Обобщающее повторение по геометрии на примере темы Четырехугольник (стр. 6 из 8)
Проводится анализ:
Вопрос: Для того, чтобы доказать, что EFMN — параллелограмм, что достаточно доказать?
Ответ; параллельность прямых EF и MN, а также ЕN и MF.
Вопрос: Как можно доказать? (или, если не отвечают: Используя какой признак параллельности прямых можно это доказать?).
Ответ: Первый признак параллельности прямых т.к. в других признаках участвуют углы, а в условии задачи об углах ничего не сказано.
Вопрос: В первом признаке параллельности прямых говорятся о трех прямых. Где взять третью прямую?
Ответ: Соединить точки А и С. Получим два треугольника — АВС и АДС.
Вопрос: Какое соотношение известно в этих треугольниках? Или: Чем являются ЕF и MN в DАВС и DАДС?
Ответ; ЕF является средней линией DАВС, ибо АЕ = FВ и ВГ = FC, а MN является средней линией DАДС, т.к. СМ = МД и ДN = NА.
Вопрос: Какой признак среднейлинии мы знаем?
Ответ: Средняя линия параллельна основанию.
Вопрос: Какой вывод можно сделать о ЕF и MN?
Ответ: ЕF || АС и МN || АС. Значит, по первому признаку параллельности прямых следует, что ЕF || MN.
Аналогично доказывается, что ЕN || FM.
Проведем так называемый «взгляд назад» и попробуем найти другое решение, более рациональное и короткое.
Вопрос: Как еще можно доказать, что четырехугольник EFMN — параллелограмм?
Или: Каким признаком параллелограмма можно воспользоваться, чтобы доказать, что четырехугольник EFMN — параллелограмм?
Ответ: Воспользоваться признаком параллелограмма, который заключается в том, что если в четырехугольнике противоположные стороны попарно параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Значит надо доказать, что EF || MN и EF = MN.
Вопрос: Параллельность прямых EF и MN доказывается так, как это было сделано выше. Как доказать равенство ЕF и МN? или: Какое свойство средней линии мы знаем?
Ответ: Так как ЕF — средняя линия DАВС, то ЕF равна половине основания АС; MN средняя линия АДС и М равна половине основания АС. Значит ЕF = MN.
Это решение являетсяболее рациональным и коротким.
Теперь надо записать решение задачи. Для этого уже используется синтез.
АЕ = ЕВ ЕF || AC 
BF = FC EF = 1/2 AC EF || MN Þ EFMN – парал– 
СМ = МД MN || AC EF = MN лелограммДN = NA MN = 1/2 AC
В классе всегда есть ученики, которые быстро найдут решение этой задачи. Для организации индивидуальной групповой деятельности более сильным учащимся можно дать дополнительные задания:
Какой вид должен иметь исходный четырехугольник, чтобы полученный был
а) прямоугольником?
б) ромбом?
в) квадратом?
В этом случае целесообразно подойти к распределению дифференцированно: наиболее сильным предложить вариант в), средним — вариант б), остальным — а).
Предлагая учащимся задачи с избыточной и неполной информацией, мы воспитываем в них готовность к практической деятельности. Рассматривая изящное решение той или иной математической задачи, мы способствуем эстетическому воспитанию школьников.
Мне хочется привести несколько примеров задач, возникших из рассмотрения шарнирной модели четырехугольника.
Убедившись вместе со школьниками в подвижности этой модели (не жёстко скрепленной в вершинах) учитель побуждает их к выводу, что четыре данные стороны не определяют четырехугольник однозначно,
Затем перед учащимися формируется сама задача.
Задача 1. Имеется модель шарнирного четырехугольника со сторонами определённой длины. Каким способами можно придать «жёсткость» данной модели четырехугольника, если его вершины не могут быть закреплены? Ответ обосновать.
В ходе обсуждения этой задачи предлагаются различные варианты её решения, которые проверяются опытными путями, например, скрепить две вершины четырехугольника планкой по диагонали, соединить планкой середины двух противоположных сторон и т. д.
Убедившись на опыте в разумности сделанных предложений, учащихся приходят к необходимости обосноватьтот или иней способ «наведения жесткости». С помощью учителя они приходят к возможности провести это обоснование, переформулировать задачу в виде соответствующей задачи на построение. Роли по заданным элементам можно построить единственную фигуру, то её модель будет жёсткой.
Возможность сведения конкретной задачи, определённой на модели, к решению абстрактной геометрической задачи на построение реализует одну из важнейших воспитывающих функций геометрических задач: связь обучения математике с жизнью, т.е. показывает реальное происхождение математических абстракций.
