Методика преподавания процентов

Дипломная.

Содержание.

Введение._________________________________________________2

Глава1. Методическиеособенностиизучения процентовв

школьномкуре математике.

1.1 Некоторыеособенностиобученияматематике.__________6

1.2 Краткийанализ современногосостоянияпроцентов в

школьномкурсе математике.________________________9

1.3 История процентов.________________________________20

Глава2. Методика изученияпроцентов вмладших классах.

2.1 Методикаизучения процентовв учебнике

«Математика- 5» (пол редакциейН. Я. Виленкин,А. С.

Чесноков,идругие.)_______________________________________26

2.2 Методикаизучения процентовв учебнике

«Математика- 5» (под редакциейЛ. Н. Шеврин, А.Г. Гейн,

И.О.Коряков,другие.)____________________________________28

2.3 Методикавведения процентов._____________________________31

2.4 Методиканахождениянесколькихпроцентов

отчисла.____________________________________________33

2.5 Методиканахождениячисла по егопроцентам._________35

2.6 Методиканахожденияпроцентного отношения.________36

2.7 Задачина процентыдля младших классов. ____________37

2.8 Задачина процентыдля старшихклассов. _____________39

Глава3. Методика изученияпроцентов длястарших классови

поступающихв ВУЗы.

3.1 Задачина процентыдля старшихклассов, и

поступающихв ВУЗы.____________________________________41

3.2 Методикарешения задачна процентыдля старших

классов,и поступающихв ВУЗы.________________________51

3.3 Приложение.__________________________________________72

Вывод.___________________________________________________80

Литература.______________________________________________82

Введение.

Тема моейдипломнойработы этопроценты точнеебудет сказатьметодика изученияпроцентов вшколе, для обычногокурса обучениямладших классах,и углубленноеизучения длястарших классов,для тех, ктохочет поступатьв высшие учебныезаведения.Проценты в мирепоявилисьиз практическойнеобходимости,при решениеопределенныхзадач, в основномэто экономическиепотребности.И поэтому надоотметить важностьпроцентов внашей жизни.Так как процентыпроникли практически,во все отрослизнаний. Мы неоднократновидим, что процентыприменяют дажетам, где процентына первый взглядне применимытак, напримерчеловек навопрос как унего здоровье?Может ответить,что здоровпроцентов насемьдесят,отсюда видно,что процентыможно применятьпри измерениине только точныхвеличин, каккилограммы,рубли и.т.д. Таккак процентыявляютсяуниверсальнойвеличинойизмеренияразных величини объектов.Процентыуже появилисьв древности,когда появилосьпонятие долга,так как нужныбыли для выплатыпо закладными займам и т.д. И по этому вматематикестала, развиваетсяновая областькак проценты.Перваяпотребностьпроцентов былаэкономическая,но после процентыстали, широкоприменятсяв различныхотраслях инауках (математика,химия и т д. ) ив наше времяпроценты приобрелиширокоераспространение.И именно поэтому нам захотелосьрассмотреть,как ведетсяизучение процентовв школе.

Вмоей дипломнойработе мы хотелраскрыть методикуизученияпроцентов вшкольном курсе.Особенностиизученияв пятых классах,рассмотретьособенностиизложенияданной темыв разных учебниках.Так же мы попыталсярассмотретьсобственнуюметодику изученияпроцентов.Котораязаключаетсяв том, что мыпостаралсявзять все самоелучшее изразных источникови объединитьэто для улучшенияметодики изученияпроцентов. Ещев этой дипломнойработе намирассмотренаметодикарешения задачсвязные с такимипонятиями как«концентрация» и « процентноесодержания» это задачивязаные ссоставлениемсмесей и сплавов.Надо отметить,что задачисвязные стакими понятиямикак « концентрация» и « процентноесодержания» решаются встарших классахи это, как правило,задачи насоставлениеуравнений.

Такжев данной дипломнойработе мы постаралисьрассмотретьнесколькоинтересныхзадач на проценты,которые могутвстретитьсяв учащемсякоторые послешколы хотятпоступить вразличные вузыи где им можетвстретитьсяматематикаи вызвать затрудненияу учащихся. Атакжепосмотреть,где применяютсяпроценты, вкаких областях,и стоитли это вводитьв школу какосновной материалили нужно преподаватьэту часть какспецкурс поматематике.

Предмет– процесс обученияучащихся алгоритмурешения задачна проценты.

Объектом– являетсяучебная деятельность,при которойучащиеся учатсярешать задачина проценты.

Гипотеза– разобратьдополнительныеприемы изученияпроцентов вшколе, попытаетсядостигнутьзолотой середины.Когда при нехватки учебныхчесов, учащиесяв полной мерепонимали иусваивали такуютему как проценты.

Целимоей дипломнойработы являются:

1) Обшейанализ изученияпроцентов вшколе.

2) Разбор методики изучения процентов в 5 классе поучебникам.

3)Обобщениеметодики изученияпроцентов в5 классе.

4) Решение задач для вузов на проценты.

5)Разбор задачна составленияуравнений встарших классах.

Дипломная работа состоитиз введениятрех глав заключенияи списка

литературы.

В первойглаве рассмотримосновную методикуизученияпроцентов вшколе. Так жерассмотримнекоторыеособенностиметодики, котораясейчас естьв школе. Рассмотрим,как изучениепроцентоввлияет на развитиеучащихся, наих математическоеразвитие, и нетолько. Так каксама тема процентыпоявилась изпрактическойнеобходимостии остаетсяактуальнойи посей день.Значит, такаятема как процентыдолжна развиватьнекоторыепрактическиеаспекты мышленияучащихся. Ноне должна отрыватьсяот других изучаемыхтем школьногокурса математики. Так как мы являемсясторонникамитого, что в учебномпроцессе вседолжно бытьвзаимосвязанным.В обучение недолжно бытьскачков и разрывов,это приводитк тому, что учащиесятеряют последовательность,а значит, хужеусваиваютизучаемыйматериал.

Во второйглаве разобрали,как ведетсяпреподаваниепроцентов вразличныхучебникахматематике,обобщим материалпо изучениюпроцентов вшкольном курсуматематике.Также обозначимтри основныхдействия, которыенеобходимыпри работе спроцентами.Это методиканахождениянесколькихпроцентов отчисла, методиканахождениячисла по егопроцентам иметодика нахожденияпроцентногоотношения. Также разберемнесколько задачдля младшихи старших классов.

В третьейглаве промешализадачи на процентыдля старшихклассов, и тех,кто хочет поступатьв ВУЗы. Это задачина составлениеуравнений, напонятии яконцентрация,и процентноесодержания.Так же разобралиметодику решениязадач по этимтемам. И в приложениеразобрали рядинтересныхзадач, гдеприменяютсяпроценты.

Глава1. Методическиеособенностиизучения процентовв школьном курематематике.

1.1Некоторыеособенностив обучениематематике.

