Требование "конкретизации общего" было очень важным как для работы со "смыслом" формулы, так и для правильного увязывания буквы (знака) с ее объектом - конкретным, частным значением той или иной величины. Как уже отмечалось выше, обучение по этой теме мы стремились строить так, чтобы для самих; детей буква (во всяком случае на первом этапе) выступала как обозначение веса, объема, длины и всякого иного параметра данного предмета при сравнении с весом, объемом и длиной другого предмета. Буква выступала здесь в своеобразной функции общего знака для любого конкретного значения выделяемого параметра. Поскольку дети фактически выводили формулы при сопоставлении предметов по любым частным значениям этих параметров, а заданные формулы подобным же образом дети могли самостоятельно иллюстрировать, у нас есть основания полагать, что они использовали букву именно в этой функции.
На заключительных уроках темы особое внимание учитель уделял закреплению у детей представления о том, что результат каждого данного сравнения может быть выражен одной и только одной формулой из трех возможных и входящих в установленный "набор". Эта работа обычно проходила в виде "столкновения" разных формул, относимых к результатам одного сравнения. При этом проводилось обсуждение, устанавливающее неправомерность "двойной" или "тройной" записи и выбирающее "правильную" формулу.
Второй вопрос, рассматриваемый на этих уроках, касался довольно тонкого пункта: возможности применения разных букв и пределов такого разнообразия. Прежде всего учитель в ряде случаев не указывал, какие буквы следовало бы употреблять при записи результата сравнения. Ученики по собственной инициативе выбирали буквы. Учитель записывал на доске разные варианты: А>Д; Б>В, Ж>К и т.д., обсуждал вместе с детьми вопрос о том, одинаковые эти формулы или различные. Дети, как правило, самостоятельно устанавливали факт тождественности этих формул, ссылаясь на два момента: во всех случаях стоит знак "больше" и все формулы говорят об одном и том же результате.
Вместе с тем на ряде примеров учитель показывал, что при сравнении по разным признакам лучше употреблять разные буквы, чтобы на этом уроке знать, к чему какая формула относится (хотя на следующем уроке все это теряло смысл, так как те же буквы употреблялись в других ситуациях и т.д.).
Укажем еще один своеобразный момент. На первых порах некоторые дети (их, как правило, было в каждом классе немного) записывали результат сравнения буквами разных размеров, т.е. переносили сюда принцип моделирования предметными значками. Учитель показывал, что в формуле это делать излишне, так как все равно отношение указывается знаком неравенства. На некоторых уроках детям показывались формулы, буквы которых различались по "размерам", но со смыслом, противоположным знаку (например, А<в). Предлагалось подобрать соответствующие предметные иллюстрации; выполняя задание, дети опирались здесь на знак. Учитель же еще раз показывал, что "размер" самих букв может быть любым, - важен смысл формулы, записанной знаком и обозначающий сравнение "каких-либо" предметов (это выражение стало "обиходным" и для самих учащихся).
Работа по данной теме имеет первостепенное значение для развертывания всего начального раздела математики, так как по существу связана с построением в деятельности ребенка особого предмета - системы отношений, выделяющих величины как основу дальнейших математических преобразований. Буквенные формулы, заменяющие ряд предварительных способов записи, впервые превращают эти отношения в абстракцию, ибо сами буквы обозначают любые конкретные значения любых конкретных величин, а вся формула - любые, возможные отношения равенства или неравенства этих значений. Теперь, опираясь на формулы, можно изучать собственные свойства выделенных отношений, превращая их в особый предмет анализа.
Приведенные выше данные указывают на необходимость особой работы по ознакомлению детей со смыслом некоторых формальных особенностей оперированию математической символикой.
Задачи на движение, рассматриваемые в начальных классах, включают в себя описание процесса движения одного или двух тел. Эти задачи по существу математических зависимостей между величинами, входящими в задачу. структуре и их моделей нельзя отнести к особому виду задач. В качестве примера рассмотрим пары задач и их решения:
1. а) За 6 часов рабочий изготовил 120 одинаковых деталей. Сколько деталей он изготовит за 3 часа?
б) Пароход прошел 120 км за 6 ч. Сколько километров он пройдет за 3 ч, если будет идти с той же скоростью?
Эту пару задач можно решить тремя способами:
1-й способ 2-й способ 3-й способ
1)120:6=20 1)6:3=2 6 ч =360 мин
2)20-3=60 2)120:2=60 3ч =180 мин
1)360:120=3
2) 180:3=60
2. а) Из двух городов, находящихся на расстоянии 280 км, выехали одновременно две машины. Через сколько часов машины встретятся, если скорость первой машины 60 км/ч, второй - 80 км/ч?
