Преподавание алгебраического материала в начальной школе (стр. 9 из 14)
Главным средством овладения числовыми соотношениями в нашем учебнике являются цветные бруски; их удобно сравнить по длине, устанавливая, на сколько клеток больше или меньше их в верхнем или в нижнем бруске. Иначе говоря, понятие «разностное сравнение отрезков» мы не вводим как особую тему, но учащиеся знакомятся с ним в самом начале изучения чисел первого десятка. На уроках, посвященных изучению первого десятка, удобно использовать цветные бруски, которые позволяют выполнять пропедевтику основных видов задач на действия первой ступени.
Рассмотрим пример.
Пусть друг на друга наложены два цветных бруска, разделенных на клетки:
в нижнем — 3 клетки, в верхнем — 2 клетки (см. рис.).
Сравнивая количество клеток в верхнем и нижнем брусках, учитель составляет два примера на взаимно-обратные действия (2 + 1 = 3, 3 – 1 = 2), причем решения этих примеров прочитываются попарно всеми возможными способами:
2 + 1 = 3 3 – 1 = 2
а) к 2 прибавить 1 — получится 3; а) из 3 вычесть 1 - получится 2;
б) 2 увеличить на 1 — получится 3; б) 3 уменьшить на 1 - получится 2;
в) 3 больше 2 на 1; в) 2 меньше 3 на 1;
г) 2 да 1 будет 3; г) 3 без 1 будет 2;
д) число 2 сложить с числом 1 — д) из числа 3 вычесть число 1 —
получится 3. получится 2.
Учитель. Если 2 увеличить на 1, то сколько получится?
Ученик. Если 2 увеличить на 1, то получится 3.
Учитель. А теперь скажите, что надо сделать с числом 3, чтобы получить 2?
Ученик. 3 уменьшить на 1, получится 2.
Обратим здесь внимание на необходимость в этом диалоге методически грамотного осуществления операции противопоставления. ,
Уверенное овладение детьми смыслом парных понятий (прибавить — отнять, увеличить — уменьшить, больше — меньше, да — без, сложить — вычесть) достигается благодаря использованию их на одном уроке, на базе одной и той же тройки чисел (например, 2+1==3, 3—1=2), на основе одной демонстрации — сравнения длин двух брусков.
В этом принципиальное отличие методической системы укрупнения единиц усвоения от системы раздельного изучения этих базисных понятий, при которой контрастные понятия математики вводятся, как правило, порознь в речевую практику учащихся.
Опыт обучения показывает преимущества одновременного введения пар взаимно противоположных понятий начиная с самых первых уроков арифметики.
Так, например, одновременное употребление трех глаголов: «прибавить» (к 2 прибавить 1), «сложить» (число 2 сложить с числом 1), «увеличить» (2 увеличить на 1), которые изображаются символически одинаково (2+1=3), помогает детям усвоить сходство, близость этих слов по смыслу (подобные рассуждения можно провести относительно слов «отнять», «вычесть», «уменьшить»).
Точно так же сущность разностного сравнения усваивается в ходе многократного использования сравнения пар чисел с самого начала обучения, причем в каждой части диалога на уроке используются все возможные словесные формы истолкования решенного примера: «Что больше: 2 или 3? На сколько 3 больше 2? Сколько надо прибавить к 2, чтобы получить 3?» и т. п. Большое значение для овладения смыслом этих понятий имеет изменение грамматических форм, частое использование вопросительных форм.
Многолетние испытания показали преимущества монографического изучения чисел первого десятка. Каждое очередное число при этом подвергается многостороннему анализу, с перебором всех возможных вариантов его образования; в пределах этого числа выполняются все возможные действия, повторяется «вся наличная математика», используются все допустимые грамматические формы выражения зависимости между числами. Разумеется, при этой системе изучения в связи с охватом последующих чисел повторяются ранее изученные примеры, т. е, расширение числового ряда осуществляется с постоянным повторением ранее рассмотренных сочетаний чисел и разновидностей простых задач.
2.3 Совместное изучение сложения и вычитания, умножения и деления
В методике начальной математики упражнения на эти две операции обычно рассматриваются раздельно. Между тем представляется, что одновременное изучение двуединой операции «сложение — разложение на слагаемые» является более предпочтительным.
Пусть учащиеся решили задачу на сложение: «К трем палочкам прибавить 1 палочку — получится 4 палочки». Вслед за этой задачей сразу же следует поставить вопрос: «Из каких чисел состоит число 4?» 4 палочки состоят из 3 палочек (ребенок отсчитывает 3 палочки) и 1 палочки (отделяет еще 1 палочку).
Исходным упражнением может быть и разложение числа. Учитель спрашивает: «Из каких чисел состоит число 5?» (Число 5 состоит из 3 и 2.) И тотчас же предлагается вопрос про те же числа: «Сколько получится, если к 3 прибавить 2?» (К 3 прибавить 2 — получится 5.)