Историческисложились двестороны назначенияматематическойнауки: практическая,связанная ссозданием иприменениеминструментария,необходимогочеловеку в егопродуктивнойдеятельности,и духовная,связанная смышлениемчеловека, совладениемопределеннымметодом познания.Исходя из этого,и определяютсяметоды обученияматематике.Математическаяподготовканеобходимадля пониманияпринциповустройстваи использованиясовременнойтехники, восприятиянаучных и техническихпонятий. Математикаявляется языкомсовременнойнауки. Значенияматематическогообразованиядля формированиядуховной сферычеловека обусловленотем громаднымзапасом общечеловеческихи общекультурныхценностей,которые накопиламатематическаянаука в ходесвоего развития.

В процессеобучения варсенал приемови методовчеловеческогомышления естественнымобразом включаетсяиндукция идедукция, общениеи конкретизация,анализ и синтез,классификацияи систематизация,абстрагирование,аналогия. Объектыматематическихумозаключенийи правила ихконструированиявскрываютмеханизм логическихпостроений,вырабатываютумение формулировать,обосновыватьи доказыватьсуждения, темсамым развиватьлогическоемышление. Входе решениезадач, представляющихосновной видучебной деятельностина уроках математике,развиваютсятворческаяи прикладнаястороны мышления.

Принципиальнымположениеморганизациишкольногоматематическогообразованиядолжна статьтехнологияуровневойдифференциацииобучения математикев основнойшколе. Это означает,что, осваиваяобщий курс,одни школьникив своих результатахограничиваютсяобязательнымуровнем подготовки,другие в соответствиисо своимисклонностямии способностямидостигают болеевысоких результатов.При этом достиженияобязательногоуровня должностать непременнойобязанностьюучащихся в ихучебной деятельности.В то же времякаждый имеетправо самостоятельнорешить, ограничатсяли этим уровнемили продвигаетсядальше. Именнона этом путиосуществляетсягуманистическиеначала в обучениематематике.

У практическогоинтеллекта,кроме связаннойс этим названиемспособностирешать практическиезадачи, естьи другие атрибуты:здравый смысл,смекалка, «золотые руки», интуиция.Долгое времяразвитием этихсторон интеллектаребенка школаотносительнопренебрегалаили сводилаих главнымобразом кприобретениюучащимисяэлементарныхтрудовых уменийи навыков,относящиесяк малоквалифицированнойработе. В условияхперехода крыночным отношениями самостоятельнойэкономическойдеятельностилюдей значениепрактическогоинтеллектаособенно возросло,так как каждомучеловеку теперьнеобходимовести расчетливыйи продуманныйобраз жизни.

В структурупрактическогоинтеллектавходят следующиекачества ума:предприимчивость,экономичность,расчетливость,умение быстрои оперативнорешать возникающиезадачи. Предприимчивостьпроявляетсяв том, что в сложнойжизненнойситуации человекспособен находитьнесколькорешений возникшейпроблемы, аглавное – том,что какая быпроблема передним ни возникла,он всегда готови в состоянииотыскать ееоптимальноерешение, апрактическомплане. Предприимчивыйчеловек излюбой ситуациисможет найтивыход.

Сами процентыне дают экономическогоразвития, ноих знание помогаетв развитиипрактическихспособностей,а также умениерешать экономическиезадачи. Обдуманноеизучение процентовможет способствоватьразвитию такихнавыков какэкономичность,расчетливость.

Экономичностькак качествопрактическогоума состоитв том, что обладающийэтим качествомчеловек в состояниинайти такойспособ действия,который в сложившейсяситуации снаименьшимизатратами ииздержкамиприведет кнужному результату.

Расчетливостьпроявляетсяв умении заглядыватьдалеко вперед,предвидя последствиятех или иныхрешений и действий,точно определятьих результати оценивать,чего он можетстоить.

Наконец,умение оперативнорешать поставленныезадачи – этодинамическаяхарактеристикапрактическогоинтеллекта,проявляетсяв количествевремени, котороепроходит смомента возникновениязадачи до еепрактическогорешения.

Развитымможно считатьтакое практическоемышление, котороеобладает всемиуказаннымисвойствами.Экономичностьсформироватьу детей проще,чем другиекачествапрактическогоума, но делатьэто надо систематически,пробуждая детейв школе и домасамостоятельнопроизводитьрасчеты материальныхзатрат наинтересующиеих дела ( а такиеобязательнонайдутся ).

1.2Краткийанализ современногосостоянияпроцентов вшкольном курсематематике.

Тему«проценты»нельзя отнестик легко усеваемым.Ее традиционноеизучение сосредоточенов строгих временныхрамках курсаV– VIклассов, чтоне позволяетрасширитьспектр практическихприложенийи полноценноучитыватьвозрастныевозможностиучащихся вформированииряда практическихумений в работес процентами.Покажем, какпредлагаетсяизучать этотматериал вучебных комплектахпо математикедля V–VIклассов поредакцией Г.В.Дорофеева иИ.Ф. Шарыгина и для VII– IXклассов поредакцией Г.В.Дорофеева.

Преждевсего, отметим,что при изложениетемы «проценты»реализуютсямногие общиеметодическиеособенности,характерныедля курса вцелом.

Темаразворачиваетсяпо спирали иизучается внесколькоподходов с VIпо IX класс включительно.При каждомпроходе учащиесявозвращаютсяк процентамна новом уровне,их знанияпополняются,добавляютсяновые типызадач и приемырешения. Такоемногократноеобращение кпонятию приводитк тому, чтопостепеннооно усваиваетсяпрочно и осознано.Появляетсявозможностьвключать задачи,которые сейчасв действующихучебниках немогут рассматриватьсяпросто в силувозрастныхособенностейшкольников.

Вопросы,связанные спроцентами,позволяютсделать курспрактическо-ориентираванным,показать учащимся,что приобретаемыеими математическиезнания применяютсяв повседневнойжизни. Интересв значительнойстепени поддерживаетсятакже и содержаниемзадач, фабулыкоторые приближенык современнойтематике и кжизненномуопыту детей,а затем и подростков.Это служитдостаточносильным мотивомдля решенияпредлагаемыхзадач.

Введениепроцентовопирается напредметнопрактическуюдеятельностьшкольников,на геометрическуюнаглядностьи геометрическоемоделирование.С самого началаосвоения понятияучащиеся выполняютмного заданий,в которых требуетсязаштриховать,закрасить,начертить,вырезать частьфигуры. Широкоиспользуютсярисунки и чертежи,помогающиеразобратьсяв задаче и увидетьпуть решения.

Каки во всех остальныхразделах курса,при изложениеэтой темы реализованыширокие возможностидля дифференцированногообучения учащихся.Задачи предаютсяв широком диапазонесложности –от самых простых,базовых, додостаточнотрудных. Учительможет подобратьматериал,соответствующийвозможностямучащихся.

Приобучение решениюзадач на процентыучащиеся знакомятсяс разными способамирешения задач,причем спектрпримеров шире,чем это бываетобычно. Учениковладеваетразнообразнымиспособамирассуждения,обогащая свойарсенал приемови методов. Нопри этом такжеважно, что онимеет возможностьвыбора и можетпользоватьсятем приемом,который емукажется болееудобным.

Впервыео процентахучащиеся узнаютв Vклассе. Тампроцентырассматриваютсядважды: в началеучебного года,то есть до изучениядесятичныхдробей (приповторениии систематизацииматериала,связанногос обыкновеннымидробями ), а затемв серединеучебного годапосле изучениядесятичныхдробей еслив первом случаетема процентызатрагиваетсяповерхностно,то во второмслучаи приизучение десятичныхдробей идетуже более глубокоеизучение темыпроценты ужеболее осмысленно.

