Обучение общим методам решения задач (стр. 2 из 3)

б) При реализации плана поможет и совет: "Замените термины и символы их определениями". Так, термин "параллелограмм" заменяется его определением: "Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны", термин "предел числовой последовательности" для доказательства, например, того предложения, что предел суммы двух последовательностей, имеющих пределы, равен сумме пределов этих последовательностей, можно заменить, и вполне успешно, его определением.

4) Анализ и проверка правильности решения задачи (4-й этап – проверка и исследование задачи). Даже очень хорошие ученики, получив ответ и тщательно изложив ход решения, считают задачу решенной. А ведь получение результата не означает еще, что задача решена правильно. Тем более не означает, что для решения выбран лучший, наиболее удачный, изящный, если можно так выразиться, вариант. По В. М. Брадису, задачу можно считать решенной, если найденное решение: 1) безошибочно, 2) обоснованно, 3) имеет исчерпывающий характер. Поэтому анализ решения задачи, проверка решения и достоверности результата должны быть этапом решения задачи. Итак, два совета: "Проверьте результат", "Проверьте ход решения". Проверка результата может производиться различными способами. Проверяя правильность хода решения, мы тем самым убеждаемся и в правильности результата.

Второй способ проверки результата заключается в получении того же результата применением другого метода решения задачи, поэтому полезно всегда задавать решающему вопрос: "Нельзя ли тот же результат получить иначе?" Иными словами, стоит последовать совету: "Решите задачу другим способом". Если при решении задачи другим способом получен тот же результат, что и в первом случае, задачу можно считать решенной правильно. Далее можно рассмотреть какой из использованных методов удобнее в данном случае. К тому же получение различных вариантов решения одной и той же задачи имеет важное обучающее значение.

2.1(а) Аналитико – синтетический метод.

Анализ – логический приём, метод исследования, состоящий в том, что изучаемый объект мысленно (или практически) разбивается на составные элементы (признаки, свойства, отношения), каждый из которых исследуется в отдельности как часть расчлененного целого.

Синтез – логический прием, с помощью которого отдельные элементы соединяются в единое целое (другими словами обратный анализу).

Не следует отделять эти методы друг от друга, так как они составляют единый аналитико-синтетический метод. Так при решении сложной задачи она с помощью синтеза разбивается на ряд более простых задач, а затем при помощи синтеза происходит соединение решений этих задач в единое целое.

Каждый из методов имеет свои недостатки так при решении синтетическим методом не всегда очевидно понятно с чего начинать решение или доказательство. С другой стороны при аналитическом методе иногда можно, к примеру, получить несколько решений и придется делать проверку.

Обучение данным методам важно ещё и потому что они выступают и как особые формы мышления.

При обучении анализу или синтезу следует тщательно подбирать задания, поскольку в каждом из них необходимо обоснование конкретного метода. Так при решении неравенств, как правило, используется аналитический метод, в этом случае использование синтеза затруднено.

Пример: (использование анализа при решении иррациональных уравнений)

1) рассмотрим левую часть:

т.к. x-3<x+9

2) следовательно

3) но

4) приходим к противоречию, а значит

5) уравнение решения не имеет.

Применение данного метода можно увидеть при решении следующих задач:

1) Анализ и синтез при решении задач на доказательство.

2) Анализ и синтез при решении текстовых задач. Текстовыми задачами здесь названы математические задачи, в которых входная информация содержит не только математические данные, но еще и некоторый сюжет (фабулу задачи).

При решении текстовых задач с помощью аппарата арифметики роль анализа сводится к составлению плана решения, задача же чаще всего решается синтетическим методом.

Пример: Два самолета с реактивными двигателями одновременно вылетели с двух аэродромов навстречу друг другу. Расстояние между аэродромами 1870км. Через сколько часов они встретятся, если один из них в 2/5 часа пролетает 360км, а скорость второго составляет 8/9 скорости первого.

