Подчеркивая роль дедуктивных доказательств (доказательств в общем виде), учитель должен обратить внимание учащихся на роль наблюдений и неполной индукции при «открытии» математических закономерностей, при нахождении способа решения самых разнообразных математических задач, на роль полной индукции при обосновании найденных индуктивным путем закономерностей.
Поясним сказанное примерами. Рассмотрим задачу:
«Может ли: а) сумма пяти последовательных натуральных чисел быть простым числом; б) сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел быть простым числом?»
Прежде, чем решать эту задачу в общем виде, целесообразно на нескольких частных примерах выяснить, каким числом (простым или составным) могут быть указанные в задаче суммы. С помощью примеров можно получить гипотезы: а) сумма пяти последовательных натуральных чисел — число составное; б) сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел — число составное.
Полученные на примерах (с помощью неполной индукции) гипотезы легко доказываются в общем виде.
Другая задача: «Может ли разность двух трехзначных чисел, из которых второе записано теми же цифрами, что и первое, но в обратном порядке, быть квадратом натурального числа?»
На наших занятиях прежде чем решать эту задачу в общем виде, учащийся должен был на частных примерах, с помощью неполной индукции, получить предполагаемый ответ (высказать гипотезу): рассматриваемая разность не может быть равна квадрату какого-либо натурального числа. Дедуктивное обоснование этой гипотезы, как правило, не вызывает у учащихся затруднений.
Учащиеся должны понимать, что на частных примерах никакого утверждения доказать нельзя. Частный пример ничего не доказывает в математике, но он может подвести к правильному выводу.
В отличии от неполной индукции полная индукция имеет доказательную силу, и ее роль при решении многих алгебраических задач (прежде всего на делимость), трудно переоценить.
Приведем примеры. Пусть учащимся предложена задача: «Докажите, что любую сумму большую 7 к., можно уплатить трех- и пятикопеечными монетами не получая сдачи».
Для решения этой задачи достаточно проверить, что трех- и пятикопеечными монетами можно уплатить 8, 9 и 10 к. (8 = 3 + 5, 9 = 3 + 3 + 3, 10 = 5 + 5), а затем добавлять монеты по 3 к.
Решив таким образом задачу, следует добиться от учащихся ясного понимания того, что задача решена с помощью полной индукции: все числа большие 7, разбили на три непересекающихся класса — 8 + 3k, 9 + 3k, 10 + 3k, где kÎN, в каждом из которых решение задачи существует.
Можно оформить решение задачи несколько иначе, представив любое натуральное число п, большее 7, в одном из следующих видов:
п = 3k, где kÎN, k³ 3;
п = 3k + 1, где kÎN, k³ 3;
п = 3k + 2, где kÎN, k³ 2.
Доказав в каждом из трех случаев возможность представления числа п требуемым образом, решим задачу методом полной индукции.
Для закрепления способа решения задач методом полной индукции полезно рассматриваемую задачу решить другим способом, разбив натуральные числа не на 3, а на 5 классов.
Учащиеся должны понимать, что метод полной индукции является научно-обоснованным методом и им можно пользоваться наряду с другими.
Ясно, что применять метод полной индукции можно лишь тогда, когда число рассматриваемых в задаче случаев конечно и не слишком далеко. Но иногда этим методом задачу можно решить много проще, чем другим.
Огромная значимость нахождения школьниками различных способов решения задач по математике не раз отмечалась на страницах методической литературы. Однако наши наблюдения показывают, что на уроках, как правило, рассматривается лишь один из способов решения задачи, причем не всегда наиболее рациональный. Приводимая в таких случаях аргументация в виде отсутствия достаточного количества времени на решение одной задачи различными способами не имеет под собой основы: для математического развития учащихся, для развития их творческого мышления гораздо полезнее одну задачу решить несколькими способами (если это возможно) и не жалеть на это времени, чем несколько однотипных задач одним способом. Из различных способов решения одной и той же задачи надо предложить учащимся выбрать наиболее рациональный, красивый.
При отыскании различных способов решения задач у школьников формируется познавательный интерес, развиваются творческие способности, вырабатываются исследовательские навыки. После нахождения очередного метода решения задачи учащийся, как правило, получает большое моральное удовлетворение. Учителю, как нам кажется, важно поощрять поиск различных способов решения задач, а не стремиться навязывать свое решение. Общие методы решения задач должны стать прочным достоянием учащихся, но наряду с этим необходимо воспитывать у них умение использовать индивидуальные особенности каждой задачи, позволяющие решить ее проще. Именно отход от шаблона, конкретный анализ условий задачи являются залогом успешного ее решения.
