Развитие самостоятельности школьников при обучении математики (стр. 7 из 8)
Ведущий. И вот из разных стран пришли во дворец мудрецы. И первый мудрец, поклонившись шаху, написал свое решение задачи.
Первый мудрец. Если в первой чаше, о великий шах, останется 38 жемчужин, а подаришь ты старшей дочери 4 жемчужины, то эти 42 жемчужины и составят половину того, что хранится сейчас в чаше. Ведь вторую половину ты подаришь старшему сыну? Значит, в первой чаше у тебя должно быть сейчас 84 жемчужины. Во второй чаше должно остаться 12 жемчужин, да 6 ты подаришь другой дочери. Эти 18 жемчужин составят 2/3 того, что хранится во второй чаше сейчас. Ведь 1/3 ты пожалуешь среднему сыну. Значит, во второй чаше должно быть сейчас 27 жемчужин. Ну а в третьей чаше должно остаться 19 жемчужин, да две ты подаришь младшей дочери. Выходит, что 21 жемчужина - это 3/4 содержимого третьей чаши. Ведь 1/4 ты отдаешь младшему сыну. Значит, сейчас в третьей чаше должно быть 28 жемчужин.
Во время рассказа первый мудрец записывает решение на доске:
38+4=42 42:1/2=42×2=84, 12+6=18 18:2/3=18-3/2=27, 19+2=21 21:3/4=21×4/3=28.
Шах. Как же ты смог решить такую сложную задачу?
Первый мудрец. Мне помогла арифметика — наука о числах, их свойствах и правилах вычисления. Это очень древняя наука, ей уже много тысяч лет.
Шах. Твое решение мне понятно, но оно длинное и утомило меня. А что скажет другой мудрец?
Второй мудрец. О великий шах! Я обозначу число жемчужин в первой чаше буквой х. Тогда старшему сыну ты подаришь 
жемчужин. Если из х вычесть его половину, да еще 4 жемчужины, что ты подаришь старшей дочери, то остаток нужно приравнять к 38. Вот какое уравнение я составил:
x-
-4=38.Решим его. = 42, а х в два раза больше, т.е. х = 84. Выходит, что в первой чаше должно быть сейчас 84 жемчужины. А для второй чаши, если количество жемчужин в ней обозначить через у, получим уравнение
y-
-6=12Решим его. 
у == 18, а теперь 18 разделим на 2 и умножим на 3. Значит у = 27.
Рассуждая также, составляем уравнение для третьей
чаши:
z-
-2=19, 
z =21, z =28.Следовательно, в третьей чаше должно быть сейчас 28 жемчужин.
Шах. Твое решение мне тоже нравится. И ответы у вас одинаковые. Но нельзя ли решить это все как-то покороче?
Тогда молча вышел третий мудрец и показал плакат, где написано следующее:
х — ах — b = с.
Ответ: х=
.Шах. А здесь я ничего не понимаю! И вообще один ответ, а у меня три чаши!
Третий мудрец. Все три ответа уместились в одном, о великий шах! Ведь задачи про чаши совершенно одинаковые, лишь числа разные. Я и объединил три решения в одном, обозначив через х неизвестное число жемчужин, через а - часть жемчужин, подаренных сыну, через b - число жемчужин, отданных дочери, а через с — число оставшихся в чаше жемчужин. Теперь можно подставлять вместо этих букв числа, которые ты задашь в своей задаче, и будут получаться правильные ответы. Будь у тебя 100 чаш, 100 сыновей, 100 дочерей, одного моего уравнения хватит, чтобы получить все ответы.
Шах. Да, твое решение, оказывается, самое удобное. Как же ты придумал его?
Третий мудрец. Мне помогла решить эту задачу алгебра, как и второму мудрецу. В этой науке буквы используются наравне с числами. Под буквой можно разуметь любое число. Алгебра дает самое короткое, самое общее решение для многих похожих друг на друга задач.
Игра «Аукцион»
На торги выносятся задания по какой-либо теме, причем учитель заранее договаривается с ребятами о теме игры. Пусть, например, это будет тема VIII класса «Действия с алгебраическими дробями».
В игре участвуют 4—5 команд. С помощью кодоскопа на экран проецируется лот № 1 — пять заданий на сокращение дробей. Первая команда выбирает задание и назначает ему цену от 1 до 5 баллов. Если цена этой команды выше тех, что дают другие, она получает это задание и выполняет его. Остальные задания должны купить другие команды. Если задание решено верно, команде начисляются баллы — цена этого задания, если неверно, то эти баллы (или часть их) снимаются. Хочу обратить внимание на одно из достоинств этой простой игры: при выборе примера учащиеся сравнивают все пять примеров и мысленно «прокручивают» в голове ход их решения.