Главная трудность при решении данной задачи это составление плана её решения разбиение условия на отдельные этапы. Для этого нужен глубокий анализ условия. Само решение отдельных задач трудности уже не вызывает но бывает трудно свести решения этих задач к ответу на основной вопрос задачи.

Решение:

1.Какова скорость первого самолета?

360:2/5 = 900км/ч

2.Какова скорость второго самолета?

900•8/9 = 800км/ч

3.На сколько самолеты сближаются в течение часа?

900+800 = 1700км

4.Через сколько часов после вылета самолеты встретятся?

1870:1700 = 1.1 часа

3) Анализ и синтез при решении задач на построение в геометрии. Анализ и синтез применяются и при решении задач на построение в геометрии, иначе, конструктивных задач геометрии. Как известно, решение этих задач выполняется по следующему плану: анализ, построение, доказательство, исследование. Название первой части - анализ говорит само за себя: это действительно метод анализа, ведущий от искомых ("предположим, что искомая фигура построена") к данным, точнее, к их использованию в построении. При анализе намечается план построения, которое выполняется синтетическим путем. При доказательстве возможно использование, как анализа, так и синтеза, но чаще применяется последний метод. Исследование предполагает преимущественное применение метода анализа.

2.2(б) Метод сведения к ранее решенным.

Суть обучения данному методу заключается в обучении школьников увидеть в данной задаче ранее решенную и сведению решаемой задачи с помощью последовательных преобразований к ней.

Если, например, нужно решить уравнение то обычно составляют такую конечную последовательность уравнений, эквивалентных данному, последним звеном которого является уравнение с очевидным решением.

Аналогично поступают и при решении различного вида уравнений, неравенств и систем уравнений. Особую роль этот метод играет при нахождении производной.

Пример:(из уч. Колмогорова )

Найдите производную f(x) = cos2x•sinx + sin2x•cosx

cos2x•sinx + sin2x•cosx = sin(2x+x) по формуле сложения

f(x) = sin(2x+x) => f(x) = sin3x

Из полученного равенства найти производную не составляет особого труда.

Изучению данного метода в школьном курсе способствует тема «Разложение на множители» (7 класс).

А ещё раньше использование этого метода можно увидеть при решении текстовых задач, когда исходная задача сводится к нескольким простым задачам. Здесь можно увидеть тесную связь метода сведения с аналитико – синтетическим методом.

В школьном курсе данный метод используется очень широко в тригонометрии (при решении уравнений и неравенств). Так в самом начале изучения данной темы учащимся предлагают заучить основные тригонометрические тождества, затем формулы сложения, приведения, суммы и разности. А в дальнейшем сначала вырабатываются умения и навыки решения простейших тригонометрических уравнений.

Пример: (из уч.Колмогорова). Найдите значение других трех основных тригонометрических функций, если sinα= - 0.8, Π<α<3Π/2

После этого переходят к более сложным выражениям, но теперь уже формируются навыки по приведению их к простейшим.

Конечно, указанное сведение нужно понимать и как выведение, как конечную последовательность, ведущую от искомых к данным. Этот метод наиболее часто применяется в тех случаях, в которых заданное отношение обладает свойством транзитивности. Таковы отношения эквивалентности (равенства, уравнения, тождества, логическая равносильность, параллельность) и порядка (строгие и нестрогие неравенства, включение множеств, логическое следование). Прием "сведения" лежит в основе решения геометрических задач на построение. В каждой задаче этого вида содержится требование: исходя из данных фигур (или данных их элементов), с помощью указанных конструктивных элементов построить фигуру, удовлетворяющую определенным условиям. Это означает, что требуемое построение должно быть сведено к так называемым элементарным построениям, выполняемым реальными инструментами.

Метод сведения находит постоянные применения при решении текстовых задач арифметическими способами. Суть дела здесь состоит в том, что данная задача сводится к простым задачам.

Решение задач на доказательство теорем в своей основе имеет также сведение: доказываемое утверждение сводится к ранее доказанным теоремам и ранее введенным аксиомам и определениям данной научной области. Доказать - это, значит, свести новую теорему (задачу) в конечном счете, к аксиомам.