Неевклидова геометрия (стр. 2 из 6)

Если бы Саккери пользовался лишь логическими выводами, строгой дедукцией, то никакого противоречия он в указанных выше предложениях не нашел бы. Однако, будучи предубежден о невозможности того, что для евклидова постулата не имелось доказательства, Саккери для опровержения гипотезы острого угла прибег к утверждению чисто интуитивного характера: существование асимптотических прямых якобы «противоречит природе прямой линии». Заслуга Саккери состоит, разумеется, не в конечном его установлении промежуточных предложений, выведенных им на основе гипотезы острого угла, которые 100 лет спустя легли в основу новой неевклидовой геометрии Лобачевского.

К числу предшественников последнего, следует отнести и члена Берлинской Академии наук – астронома, математика и философа Иогана Генриха Ламберта, считавшего себя Швейцарским ученым и писавшего одни из своих произведений на французском языке. Другие – на немецком.

В опубликованном после его смерти произведении «Теория параллельных линий»(1786) Ламберт рассматривает четырехугольник. И исследует, как и Саккери, возможные при этом три гипотезы. Он получает ряд новых результатов геометрии, построенной на гипотезе острого угла, то есть будущей неевклидовой геометрии Лобачевского, в том числе и следующий: если сумма углов треугольника АВС, как известно, меньше двух прямых углов, равна 2d -d,то площадь треугольника пропорциональна d (d - «дефект треугольника»). В отличие от Саккери Ламберт в своих рассуждениях нигде не отступает от строгой дедукции, и поэтому он не находит противоречия в гипотезе острого угла и признает тщетность всех попыток доказать V постулат. Не смотря на это, однако, Ламберт, как и его предшественники, не считал гипотезу острого угла действительно возможной. На таких же позициях стоял и знаменитый французский математик А.М. Лежандр (1752- 1833), значительно способствовавший своими многочисленными попытками доказать евклидову аксиому параллельности, привлечению внимания математиков первой половины 19 в. к проблеме V постулата.

Эта проблема, как известно, была впервые решена профессором Казанского университета, гениальным русским математиком Николаем Ивановичем Лобачевским (1792- 1856), открывшим в 1862 г. первую неевклидову геометрию, называемую так же « гиперболической». Независимо от него к тому же открытию пришел и молодой венгерский математик Я. Бояй. Первый печатный труд по неевклидовой геометрии - статья Н.И. Лобачевского « О началах геометрии» - появился в 1829г. в « Казанском вестнике». Через 3 года была опубликована на латинском языке работа по неевклидовой геометрии « Appendix» («Приложение»), название которой объяснялось тем, что она появилась к одной из работ отца Яноша, математика Фаркаша Бояй. После смерти Гаусса выяснилось, что он также еще до Лобачевского и Бояй пришел к той же геометрии. Идеи Лобачевского и Бояй с трудом пробивали себе дорогу в науке. Лишь в 70-80г.г. прошлого столетия после появления работ Римана, Кэли, Клейта и Пуанкаре более широким кругом математиков стало ясно, что Vпостулат недоказуем, так как он не зависит от других аксиом евклидовой геометрии.

Попытки доказательства V постулата принесли большую пользу в том отношении, что выяснили, какие теоремы геометрии относятся на этот постулат и какие от него не зависят. Совокупность теорем геометрии, не зависящих от евклидовой аксиомы параллельности, венгерский математик Янош Бояй назвал «абсолютной» геометрией. Все же остальные теоремы, то есть те, при доказательстве которых мы непосредственно или косвенно основываемся на V постулате, составляет собственно евклидову геометрию.

В курсе 6 класса важнейшими теоремами абсолютной геометрии являются следующие: теорема о смежных и вертикальных углах, о равенстве треугольников, о внешнем угле треугольника, о прямой и ломанной, о сравнительной длине перпендикуляра и наклонных, прямая теорема параллельных.

К собственно евклидовой геометрии относятся: обратная теорема параллельных линиях (то есть о том, что при пересечении двух параллельных прямых третьей соответственные углы равны), теорема о пересечении перпендикуляра и наклонной одной и той же прямой, о сумме углов треугольника со всеми ее следствиями (в том числе и теорема о сумме углов многоугольника).

На аксиоме параллельности основывается почти весь раздел

«Параллелограммы и трапеции». В главе «Об окружности» все теоремы о форме и положении окружности (за исключением теоремы о том, что через всякие три неколлинеарные точки можно провести окружность и следствий этой теоремы). Теорема о зависимости между дугами, хордами и расстояние хорд до центра, о взаимном расположении прямой и окружности не опираются на аксиому параллельных Евклида. Доказательство многих теорем раздела «О вписанных и описанных многоугольниках» существенно основывается на приложении о том, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных углов, а это приложение в свою очередь вытекает из теоремы о сумме углов треугольника – теоремы, непосредственно связанной с евклидовой аксиомой параллельных. Теорема о том, что во всякий треугольник можно вписать окружность, не требует евклидовой аксиомы параллельных.