Игра «Игрекс»
Эту игру можно проводить по любой теме на уроке или как внеклассное мероприятие. В классе или в коридоре ставят столы, над которыми написаны плакаты:
фирма «Поиск», «Бюро добрых услуг», «Школбанк», магазин «Сладкоежка». Во всех фирмах работают старшеклассники. В игре может участвовать от 3 до 8 команд. Все команды зачисляются в фирму «Поиск» и получают одну или несколько задач первого уровня, причем каждая задача оценена в 500 игрексов (игреке — денежная единица, которую придумали ребята для этой игры). Решив задачи, команда сдает свою работу снова в фирму «Поиск». Руководители фирмы проверяют работы и оценивают их. На основании этих оценок банк выдает заработанные командой деньги. Банк также ведет размен денег и выдает кредит. Получив причитающееся число игрексов за задания первого уровня, команда приступает к задачам второго уровня и т.д. Если задача не получается, команда обращается за консультацией в «Бюро добрых услуг», заплатив при этом 10% стоимости задачи. Выигрывает та команда, которая заработает больше игрексов. В конце игры все команды покупают в магазине «Сладкоежка» на свои игрексы настоящие конфеты.
Приложение 4
Приведем примеры.
1. В IX классе на занятии математического кружка было предложено найти способ (путь) решения задачи: «Найти уравнение прямой, параллельной прямой у=2х—3 и проходящей через точку К(—3; 2).
Известная из аналитической геометрии формула у—у0=k(х—х0) учащимся не сообщалась. Они самостоятельно должны были отыскать путь решения предложенной задачи.
Решение.
Способ 1. Ученик предложил на прямой у=2х—3 рассмотреть любую точку, например А (0; —3). Затем в формулах параллельного переноса х'=х+а, у'=у+b подобрать параметры а и b так, чтобы точка A перешла в точку К. Это будет перенос: х'=х—3, у'=у+5. Прямую у=2х—3 подвергнем найденному параллельному переносу: x = x'+3; y = у'— 5;
у'— 5=2 (x'+ 3)—3; у'—5= 2x'+6—3; y'==2x'+8. После отбрасывания штрихов при переменных получим ответ: y =2x+8.
Способ 2. Ученик предложил воспользоваться известным фактом, что в уравнениях параллельных прямых угловые коэффициенты равны. Поэтому искомое уравнение будет вида у=2х+b. Последнему удовлетворяют координаты точки K, поэтому 2=2×(-3)+b, b=8.
Ответ: y==2x+8.
2. В стенгазете математического кружка IX класса было предложено самостоятельно найти способы решения задачи: «Вычислить расстояние от точки M (3; 2) до прямой Зх+4y+1=0».
Ученики нашли различные способы решения.
Способ 1. Воспользоваться готовой формулой, найденной учеником в учебнике по аналитической геометрии для втузов:
где Ах+Ву+С=0 — уравнение прямой, ax0и у0 — координаты заданной точки.
Способ 2. На прямой Зх - 4y + 1 = 0 способом подбора найти две точки, например A (1; 1) и В (—3; —2). В треугольнике АВМ вычислить длины сторон и по формуле Герона площадь. Затем найти высоту, проведенную к стороне АВ. Это и будет искомое расстояние.
Способ 3. Найти уравнение прямой, проходящей через точку М перпендикулярно данной прямой. Затем вычислить координаты х0 и у0 точки пересечения этих прямых. Расстояние от точки (3; 2) до точки
(x0; у0) и будет искомым.
Приложение 5
Приведем темы некоторых обзоров.
Тема 1. Координаты и задание фигур на плоскости (IX кл.).
Литература.
1) Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А. Метод
координат.— М.: Наука, 1971.
2) Понтрягин Л. С. Знакомство с высшей математикой:
Метод координат.— М.: Наука, 1977.
Тема 2. Задачи на максимум и минимум (X кл.).
Литера т у р а.
1) Нагибин Ф. Ф. Экстремумы.— М.:
Просвещение, 1966.
2) Б е л я е в а Э. С., Монахов В. М. Экстремальные задачи.— М.:
Просвещение, 1977.
Тема 3. Применение математики при решении нематематических
задач (XI кл.).
Литература. 1) Маковецкий П. В. Смотри в корень! — М.: Наука,
1984.
2) Попов Ю. П., Пухначев Ю.В. Математика в образах.— М.: Знание,
1989.
3) Тихонов А. Н., Костомаров Д. П. Рассказы о прикладной
математике.— М.: Наука, 1979.
Приложение 6
1. Между морскими портами А и В регулярно курсируют теплоходы одного и того же номерного рейса, отправляясь ежедневно в полдень из одного порта и прибывая ровно в полдень через 7 суток в другой порт. Стоянка в порту — сутки. Сколько теплоходов своего рейса встретит команда одного из них на пути от Л до В? Каково наименьшее число теплоходов, необходимых для бесперебойного обеспечения расписания движений?