«Что такое процент» - это перваятема изучаемойлинии. Основнаяцель данногоэтапа – сформироватьпониманиепроцента какспециальногоспособа выражениядоли величины,выработатьумение выражатьпроцент соответствующейобыкновеннойдробью. Учащиесядолжны понять,что процентыне просто пустоеслово, а чтоэто универсальнаявеличина измерения,которая появиласьиз практическойнеобходимостиизмеренияразличныхвеличин и нетолько денежных.

Ненадо торопитсяприступатьк решению задачна нахождениюпроцента тотнекоторойвеличины. Надодать учащимсявозможностьпривыкнутьк введенномупонятию, освоитьфактическидругую терминологию.Через системуупражнений,как учебника,так и рабочейтетради ребятаучатся употреблениюнового термина,«переводу»задач с языкадолей и дробейна язык процентови обратно. Врезультатееще до решенияосновных задачна проценты,учащиеся прочноовладеваютдостаточнобольшим наборомфактов, которыепомогают имв дальнейшемпри изучениикак темы проценты,так и математикив целом. Так,они усваиваютнекоторые «эквиваленты»:

25% величины –это 1/4 этой величины;

половинанекоторойвеличины – этоее 50 %;

30 % величинывтрое больше,чем ее 10 % и т.п.

Ребятаучатся сравниватьдоли величины,заданные разнымиспособами:

1/3 больше,чем 25 %;

7/12некоторойвеличины больше50 % этой величины;

23% меньше четверти;вся величина - это 100 %. И т. д.

Выработкенавыков помогаетспециальнаяработа учащихсяв тетради, поспециальномуматериалуподобранномуспециальнопо учебник.Предлагаемаясерия практическихзаданий способствуетусвоению учащимисяпонятия процента.Приведем несколькопримеров длярабочей тетради.

Пример:Заштрихуйтена рисункиуказную частькруга:

25% 50% 75% 100%

Выберитедля каждогопроцента влевом столбцесоответствующеюему дробь:

10% 1/2;

50% 9/10;

30% 1/10;

75% 1/4;

90% 3/10;

25% 3/4.

Средиупражнений,направленныхна сознательноеусвоение материала,могут предлагатьсятакие задачи:

Примеры:

1.Для каждойфразы из левогостолбца подберитесоответствующуюфразу правом:

100 % учащихсяшколы

25 % учащихсяшколы

10 % учащихсяшколы

50 % учащихсяшколы

а) половинавсех учащихсяшколы

б)все учащихсяшколы

в) четвертьвсех учащихсяшколы

г) десятаячасть всех учащихся школы.

2. Туристыпроехали 50 % путина поезде и 40% пути на автобусе.Весь ли путьони проехали?

3. В классе40 % девочек. Когов классе больше– мальчиковили девочек?

3. Чтобольше:

а) 60 % всегокласса илиполовина класса?

б) 10 %зарплаты иличетверть зарплаты?

в)половина или45 % всего населениястраны?

Теперь,когда учащиесядостаточносвободно иосознано, владеютпонятием процента,можно перейтик задаче нанахождениепроцентовнекоторойвеличины.Методическицелесообразносначала находитьодин процентвеличины, апотом – несколькопроцентов этойвеличины (желательночтобы у педагогауже были сформированыосновные алгоритмыпо методикенахождениюпроцентов ).Что касаетсявторого приемарешения ( путемумножения наобыкновеннуюдробь ), то здесьон, конечно,рассматривается,но его обязательноеусловие отнесенона более поздниесроки. Опытпоказывает,что соответствующийнавык вырабатываетсяв процессемногократногоприменениепервого приема,как результат«свернутого»действия. Поэтомуна данном этапевторой приемв обязательныетребованияне включается.

Формулировкинекоторыхзадач предлагаютсяв развернутомвиде, то естьк рассматриваемомув условии сюжетупоставленыне один, а несколькопоследовательныхвопросов. Темсамым привлекаетсявнимание учащихсяк тому, какуюинформациюможно извлечьиз ситуациис процентами.

Пример:

1. В магазинебыло 800 кг картофеля.Продали 60 % картофеля.

1.Сколько килограммовкартофеляпродано?

2. Сколькопроцентоввсего картофеляосталось вмагазине?

3.Сколько килограммовкартофеляосталось вмагазине?

2.В кассе учреждениябыло 9000 руб. Наоплату командировочныхизрасходовали80 % этой суммы.Какие вопросыможно поставитьк задаче? Ответьтена них.

Специальнаясерия задач,посвященнаятрудному вопросуоб увеличениина 200 %, 300 % и т.д. Нужно постепенноподводитьучащихся кпониманиютого, что, например,увеличениена 100 % - это то жесамое, чтоувеличениев 2 раза и т.д.Приведем примеры:

Фирмав первый месяцвыпустила 160игрушечныхавтомобилей,в следующеммесяце онаувеличилавыпуск игрушекна 200 %. Сколькоигрушечныхавтомобилейстала выпускатьфирма? Во сколькораз увеличилсявыпуск игрушечныхавтомобилей?

В первомквартале 1995 годаквартплатав Москве в Омахс лифтом былана 100 % выше квартплатыв домах безлифта (рис. 2). Восколько разквартплатав домах с лифтомбыла выше квартплатыв домах безлифта?

Кварт-

плата

200%

Всвязи с инфляциейстоимостьпроезда в городскомтранспортеза полгодавозросла на300 %. Во сколькораз повысиласьстоимостьпроезда?

Учащиесятакже знакомятсяс формой неявногоиспользованияпроцентов,типичной длясредств массовойинформации,например: «Изкаждых 100 новорожденных51 - мальчики ».

Второйподход в изучениипроцентовсвязываетсяс десятичнымидробями, здесьпредлагаютсядва специальныхпункта. В пункте«Главная задачана проценты»учащиеся учатсянаходить процентвеличины умножениемна десятичнуюдробь. Приведемпример задачии ее решенияразными способами.

Оптоваяцена товарана складе 5500 руб.Торговая надбавкав магазинесоставляет12 %. Сколько стоиттовар в магазине?

Iспособ: 12 % - это0,12; 0,12 от 5500 руб. составляет5500*0,12 = 660 (руб.), поэтомутовар в магазинестоит 5500 + 660 = 6160 (руб.).

IIспособ: оптоваяцена составляет100 %, а цена товарав магазине на12 % больше, т. е.она составляет112 %; 112 % - это 1,12; 1,12 от 5500руб. составляет5500*1,12 = 6160 (руб.).

В пункте«Выражениедолей в процентах»центральнойявляется задачаоб определениетого, сколькопроцентов однавеличина составляетот другой. Здесьпринят подход,в соответствиис которым сначаланаходят, какуючасть однавеличина составляетот другой, выражаютее при необходимостидесятичнойдробью, а затем– в процентах.

