставлен контекст или набор аксиом, или описание построения объекта, или показ.
1) В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающий смысл вводимого понятия. Примером контекстуального определения может быть определения уравнения и его решения, приведенное в учебнике для III класса. Здесь после записи 3 + х = 9 и перечня чисел 2, 3, 6 и 7 идет текст: «х — неизвестное число, которое надо найти. Какое из этих чисел надо поставить вместо х, чтобы равенство было верным? Это число 6[11]». Из этого текста следует, что уравнение — это равенство с неизвестным числом, которое надо найти, а решить уравнение — это значит найти такое значение х, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.
2) Определение через аксиомы (аксиоматический метод). Приведем пример. Пусть дана система каких-то элементов (обозначаемых x, y, z...) и между ними установлено отношение, выражаемое термином «предшествует». Не определяя ни самих объектов, ни отношения «предшествует», мы высказываем для них следующие утверждения (т.е. следующие две аксиомы):