б) Двум мастерам нужно изготовить 280 одинаковых деталей. За сколько часов они могут это сделать вместе, если первый за 1 ч изготавливает 60 деталей, а второй 80 деталей?
Приведем арифметический и алгебраический способы решения:
280 : (80 + 60) = 2 (80 + 60) • х = 240
Как видим, структура, модели и способы решения как арифметические, так и алгебраические полностью совпадают. Однако в методической литературе задачи, связанные с движением тел. традиционно принято выделять в особый тип, так как эти задачи имеют свою особенность. Особенность состоит в том, что они построены на основе функциональной зависимости между величинами: скорость, время. расстояние. Методика обучения решению таких задач зачастую связана с использованием чертежа и построена на основе четких представлений о скорости равномерного движения тел и на основе понятий двигаться навстречу друг другу, двигаться вдогонку, выехали одновременно и встретились, скорость сближения. Чтобы подготовить детей к восприятию этих понятий, необходимо проводить определенную предварительную работу, которая должна сводиться к формированию умения работать с чертежом, к осознанию понятия «скорость движения» и взаимосвязи между величинами, включенными в задачу.
Однако, как показывает практика обучения, умение решать задачи на движение у учащихся сформировано недостаточно. Например, учащимся были предложены две задачи, одинаковые по структуре, но различные по фабуле. В первой задаче речь шла о покупке тетрадей, во второй о движении тел. С первой задачей справилось значительное большинство учащихся, в то время как с задачей на движение - лишь незначительная часть. Некоторые дети вообще отказались от решения, обосновывая это тем, что задачи на движение они решать не умеют. Думается, что причина этого заключается в том, что дети недостаточно подготовлены к восприятию этих задач.
Альтернативные программы и учебники предусматривают решение более трудныхисложных задач. Рассмотрим задачу № 338 из учебника математики для III класса И. И. Аргинской ([2]):
«Из двух городов навстречу друг другу вы шли одновременно два поезда и встретились через 18 часов. Определить скорость каждой поезда, если расстояние между городами 1620 км, а скорость одного поезда на 10 км/ч больше скорости другого». Реши задачу алгебраическим способом, реши задачу, выполни необходимые действия.
Я в процессе беседы стараюсь подвести учащихся к составлению уравнения.
Пусть скорость одного поезда у км/ч, тогда скорость другого у + 10 (км/ч). Скорость сближения поездов (у + у + 10 (км/ч). Путь, пройденный ими до встречи (у + у + 10) • 18 = 1620.
При решении уравнения учащиеся могут использовать: правило умножения суммы на число (распределительный закон умножения относительно сложения); взаимосвязь между компонентам и результатом действия и только что изученное свойство равенства (а - в = с - в. а = с).
Рассуждения при этом могут быть такими
(у + у + 10) • 18 = 1620
Неизвестен первый множитель. Чтобы найти его, нужно произведение разделить на известный множитель:
у + у + 10 = 1620 : 18
у + у + 10 = 90
Вычтем из обеих частей равенства по 10, получим:
у + у = 80
Применяем распределительный закон умножения относительно сложения (а + b) с = а с +b с), получим (1 + 1) у = 80: 2 у = 80 Применяем правило нахождения второго множителя (чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель): у = 80 : 2. y = 40.
При решении задач алгебраическим способом много времени тратится на оформление записи при составлении уравнения, и детям трудно удержать в уме всю цепочку рассуждений. Зная это, многие учителя используют табличную краткую запись, обозначив скорость одного из поездов буквой:
Скорость Время Расстояние
1. y 18 ч ?
2. у + 10 одинаковое 1620 км
18 ч ?
Такая краткая запись (модель задачи) является результатом аналитико-синтетической деятельности, которая представляет все связи и зависимости в легко обозримой форме и направляет на путь составления уравнения:
18 у +(у + 10) 18 = 1620. Решение этого уравнения основано на использовании указанных свойств действий и свойств числовых равенств (равносильности уравнений).
у 18 +у 18 + 180= 1 620
(18+18)у = 1620-180
36у = 1440
у = 1440 : 36
y = 40
О т в е т: 40 км/ч - скорость первого поезда, 40 + 10 = 50 (км/ч) - скорость второго поезда.
Как видим, составление такой таблицы дает возможность легко подвести детей к составлению уравнения.
Следует, впрочем, ответить, что при решении уравнения учащиеся испытывают трудности, связанные с недостаточным знанием дистрибутивного закона умножения (ас + bc = (а+ в)с ), а также с преобразованиями уравнения, что в свою очередь порождает формальное усвоение изучаемого материала. Учитывая это, многие учителя предлагают решать задачи арифметическим способом. Впрочем, зачастую и здесь решение задачи сопряжено с определенными трудностями, связанными с необходимостью делать те или иные предположения.