Однаиз особенностейвычислительнойлинии курсасостоит вформированииумений выполнятьприкидку илиоценку результатавычисления.При изучениипроцентов этаработа, естественно,продолжается.Учащимсяпредлагаютсязадачи изповседневнойпрактики, вкоторых требуетсянайти приближеннос помощью прикидкипроцент отзаданной величины,для этого достаточнозаменить данныедругими числами,близкими к ними удобными длярасчетов. Так,если требуетсяприкинуть,чему равны 19% от какой – либовеличины, тонаходят 20 % этойвеличины, т.е.ее пятую часть.Вот примерызадач.

Передновым годаммагазин снизилцены на товарына 25 %. На сколькопримерно рублейпонизиласьцена товара,если до сниженияона составляла799 руб.? 1980 руб.? 9880 руб.?11890 руб.?

Выполнитеприкидку ивычислитепримерно:

а)19 % от 120 кг.

б)52 % от 697 руб.

в) 26 %от 810 м.

г) 21 % от1990 руб.

д) 676 % от4012 км.

е) 9 % от200 г.

Третийподходв изучениипроцентовотнесен к VIIклассу. В силувозрастныхвозможностей шестиклассникови уже накопленногоими опыта работыс процентамиучащимся становитсядоступнымимногие вопросыиз тех, чтотрадиционноне рассматривалисьсо всем классом,а предлагалисьлишь в качестведополнительныхв работе с сильнымиучащимися.

Впервой главеучебника выделенпункт «Решениезадач на проценты»,в котором помещенматериал,позволяющийвспомнитьсведения изVкласса, и продвинутсяв решении задач.Теперь рассматриваютсяболее сложныев техническомотношениезадачи. Онитребуют достаточно прочного навыкапредставленияпроцентовдробью и наоборот,умения того,какая из величин,участвующихв задаче, принимаетсяза 100 %. Поэтомув начале теоретическойчасти пунктарассматриваютсяприемы, с помощьюкоторых десятичнаядробь выражаетсяв процентахи, наоборот;здесь специальновыделяетсявопрос о «маленьких»и «больших»процентах, какнаиболее трудныйдля усвоения.На примереприведеннойниже задачиподробно радачиподробно рбырешения.

Пример:

Веснойцена товарабыла повышенана 10 %, а осенью– еще на 5 %. Сколькостал стоитьтовар, еслиего стоимостьбыла 3000 руб.?

Решение:

Дляначала найдемстоимостьпосле первогоповышения

3000 / 100 % или1% = 30 отсюда 10 % = 300рублей.

3000 + 300 = 3300рублей.

Найдемстоимостьпосле второгоповышения.

3300 / 100 % = 33или 1 % = 33 рубляотсюда 5 % = 165 рублей

3300 + 165 = 3465рублей.

Ответ:3465 рублей.

Предлагаемыев системе упражнениязадачи, какправило, допускаютразные способырассуждений,и учащиесясамостоятельновыбирают болееудобный и понятныйдля себя.

Кромезадач на нахождениепроцента отвеличины,рассматриваютсязадачи на нахождениевеличины поизвестномупроценту.

Отметимеще один методическийподход, используемыйв изучениепроцентов.Первую главузаключаетраздел «Длятех, кому интересно»,в котором учащиесяеще раз встречаютсяс задачами напроценты. Здесьрассматриваютсявосемь, еслиможно так сказать,«классическихолимпиадных»задач. Обычноони не включаютсяв учебники,так как являютсятрудными, нобудет жаль,если учащиесяуйдут из школы,не увидев этикрасивые иизящные задачи.Приведем примеродной из задач.

Пример:

Книгадороже альбомана 25 %. На сколькопроцентовальбом дешевлекниги?

Решение:

Ценаальбома – 100%.Изобразим еекаким либоотрезком ( рис.3 ). Увеличим этототрезок на 25%, т.е. на 1/4 его часть;получим отрезоксоответствующийцене книги.

Теперьцена книгисоставляет100%. Она изображенабольшим отрезком.Цена альбомаменьше ценыкниги на 1/5 этогоотрезка. Таккак 1/5 составляет20 %, то альбомдешевле книгина 20 %.

Ценаальбома – 100% Цена книги– 100 %

Ценакниги на 25 % больше Цена альбомана 20 % меньше

Ответ:на 20 %

Всяметодика обучениярешению задач,принятая вучебнике, позволяетпоказать учащимсянаглядныйспособ их решенияс помощью рисунков( хотя, конечно,эти задачиможно решитьарифметически).

Приизучении следующейглавы «Отношенияи пропорции»учащиеся активнопользуютсяопытом работыс процентамии приобретаютновый. В системуупражненийвключены новыезадачные ситуации,проиллюстрированныениже.

В сплаввходит медь,олово и сурьмав отношении4:15:6. Сколько процентовсплава составляеткаждый метал?

Наоблицовкуподъезда встроящемсядоме ушло 18 дней.За сколькодней можнобыло бы выполнитьэту же работу,если повыситьпроизводительностьна 20 %?

Помере овладенияновым математическимаппаратом приизучении алгебры,учащиеся осваиваютстратегиюрешения расчетныхзадач на проценты– с помощьюсоставленияуравнения.

Задачина «концентрацию»,«сплавы»,«банковскиерасчеты» - этохорошие примерыпрактическихзадач, позволяющиепродемонстрировать,как формальныеалгебраическиезнания применяютсяв реальныхжизненныхситуациях. Длятого чтобыпомочь учащимсяосознать нановом уровнеподход к решениюзадачи с процентами,в учебникеприводятсяобразцы решенияряда задач. Кразобранномуобразцу учащиесяпри желаниимогут, вернутсявновь, и использоватьего в качествеопоры при решенииподобной задачи.

Завершаетсялиния процентныхвычисленийв IXклассе темой«Простые исложные проценты»,включеннойв изучениеглавы «Арифметическаяи геометрическаяпрогрессии».Сведения опростых и сложныхпроцентах,которые самипо себе имеютбольшую практическуюзначимость,являются достаточноблагоприятнымматериаломдля применениязнаний, полученныхна урокахматематики.Возможностьопирается насформированныенавыки в работес процентами,на умениевоспользоватьсякалькулятором,табличным играфическимпредставлениеминформациипозволилорасширитьдиапазон решаемыхзадач на проценты.

Вучебнике неводится формулыпростых и сложныхпроцентов.Учащиеся должнырешать задачи,опираясь нена формулы, ана понимание,на смысл понятия«процент», наумение находитьпроцент отчисла. В темешироко используетсякалькулятор,который и позволяетрассматриватьсамые разнообразныезадачи.

Отметим,что в данномкурсе в русленовой содержательнойлинии «Анализаданных» формируютсяприемы сбора,представленияи анализаинформации,так или иначесвязанной спроцентами.Естественно,что процентыV– VI классах используетсядля представленияинформациив виде таблицдиаграмм, вVII– IXклассах – приизучениивероятностно-статистическогоматериала.

Историяматематикина уроках

1.3История процентов.

5 класс

В этом разделешкольной программы5-го класса хорошобыло бы рассказатьучащимся обистории возникновенияпроцентов, атакже об историипоявления насвет знакапроцента.