Особое внимание, на наш взгляд, следует обратить на решение задач арифметическим способом, так как именно решение задач арифметическим способом способствует развитию оригинальности мышления, изобретательности.
Часто учащиеся, ознакомившись со способом решения задач с помощью уравнения, не обременяют себя глубоким анализом условия задачи, стараются побыстрее составить уравнение и перейти к его решению. При этом и введение обозначений, и схема решений, как правило, соответствуют определенному шаблону.
В этом случае задача учителя — показать учащимся на примерах, что решение задач по шаблону часто приводит к значительному увеличению объема работы, а иногда и к усложнению решения, в результате чего увеличивается возможность появления ошибок. Поэтому учащимся полезно предложить, прежде чем составлять уравнение для решения задачи, внимательно изучить условие задачи, подумать над тем, какой способ решения наиболее соответствует ее условию, попытаться решить задачу без использования уравнений, арифметическим способом.
К сожалению, довольно широко распространено мнение, что решение задач повышенной трудности арифметическими методами излишне ввиду существования более сильного метода решения задач с помощью составления уравнения.
Существует и другое мнение, опирающееся на наблюдения за учащимися, согласно которому решение задач только алгебраическим методом ведет к одностороннему математическому развитию учащихся. Следует учитывать и то, что для составления уравнения следует использовать определенные арифметические навыки, понимание зависимостей между величинами. Кроме того, существует ряд задач, решение которых арифметическими методами изящнее и проще, чем с помощью уравнений.
В качестве примера рассмотрим задачу: «Два мотоциклиста выехали одновременно из пунктов А и В навстречу друг другу и встретились в 50 км от В. Прибыв в пункты А и В, мотоциклисты сразу же повернули назад и встретились вновь в 25 км от А. Сколько километров между А и В?»
Решение этой задачи с помощью уравнения представляет для учащихся определенные трудности: не случайно в школьном учебнике аналогичная задача помещена в разделе «Задачи повышенной трудности для 8 класса».
На наших занятиях учащиеся решали эту задачу, не составляя уравнения, а рассуждая так. От начала движения до первой встречи оба мотоциклиста проехали расстояние равное АВ, а к моменту второй встречи проехали втрое большее расстояние. Таким образом, каждый из них до второй встречи проехал втрое больше, чем до первой. Мотоциклист, выехавший из пункта В, до первой встречи проехал 50 км. Следовательно, до второй встречи он проехал 150 км (50 ´ 3 = 150). Поэтому расстояние от А до В равно 125 км (150 – 25 = 125).
При таком подходе эту задачу могут решить учащиеся не только VIII, но и V класса.
Арифметический способ решения задач, когда шаблонный метод не легко приводит к результату, является, как свидетельствуют наши наблюдения, одним из лучших средств развития самостоятельного, творческого решения учащихся. С помощью специально подобранных задач, которые могут заинтересовать учащихся своей кажущейся простотой и тем, что их решение не сразу дается в руки, можно показать учащимся красоту, простоту и изящество логического рассуждения, приводящего к решению задачи. Иллюстрацией сказанного служит задача № 1287 из [5]. (Всадник и пешеход одновременно отправились из пункта А в пункт В. Всадник, прибыв в пункт В на 50 мин. раньше пешехода, возвратился обратно в А. На обратном пути он встретился с пешеходом в двух километрах от В. На весь путь всадник затратил 1 час 40 минут. Найдите расстояние от А до В и скорость всадника и пешехода.)
Рассматривая решение задач несколькими способами, учитель на уроке и во внеклассной работе должен ориентировать учащихся на поиски красивых, изящных решений. Тем самым учитель будет способствовать эстетическому воспитанию учащихся и повышению их математической культуры.
Решая с учащимися ту или иную задачу, учитель должен стремиться к достижению двух целей. Первая — помочь ученику решить именно данную задачу, научить его решать задачи, аналогичные рассматриваемой; вторая — так развить способности ученика, чтобы он мог в будущем решить любую задачу школьного курса самостоятельно. Эти две цели, безусловно, связаны между собой, так как, справившись с заданной достаточно трудной для него задачей, учащийся несколько развивает свои способности к решению задач вообще.
Поэтому, преследуя вторую цель, при решении задач несколькими способами мы обращали внимание учащихся не только на наиболее рациональный, красивый способ решения данной задачи, но и на те способы, которые широко применяются при решении других задач и в некоторых случаях оказываются единственными. Поясним сказанное примером.