Для этой же цели полезно практиковать чтение примеров в двух направлениях: 5+2=7. К 5 прибавить 2, получится 7 (читаем слева направо). 7 состоит из слагаемых 2 и 5 (читаем справа налево).
Словесное противопоставление полезно сопровождать такими упражнениями на классных счетах, которые позволяют видеть конкретное содержание соответствующих операций. Вычисления на счетах незаменимы как средство визуализации действий над числами, причем величина чисел в пределах 10 здесь ассоциируется с длиной совокупности косточек, расположенных на одной проволоке (эта длина воспринимается учеником зрительно). Нельзя согласиться с таким «новаторством», когда в действующих учебниках и программах полностью отказались от использования на уроках русских счетов.
Так, при решении примера на сложение (5+2=7) ученик сначала отсчитывал на счетах 5 косточек, затем к ним присоединял 2 и после этого объявлял сумму: «К 5 прибавить 2 — получится 7» (название полученного числа 7 при этом ученик устанавливает пересчетом новой совокупности: «Один — два — три — четыре — пять — шесть — семь»).
Ученик. К 5 прибавить 2 — получилось 7.
Учитель. А теперь покажи, из каких слагаемых состоит число 7.
Ученик (сначала отделяет две косточки вправо, потом говорит). Число 7 состоит из 2 и 5.
Выполняя данные упражнения, целесообразно употреблять с самого начала понятия «первое слагаемое» (5), «второе слагаемое» (2), «сумма».
Предлагаются задания следующих видов: а) сумма двух слагаемых равна 7; найти слагаемые; б) из каких слагаемых состоит число 7?; в) разложите сумму 7 на 2 слагаемых (на 3 слагаемых). И т.д.
Усвоение такого важного алгебраического понятия, как переместительный закон сложения, требует разнообразных упражнений, основанных вначале на практических манипуляциях с предметами.
Учитель. Возьмите в левую руку 3 палочки, а в правую — 2. сколько всего стало палочек?
Ученик. Всего стало 5 палочек.
Учитель. Как подробнее сказать об этом?
Ученик. К 3 палочкам прибавить 2 палочки — будет 5 палочек.
Учитель. Составьте этот пример из разрезных цифр. (Ученик составляет пример: 3+2=5.)
Учитель. А теперь поменяйте местами палочки: палочки, лежащие в левой руке, переложите в правую, а палочки из правой руки переложите в левую. Сколько теперь палочек в двух руках вместе?
Ученик. Всего в двух руках было 5 палочек, и сейчас получилось снова 5 палочек.
Учитель. Почему так получилось?
Ученик. Потому, что мы никуда не откладывали и не добавляли палочки Сколько было, столько и осталось.
Учитель. Составьте из разрезных цифр решенные примеры.
Ученик (откладывает: 3+2=5, 2+3=5). Здесь было число 3, а теперь число 2. А здесь было число 2, а теперь число 3.
Учитель. Мы поменяли местами числа 2 и 3, а результат остался прежним:
5. (Из разрезных цифр складывается пример: 3+2=2+3.)
Переместительный закон усваивается также в упражнениях по разложению числа на слагаемые.
Когда вводить переместительный закон сложения?
Главная цель обучения сложению — уже в пределах первого десятка — постоянно подчеркивать роль переместительного закона в упражнениях.
Пусть вначале дети отсчитали 6 палочек; затем к ним прибавляем три палочки и пересчетом («семь — восемь — девять») устанавливаем сумму: 6 да 3 — будет 9. Необходимо немедленно тут же предложить новый пример: 3+6; новую сумму вначале можно установить опять же пересчетом (т. е. самым примитивным путем), но постепенно и целенаправленно следует формировать способ решения на высшем коде, т. е. логически, без пересчета.
Если 6 да 3—будет 9 (ответ установлен пересчетом), то 3 да 6 (без пересчета!) —тоже будет 9!
Короче говоря, переместительное свойство сложения надо ввести с самого начала упражнений на сложение разных слагаемых, чтобы стало привычкой составление (проговаривание) решения четверки примеров:
6 + 3 = 9, 9 — 3 = 6, 3 + 6 = 9, 9 – 6 = 3.
Составление четверки примеров — это доступное детям средство укрупнения знаний.
Мы видим, что такая важная характеристика операции сложения, как его переместительность, не должна пройти эпизодически, а должна стать основным логическим средством упрочения верных числовых ассоциаций. Главное свойство сложения — переместительность слагаемых — должно рассматриваться постоянно в связи с накоплением в памяти все новых табличных результатов.
Мы видим: взаимосвязь более сложных вычислительных или логических операций основана на аналогичном попарном родстве (близости) элементарных операций, посредством которых выполняется пара «сложных» операций. Иными словами, явное противопоставление сложных понятий основано на неявном (подсознательном) противопоставлении более простых понятий.
Первоначальное изучение умножения и деления целесообразно осуществлять в следующей последовательности трех циклов задач (по три задачи в каждом цикле):
I цикл: а,б) умножение при постоянном множимом и деление по содержанию (совместно); в) деление на равные части.