Также приизученияэтого материаланеобходимоучащимся объяснить,что такое –сотая частьчисла (например,сотая частьрубля это копейка) надо отметить,что к этомувремени учащиесяуже прошлиделение, и дроби,так что у нихне возникнетпроблем. Также надо отметить,что люди давнозаметили, чтосотые доливеличин болееудобны на практике(например, призаписи десятичныхдробей)

Итак, словопроцент отлатинскогослова pro centum, чтобуквальноозначает «засотню» или «соста». Идея выражениячастей целогопостоянно водних и тех жедолях, вызваннаяпрактическимисоображениями,родилась ещев древностиу вавилонян.Ряд задачклинописныхтабличек посвященисчислениюпроцентов,однако вавилонскиеростовщикисчитали не «соста», а «с шестидесяти».Проценты былиособеннораспространеныв Древнем Риме.Римляне называлипроцентамиденьги, которыеплатил должникзаимодавцуза каждую сотню.От римлян процентыперешли к другимнародам Европы.

Долгое времяпод процентамипонималисьисключительноприбыль илиубыток на каждыесто рублей.Они применялисьтолько в торговыхи денежныхсделках. Затемобласть ихприменениярасширилась,проценты встречаютсяв хозяйственныхи финансовыхрасчетах,статистике,науке и технике.Ныне процент– это частныйвид десятичныхдробей, сотаядоля целого(принимаемогоза единицу).

Знак % происходит,как полагают,от итальянскогослова cento (сто),которое в процентныхрасчетах частописалось сокращенноcto. Отсюда путемдальнейшегоупрощения вскорописибуква t превратиласьв наклоннуючерту (/), возниксовременныйсимвол дляобозначенияпроцента (см.схему, которуюможно использоватьна уроке).

В учебникеН.Я. Виленкина,В.И. Жохова,А.С. Чесноковаи С.И. Шварцбурда«Математика,5», вышедшем виздательстве«Мнемозина»в 1996 г. в рубрике«История математики»(с. 337) дана ещеодна достаточнолюбопытнаяверсия возникновениязнака %. Там, вчастности,говорится, чтоэтот знак произошелв результатенелепой опечатки,совершеннойнаборщиком.В 1685 г. в Парижебыла опубликованакнига-руководствопо коммерческойарифметике,где по ошибкенаборщик вместоcto напечатал%.

В названномучебнике содержатсятакже достаточнополезные сточки зренияобщего развитиядополнительныесведения, касающиесяпромилле (отлатинского«с тысячи») –десятой частипроцента. Сказатьучащимся обэтом нужно,указав приэтом его обозначение‰.

Вообще, изобретениематематическихзнаков и символовзначительнооблегчилоизучение математикии способствовалодальнейшемуее развитию.

В качествеопорного сигналак этому урокуможет бытьиспользованследующийплакат:

Он можетсопровождаться,в частности,таким комментарием:«Римляне бралис должникалихву (т. е. деньгисверх того,что дали в долг).При этом говорили:«На каждые100 сестерциевдолга заплатить16 сестерциевлихвы».

У учителяможет возникнутьвопрос: а какиестаринныезадачи можнорешать в этойтеме с учащимися?Что ж, если такихзадач учительне найдет, тоему придетсясамому сочинитьих.

Задачи систорическимисюжетами учительс легкостьюможет составитьсам, например,путем переформулировкинекоторыхзадач, изложенныхв учебнике5-го класса. Емупросто следуетввести в такиезадачи старинныйсюжет. Разумеется,главное всоставлениитаких задач– фантазия,эрудиция ипонимание целиобразовательныхзадач.

Приведупримеры двухзадач историческогосодержания,которые былисоставленыдля работы в5-м классе потеме «Проценты».

Задача 1. Одиннебогатыйримлянин взялв долг у заимодавца50 сестерциев.Заимодавецпоставил условие:«Ты вернешьмне в установленныйсрок 50 сестерциеви еще 20% от этойсуммы». Сколькосестерциевдолжен отдатьнебогатыйримлянин заимодавцу,возвращаядолг?

Ответ: 60 сестерциев.

Задача 2 (болеесложная). Некийчеловек взялв долг у ростовщика100 р. Между нимибыло заключеносоглашениео том, что должникобязан вернутьденьги ровночерез год, доплативеще 80% от суммыдолга. Но через6 месяцев должникрешил вернутьсвой долг. Сколькорублей он вернетростовщику?

Ответ: 140 руб.

Глава2. Методика изученияпроцентов вмладших классах.

2.1Методика введенияпроцентов вучебнике

" математика5 "

(полредакцией Н.Я. Виленкин,А. С. Чесноков,

и другие.)

Сотуючасть рубляназывают копейкой,сотую частьметра -сантиметром,сотую частьгектара - аромили соткой.Принято называтьсотую частьвеличины иличисла процентом.Значит однакопейка- один процентот одного рубля,а один сантиметр- один процентот одного метра,один ар - одинпроцент гектара,две сотых- один процентот числа два.

Процентомназываютодну сотуючасть числа.

Для краткости слов « процент » после числа заменяют знаком %.

Предложение «На слет направили 1,5% пионеров нашей школы » читают так: «На слет направили полтора процентапионеровнашей школы», а предложение« В этом месяцезавод перевыполнилплан на 8% » читаюттак: «В этом месяцезавод перевыполнилплан на восемь процентов».

Так как1% равен сотойчасти величины,то вся величинаровна 100%.

Задача№1: Швейнаяфабрика выпустила1200 костюмов.Из них 32% костюмынового фасона.Сколько костюмовнового фасонавыпустилафабрика?

Решение:Так как 1200 костюмов- это 100% выпуска,то,чтобы найти1% выпуска, надо1200 разделитьна 100. Получим,что 1200:100=12, значит,1% выпуска равен12 костюмов.Чтобы найти,чему равны 32%выпуска, надоумножить12 на 32. Так как12*32=384, то фабрикавыпустила384 костюма новогофасона.

Задача№2:За контрольнуюработу по математике12 учениковполучили отметку«5», что составляет30% всех учеников.Сколько учениковв классе?

Решение:Сначала узнаем,чему равен 1%всех учеников.Для этого разделим12 на 30. Так как12:30=0,4, то1% равен 0,4. Чтобыузнать, чемуравны 100% надоумножить 0,4 на100. Так как 0,4*100=40, 40учеников.

Задача№3: Из1800 га колхозногополя 558 га засаженокартофелем.Какой процентполя засаженкартофелем?

Решение:Картофелемзасажено 558 /1800всего поля.Обратимдробь 558/1800 в десятичную.Для это разделим558на 1800. Получим0,31. Значит, картофелемзасажена 31 сотаявсего поля.Каждая сотаяравна 1% поля,поэтому картофелемзасажен 31% всегополя.

2.2Методика введенияпроцентов вучебнике

" математика5 "

(подредакцией Л.Н. Шеврин, А. Г.Гейн, И.О.

Коряков,другие.)

Сотаячасть метра- это сантиметр,сотая частьрубля – копейка,сотаячасть центнера- килограмм.Люди давнозамети, чтосотые доливеличин удобныв тактическойдеятельности.Потому для нихбыло придуманоспециальноеназвание –процент ( отлатинского“по-центум”– на сто ). Значитодна копейка– один процентот одного рубля,а один сантиметр– один процентот одного метра.