Учитывая «свойство жесткости» треугольника первое из вышеназванных решений обосновывается достаточно просто. Однако обоснование второго пути решения задачи не столь очевидно. Возникает уже чисто геометрическая абстрактная задача.
Задача 2. Построить 4-х угольник АВСД, зная длину его сторон и длину отрезка MN, соединяющего середины сторон АВ и ДС.
Допустим, что искомый 4-х угольник АВСД построен (рис. 3а). Выполним параллельный перенос (ДN) стороны ДА и || перенос (CN) стороны СВ, теперь из точки исходят 3 отрезка А1N, MN, NВ1 известной длины.
Нетрудно показать, что точка М является серединой АВ1. В самом деле, длины отрезков АА1 и ВВ1 равны 1/2ДС, а сами отрезки || ДС.
Поэтому четырехугольник А1АВ1В является параллелограммом. Точка М — середина его диагонали АВ. Поэтому М принадлежит диагонали А1В1 и является ее серединой.
Итак, в D NA1B1 известны стороны NA1, В1N и заключённая между ними медиана. Для того, чтобы построить этот треугольник, отметим точку N1, симметрично относительно М. Очевидно, |АN| = |В1N|.
Треугольник N1NA1 можно построить по трем известным сторонам: |NA1| = |ДА|, |A1N1| = |В1N| = |CB| и |NM1| = 2|NM|.
Теперь построим искомый четырехугольник. Делим отрезок N1N точкой М на два конгруэнтных отрезка, строим точку В1, симметричную А1 относительно М. По трем сторонам построим треугольники А1МА и МВВ1. Перенеся отрезок А1А на вектор А1N, а отрезок ВВ1 на вектор В1N, подучим все четыре вершины искомого 4-х угольника АВСД. Нетрудно показать единственность решения задачи.
 |
Усилению развивающих функций задачи способствует последующая постановка задач-аналогов, при решении которых используется некоторый(один и тот же) прием, основанный на применении определённого метода. Так как параллельный перенос элементов фигуры(АС) приводит к построению вспомогательного четырехугольника СВВ1Д1 с весьма интересными свойствами.
Например, 4‑х угольник ДД1В1В — параллелограмм, стороны которого конгруэнтны диагоналям 4-х угольника АВСД, в углы конгруэнтны углами между этими диагоналями; длины диагоналей ДД1В1В вдвое больше длин отрезков, соединяющих середины противоположных сторон АВСД; расстояния от точки С до вершин этого параллелограмма равны соответственно длинам сторон 4-х угольника АВСД и т.д.
 |
Многие в этих свойств позволяют решить задачи, аналогичные исходной, создают условия для распространения определенного приема на целый класс задач, способствуя, т.о., формированию у учащихся способностей к обобщению (через анализ).
Таковы, например, следующие задачи:
Задача 3. В четырехугольнике АВСД известны длина отрезка М, соединяющего середины сторон АВ и СД, длина диагонали АС и длины сторон АВ, ВС и АД.
Является ли данная фигура жесткой?
Задача 4. Построить трапецию АВСД по данным диагоналям АС, ВД, стороне АД и отрезу МN, соединяющему середины её оснований.
Рассмотрение этого примера показывает, как достаточно широко можно использовать обучающие, развивающие и воспитывающие функции задач в их единстве. В самом деле, в ходе решения этих задач используются различные свойства геометрических фигур, активно работает метод параллельного переноса и прием построения вспомогательной фигуры с весьма интересными свойствами, тесно связанными со свойствами заданной (искомой) фигуры (реализуются различные развивающие функции), задача легко моделируется (дотекает опытные решения), возбуждает интерес школьников (реализуются воспитывающие функции). Задача такова, что может служить источником разнообразных аналогичных задач, многие из которых как показал опыт, успешно составляются самими школьниками, что способствует формированию у них творческой активности.
Опыт показывает, что успешность в реализации воспитывающих функций математических задач во многом определяется пробуждением у учащихся интереса к данной задаче, возникновением у них устойчивой потребности в её решении, наличием интереса к самому процессу решения задач на основе последнего часто возбуждается и формируется интерес учащихся к изучению самой математики и смежных учебных дисциплин, интерес к учению в целом.
Факторы, существенно влияющие на формирование у учащихся устойчивого интереса к решению математических задач, весьма разнообразны. К ним, например, относится доступность предложенной задачи, внешняя или внутренняя занимательность задачи, осознанная возможность проявить при этом творческую самостоятельность.