Раздел «Подобные фигуры» также построен на аксиоме параллельных, так как с самого начала лемма, доказывающая существование подобных треугольников опирается на евклидову теорию параллельных, на аксиому параллельности («прямая, параллельная какой-нибудь стороне треугольника отсекает от него треугольник, подобный данному»). Сюда относятся и все теоремы о метрических соотношениях в треугольнике и круге, в том числе и теорема Пифагора.

В разделе «Правильные многоугольники» теоремы о построении правильных многоугольников циркулем и линейкой опирается на аксиому параллельных, тогда как теорема о том, что около всякого правильного многоугольника можно описать окружность, принадлежит абсолютной геометрии. Теоремы о площадях фигур связаны с аксиомой параллельности Евклида, так как единицей измерения площадей избирается квадрат – понятие евклидовой геометрии.

В стереометрии к абсолютной геометрии относятся разделы об определении положения плоскости ( в том числе основные свойства плоскости), о перпендикуляре и наклонных к плоскости, о двугранных и многогранных углах, об угле прямой с плоскостью. Предложения, заключающие понятие параллельности, связаны с указанной аксиомой. Далее в 10 классе, все утверждения, содержащие понятие площади поверхности и объема, опираются на постулат Евклида.

В отношении геометрических построений следует иметь в виду, что к задачам абсолютной геометрии принадлежит построение треугольника по трем его сторонам или по двум сторонам и углу между ними, проведение перпендикуляра из точки на прямой к данной прямой. Не опираясь на V постулат можно решить также задачу о проведении касательной к данной окружности из внешней точки. Только в целях упрощения эта задача решается в учебниках при помощи аксиомы параллельных Евклида. На постулат Евклида опираются почти все задачи, содержащие в условии понятия площади и параллельности.

Два тысячелетия бесплодных усилий и крушений всех попыток (в том числе и своей собственной, основанной на методе приведения к абсурду) доказать V постулат, привели Лобачевского к мысли о том, что этот постулат не зависит от других аксиом евклидовой геометрии, то есть из них не вытекает, и поэтому его доказать нельзя.

Но если V постулат не зависит от других аксиом, то допуская все другие аксиомы (абсолютнойгеометрии), мы можем принять или не принять евклидов постулат. В первом случае мы получаем известную классическую евклидову геометрию, названную Лобачевским “употребительной”. Если же вместо евклидовой аксиомы параллельности принять другую, ей не эквивалентную, получимновую, неевклидову геометрию. Лобачевский и сформулировалновуюаксиому параллельных, прямопротивоположную аксиомеЕвклида: “Через точку вне прямой можно провести не только одну прямую, не встречающую данной прямой, а по крайней мере две”. Заменив этойаксиомой V постулат Евклида, Лобачевский разработал свою неевклидову геометрию, которая оказалась такой же логически безупречной, правильной, как и геометрия Евклида.

Если из т. С вне прямой АВ (рис.3) опустить на нее перпендикуляр СD и построить перпендикуляр СN к CD, то без помощи аксиомы параллельных доказывается, что NN’ || АВ.

Постулат Евклида утверждает, что из всех прямых плоскости АВС, проходящих через т. С, только одна прямая NN’ не встречает прямой АВ. Отказываясь от этой аксиомы, Лобачевский допускает, что через т. С проходит по крайней мере еще одна прямая CL не пересекающая АВ.

Аксиома Лобачевского кажется на первый взгляд странной, т.к. противоречит установившимся геометрическим представлениям. Однако при более глубоком анализе вопроса надо признать, что в отличие от других аксиом, касающихся фигур ограниченных размеров, аксиома параллельности Евклида относится к неограниченной прямой и никогда не может быть проверена с помощью непосредственного эксперимента, который может быть проведен лишь в ограниченной части пространства. Если, например, взять угол NCL достаточно малым, то отрезки CL и АВ не пересекутся даже на расстоянии, отходящим за пределы нашей планеты. И вот как раз в пределах определенной части плоскости, как бы эта часть не была велика, можно провести через данную точку множество прямых, не пересекающих данной прямой. Внутри круга любого конечного радиуса существует множество «прямых» (т.е. хорд), проходящих через т. С и не встречающих «прямой» АВ, например, CL, CM и другие (рис.4).