ОДИНПРОЦЕНТ – ЭТООДНА СОТАЯДОЛЯ ЧИСЛА.

Математическимизнаками одинпроцент записываетсятак: 1%. Записи2%, 4% читают: ( Двапроцента ), ( Четырепроцента ).

Прочитайтепредложение« К 15 апрелявспахано 93%пахотныхземель »,

« Производительностьтруда повысиласьна 4% »,

«Цены сниженына 30% ».

Определениеодного процентаможно записатьравенством:

1% =0,01 * а

Каждыйбыстро сообразит,что 5%=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3 ит. д.

Какнайти 1% от числа?Раз 1% это однасотая часть,надо числоразделить на100. Мы уже сделаливывод, что делениена 100 можнозаменить умножениемна 0,01. Поэтому,чтобы найти1% от данногочисла, нужноумножить егона 0,01. А если нужнонайти 5%от числа, тоумножаем данноечисло на 0,05 и т.д.

Вот какоеправило получилось:

Чтобынайтиданноечислопроцентовотчисла,нужно процентызаписатьдесятичнойдробью,азатемчислоумножитьна эту десятичнуюдробь

.

Примеррешения задачина проценты.

Задача1.Токарьвытачивал за1 час 40 деталей.Применив резециз сверх прочнойстали, он сталвытачиватьна 10 деталейв час больше.На сколькопроцентовповысиласьпроизводительностьтруда токаря?

Решение:Итак чтобы решитьэту задачу,надо узнать,сколько, процентовсоставляют10 деталей от40. Для этого найдемсначала, какуючасть составляетчисло 10 от числа40.

Мызнаем, что нужноразделить 10на 40. Получится0,25. А теперь запишемв процентах– 25%. Получаемответ: производительностьтруда токаряповысиласьна 25%.

Итак,чтобы найти,сколько процентоводно числосоставляетот другого,нужно разделитьпервое числона второе иполученнуюдробьзаписать ввиде процентов.

Задача2.Тракториствспахал 1,32 кв.км пашни. Этосоставило 60%всей площади,которую долженвспахать. Каковався площадь,которуюему нужно вспахать?

Решение:Давайте рассуждать.Вся площадьнам не известна.Обозначим еебуквойX. Мы знаем, что60% от числа Xсоставляет1,32.

Значитсначала нужнозаменить десятичнойдробью, а затемзаписать уравнениеX* 0,60 =1,32. Решая его,получаем, чтоХ= 1,32/0,60 = 2,2(кв.км)

Что жемы заделали,чтобы найтиX?Во-первых, заменили проценты десятичнойдробью, во вторых,разделилиданное намчислона получившуюсядесятичнуюдробь.

Конечно,площадь и числопроцентов вэтой задачемогли быть другими. Но путь решения останется прежним. Значитможно сформулироватьправило:

Еслидано, сколькопроцентов отискомого числасоставляет данное число,то чтобы найтиискомое число,нужно заменить проценты десятичнойдробью и разделитьна эту дробьданное число.

2.3Методика введенияпроцентов.

Приизучение этогоматериаланужно сначалаучащимся объяснить, чтотакое сотаячасть числа(например, сотаячасть метра– это сантиметр,сотая частьрубля- копейка, сотаячасть центнера– килограмм)надо отметить,чток этому времениучащиеся ужепрошли делениеи дроби и уних не возникнетпроблем. Людидавно заметили,что сотые доли величинудобны в практическойдеятельности(например, призаписи десятичныхдробей). Потомудля них былопридуманоспециальное название– процент (отлатинского' по-центум ' –на сто ). Значитоднакопейка – одинпроцент отодного рубля,а один сантиметр– одинпроцент отодного метра.Итак, один процент– это одна сотаядоля.Здесь важнообратить вниманиена математическуюзаписьпроцентов" % ", и главноеобъяснить, чтоцелая частьравна "100%"что, "100%" и естьцелостностьчисла.

Такженадо обязательнообратить вниманиена свойства.

Свойства.

1)1%=А/100.

2)1%* 100 = А

НайтиВ процентов.

1

%= А/100

В%= В*А/100

В*1%= В%

Примернайти 7% от числа17.

7% от17 будет 7*17/100 = 1.19 илиодна целаядевятнадцать

сотыхэто семь процентовот семнадцати.

Такженужно отметить,что процентыэто аналогОбыкновеннымдробям ( 1/100 ) изэтого следует,что процентамивыполняютсявсе четыредействия присушиобыкновеннымдробям этосложение, вычитание,умножение,деление. Такчто при изучениетемы процентыможно опиратьсяна уже изученнуютему по обыкновеннымдробям.

Я ужевыше рассмотрелзадачи на нахождение процентов отчисла, так женахождениячисла по егопроцентам.Теперь я хотелбы рассмотретьзадачу на процентноеотношениечисел.

Чтобынайти процентноеотношение двухчисел А и В, надо отношениеэтих чиселумножить на100%, то есть вычислить(а/в)*100%.

Пример:

Задача1:Приплановомзадании 60 автомобилейв день заводвыпустил 66автомобилей.На сколькопроцентовзавод выполнилплан?

Решение:Воспользуемсяправилам.

(66/60)* 100=1,1* 100=110%

Ответ. 110%.

Задача2.Бронзаявляется сплавомолова и меди.Сколько процентовсплавасоставляетмедь в кускебронзы, состоящемиз 6 кголова и 34 кг меди?Решение:

1) 6+ 34 =40 (кг) массавсего сплава.

2) (34 * 100%)/40 = 85% сплава составляетмедь.

Ответ.85%.

2.4Методика нахождениянесколькихпроцентов отчисла.

В данномразделе мыхотели бы показатьметодику нахождениянесколькихпроцентов отчисла, так какэта тема являетсяодной из трехважнейших тем,которые должныпонять учащиесяпри изучениетакой темы какпроценты. Аглавное онидолжны понятьалгоритм нахождения одного илинесколькихпроцентов отчисла, и применятьэти способностина практике,при решениеразличныхзадач на проценты.

Главноечтобы учащиесяпоняли, чтодля того чтобынаходить процентыот числа нужнопонять, чтоодин процентявляется однойсотой от данногочисла. Из этогоследует, для определениеодного процента( а это главное,так как чтобынайти несколькопроцентов отчисла нужнонайти сначалаодин процент) можно записатьравенством:

1 %= 0,01 * а

отсюда любойучащийся быстропоймет, что 5%= 0,05, 23% = 0,23, 130%=1,3 ит. д.

Какнайти 1% от числа?Раз 1% это однасотая часть,надо числоразделить на100. Мы уже сделаливывод, что делениена 100 можнозаменить умножениемна 0,01. Поэтому,чтобы найти1% от данногочисла, нужноумножить егона 0,01. А если нужнонайти 5%от числа, тоумножаем данноечисло на 0,05 и т.д.

Так чтоот сюда можновывести алгоритмнахожденияодного илинесколькихпроцентов отчисла:

Чтобынайтиданноечислопроцентовотчисла,нужно процентызаписатьдесятичнойдробью,азатемчислоумножитьна эту десятичнуюдробь

2.5Методика нахождениячисла

поего процентам.

Дальшемы хотели быпоказать общуюметодику нахождениячисла от одногоили несколькихпроцентов. Таккак это такжеявляется важнойчастью в изучениепроцентов, таккак встречаютсяне только задачина нахождениепроцентов отчисла, но числапо процентам,это особеннохорошо виднов задачах связочныхс экономикой( на пример когдав банк ложитсясумма под проценты,а через какое-товремя забираетсяна с набежавшимипроцентамии нужно найтиданную сумму). Так что учащимсянужно так жераскрыть алгоритмнахождениячисла от несколькихпроцентов.

Учащиесяуже знают, чтоодин процентможно записатькак десятичнойдробью.

1 %= 0,01 * а

Таквот возникаетвопрос, какнайти искомое число, еслиизвестно лиш,сколько процентовсостовляетдругое числото искомого?Для это нужносначала процентызаписать десятичнойдробью, послечего нужноданное намчисло разделитьна эту десятичнуюдробь в результатемя получимчисло от несколькихпроцентов.

Еслидано, сколькопроцентов отискомого числасоставляетданное число, то, чтобы найтинайти искомоечисло, нужнозаменить процентыдесятичнойдробью и разделитьна эту дробьданное число.

2.6Методика нахожденияпроцентногоотношения.

Так же мы рассмотрели последнее, ноне мание важноев для нахождениепроцентов прирешение задач– это нахождениепроцентногоотношения. Вэтом разделерассмотрималгоритм нахожденияпроцентногоотношения.

Таквот встречаютсязадачи, в которыхданы два числаи нужно найтиих процентноеотношение, дляэтого нужновзять первоечисло назовемего а и разделимего на второечисло назовемего число в ,а затем результатумножим на стопроцентов . Томы получимпроцентноеотношениепервого числана второе.

( а/ в ) * 100 % (*)

Чтобынайти процентноеотношениедвух чисел аи в, надо отношениеэтих чиселумножить насто процентов, тоесть получитьформулу (*)

.

2.7Задачина процентыдля младшихклассов.

(надосразу отметить,что такие задачиочень важныв курсе изученияне только процентов,но и всей математике,так как здесь,как и числа,так и процентноесодержание,а это, как правило,пугает детей,так как их приучилиработать счем-то однимпри решениизадач.)

Задача1: Винипух оченьлюбил мед истал разводитьпчел в первыйгод пчелы дали10 кг меда, ноВинипуху этогобыло мало вовторой годпчелы увеличилипроизводствамеда на 10 % , но иэтого быломало Винипухуон подсчитал,что ему надопримерно 13 кгмеда. Вопроссколько летдолжен ждатьВинипух чтобыудовлетворитьсвои потребностипри условии,что пчелы каждыйгод будут увеличенапроизводствомеда на 10 %.

Решение:

Для тогочтобы узнать,сколько надождать Винипухунадо узнать,сколько у негобудет черезгод, а будет11 кг, через двагода 12,1 кг, и толькона третий годон удовлетворитсвои потребности.

Ответ: 3 года.

Задача2: Когда Том Соернаше клад онрешил частьденег отдатьтетушке, а частьоставить себе,так чтобы, положивих в банк при5 % годовых каждыйгод получатьэти процентына личные расходы,он даже подсчиталчто ему примернонадо в год 300долларов. Сколькоон должен положитьв банк?

Решение:

Если 5 % это 300 долларов, то100 % будет равно6000 долларов.

Ответ:6000 долларов.

2.8Задачина процентыдля старшихклассов.

Задача 1: Вбиблиотекеимеются книгина английскомгина английскомнемецкомязыках. Английскиекниги составляют36 % всех книг,французские - 75 % английскихкниг, а остальные185 книг – немецкие.Сколько всегокниг в библиотеке?

Решение:

75 % = 3/4 значит36 % * 3/4 = 27 % французские,книги от всегоколичества.

36 % + 27 % = 63 % этоанглийскиеи французскиекниги вместе.

100 % – 63 % = 37 % всегонемецких книг.

185 / 37 % = 5 книг это1 %.

Всего книгв библиотеки100 % * 5 = 500 книг.

Ответ: 500 книг.

Задача2: За килограммодного продуктаи 10 кг другогозаплачено 20рублей. Еслипри сезономизменении ценпервый продуктподорожал на15 %, а второй подешевелна 25 % , то за тожеколичествоэтих продуктовбудет заплачено18,2 рублей. Сколькостоит 1 кг каждогопродукта?

Решение:

С

оставимуравнение.

1 * Х + 10 * Y= 20

1 * X(1 + 0,15 ) + 10 * Y( 1 – 0,25 ) = 18,2

решивэто системууравненийполучим .

Y= 1,2 X= 8 рублей

Ответ: 8 руб.и 1,2 руб.

Задача3: Пшеницы и ржиколхоз собралвместе 500 тонн.После того какбыла повышенаурожайностьпшеницы не 30% и ржи на 20 %, колхозсобрал 630 тоннпшеницы и ржи.Сколько тонпшеницы и ржисобрал колхозпосле повышенияурожайности?

Решение:

С

оставимуравнение.

Х + Y= 500

X(1 + 0,3 ) + Y( 1 + 0,2 ) = 630

решив этосистему уравненийполучим .

Y= 240 X= 390 тон.

Ответ: 390 тонпшеницы, 240 тонржи.

Задача4: Вклад, положенныйв сбербанк двагода назад,достиг суммы,равной 1312,5 рублей.Каков былпервоначальныйвклад при 25 %годовых?

Решение:

Для решениеэтой задачинужно понимать,что результат1312,5 это сумма запервый год иплюс 25 % или 125 % или100 % = 1050 рублей.

Тожесамое делаемсуммой 1050, таккак вклад былна два года125% = 1050 рублей или100 % = 840 рублей.

Можно решитьвторым способомиспользуяформулу длясложных процентов

1312,5 = Х * ( 1+0,25)² Х = 840 рублей.

Ответ: 840 рублей.

Глава3. Методика изученияпроцентов длястарших классови поступающихв ВУЗы.

3.1 Примерызадач на понятие,« концентрация» и « процентноесодержание» которые могутвстретитьсяна вступительныхэкзаменах.

Для решениязадач такогоуровня нужноопределитьнекоторыепеременные,для того чтобыу нас не возниклизатрудненияпри использованияформул.

Во-первых,все сплавы исмеси однородны,если объемсмеси равенV₀,а объем веществсодержащихся в нем равенV₁и V₂ то тогда;

V₁/ V₀– процентноесодержаниявещества всмеси,

V₂/ V₀– процентноесодержаниявторого веществав смеси.

Во-вторых,d₁и d₂ удельныйвес компонентовв смеси.

В-третьих,вес смеси обозначимqи будем находитьего по формуле

q= V₁* d₁+ V₂* d₂

Задача1: В пустойрезервуар подвум трубамодновременноначинают поступатьчистая водаи раствор кислотыпостояннойконцентрации.После наполнениярезервуарав нем получился5 %-ный растворкислоты. Еслибы в тот момент,когда резервуарбыл наполнендо половины,подачу водыпрекратили,то после наполнениярезервуараполучили бы10 %-ный растворкислоты. Определить,какая трубаподает жидкостьбыстрее и восколько раз?

Решение:Здесь необходимоиспользоватьтакую формулу.

V₁* d₁+ V₂* d₂

= d₃

V₁+ V₂

Так как наполненныйна половинурезервуаримеет концентрацию5 %. А, доливаявторую половинураствора кислоты,получим концентрацию10 %. Подставимэти значения.

V₁* 0,05 + V₁* d₂

= 0,1

V₁+ V₁

Объемы сокращаютсяи концентрацияраствора кислотыравна 15 %, этозначит, водапоступаетбыстрее. Таккак смесь имеетконцентрацию5 %, а смесь половинырезервуарас этой концентрациейс растворамкислоты равна10 %, то вода поступаетв два раза быстрее.

Ответ:Первая трубаподает жидкостив два раза быстрее.

Задача2: Смесьравных объемовдвух веществимеет массу80/13 г. Масса второговещества всмеси равнамассе 52/7 см³первого вещества,а плотностьвторого веществаравна 1 г/см³.найдите объемкаждого веществав смеси.

Решение:Здесь необходимоиспользоватьтакую формулу.

q= V₁* d₁+ V₂* d₂

известно

V₂* d₂=52/7 * d₁

или

d₁= V₂* d₂* 7/52

теперьподставимзначения

80/13= V₁* V₂* d₂* 7/52 + V₂* d₂ поусловию V₂= V₁

или

7V₂²+ 52 V₂= 320

вэтом квадратномуравнениисуществуетодин корень,который удовлетворяетусловию этоV₂= V₁= 4см³.

Ответ:Объемкаждого извеществ равен4см³.

Задача3: В сосудеемкостью 6л.налито 4 л. 70%-ногораствора сернойкислоты. Вовторой сосудтой же емкостьюналито 3 л. 90%-ногораствора сернойкислоты. Скольколитров растворанужно перелитьиз второгососуда в первый,чтобы в немполучилсяr%-ныйраствор сернойкислоты? Найтивсе r,при которыхзадача имеетрешение.

Решение:Здесь необходимоиспользоватьтакую формулу.

X* P/100 + Y * q/100

= r/100

X+ Y

или

X* P+ Y * q

= r ( * )

X+ Y

теперьвыражаем Y

Y= ( P* X– X* r)/( r– q ) или (X* r– P* X)/(q– r)

Подставимзначение

Y= ( 4r– 280 )/( 90 – r)

Таккак сосуд емкостьюшесть литровто долить внего можнотолько двалитра 90% кислоты.Подставим этизначения вформулу ( * ) получим.70 ≤ r≤ 230/3.

Ответ:( 4r– 280 )/( 90 – r), 70 ≤ r≤ 230/3.

Задача4: Из двухжидкостей,плотностикоторых равны2 г/см³и 3 г/см³соответственно,составленасмесь. Сколькограммов каждойжидкости взятои какова плотностьсмеси, если 4см³смеси весятв десять разменьше, чемвся перваяжидкость, а 50см³смеси весятстолько же,сколько всявторая жидкость,входящая в тусмесь?

Решение:Здесь необходимоиспользоватьтакую формулу.

q= V₁* d₁+ V₂* d₂

где qвес полученнойсмеси или q= V₃* d₃нам известночто

V₁* d₁= 40 * d₃ d₃= (V₁* d₁)/40

Можновыразить, (* )

V₂* d₂= 50 * d₃ d₃= (V₂* d₂)/50

или

V₂* d₂= 5/4 * ( V₁* d₁) или V₂=( 5/4 * ( V₁* d₁))/ d₂ (1)

V₁* d₁= 4/5 * ( V₂* d₂) или V₁=( 4/5 * ( V₂* d₂))/ d₁ (2)

Намизвестно что,

X* P+ Y* q

=r

X+Y

Подставимнаши значенияв формулу:

V₁* d₁+ V₂* d₂

= d₃

V₁+ V₂

Давайтеподставим вэту формулузначения из( 1 ) формулы.

V₁* d₁+ 5/4 * ( V₁* d₁)

= (V₁* d₁)/40

V₁+ (5/4 * (V₁* d₁))/d₂

Отсюдавыражаем V₁:

V₁= 540/11

Проделаемтоже самое дляV₂, для этого надов формулу подставитьуже ( 2 ) формулу,отсюда следует.

V₁= 540/11

А теперьподставимлюбое из этихзначений вформулу ( * ) иполучим равенство:

d₃= 27/11

Такимобразом, мыпришли к решениюзадачи и теперьможно записатьответ.

Ответ:V₁= 540/11 г,V₁= 540/11 г,d₃= 27/11г/см³.

Задача5: Имеютсядва раствораодной той жесоли в воде.Для получениясмеси, содержащей10 г. соли и 90 г. воды,берут первогораствора вдвоебольше по массе,чем второгораствора. Черезнеделю из каждогокилограммапервого и второгораствора испариласьпо 200 г. воды и дляполучениятакой же смеси,как раньше,требуетсяпервого растворауже вчетверобольше по массе,чем второгораствора. Сколькограммов солисодержалосьпервоначальнов 100 г. каждогораствора?

Решение:Воспользуемсяформулой

V₁*d₁+V₂*d₂

= d₃

V₁+V₂

Известно,что первойсмеси нужнов два раза большезначит можнозаписать.

2*V₂*d₁+V₂*d₂

= d₃

2*V₂+V₂

через неделюс литра испаритсяпо 200 г. воды значит,концентрацияв растворахвозрастет в5/4 и для того жераствора нужночетыре частипервого раствораи одна второгораствора.

4*V₂*5/4*d₁+V₂*5/4*d₂

= d₃

4* V₂+V₂

можнозаписать систему:

2d₁+d₂=3d₃

известно d₃=0,1

20d₁+5d₂=20d₃

2d₁+d₂=0,3

20d₁+5d₂=2

отсюдаможно выразить

d₂=0,2 аd₁=0,05

Ответ:5 г. 20 г.

Задача6: Три одинаковыхсосуда наполненыспиртом. Извторого и третьегососудов отливаютпо А л. ( строгобольше половины) спирта и доливаютводой. Затемиз третьегососуда отливаютА л. смеси идоливают еговодой. Послетого объемспирта в первоми втором сосудах,вместе взятых,в 6/5 раза больше,чем объем спиртав первом и третьемсосудах, вместевзятых. Какуючасть объемасосуда составляетвеличина А ?

Решение: Намизвестна формула.

Cn= ( p/100) * ( 1 – A/V₀)ⁿ

Где Cnконцентрацияпосле Nпереливаний,а начальнаяконцентрацияспирта (p/100) равна 1.

Поусловию можносоставитьвыражение.

(1 + ( 1 – A/V₀))/( 1 + ( 1 – A/V₀)²)= 6/5

или

6(A/V₀)²– 7(A/V₀)+ 2 = 0

корни

A/V₀= 1/2 и A/V₀= 2/3

Поусловию задачиудовлетворяеттолько 2/3.

Ответ:A/V₀= 2/3.

Задача7: Имеютсятри смеси,составленныеиз трех элементовА, В и С. В первуюсмесь входяттолько элементыА и В в весовомотношении 3:5,во вторую смесьвходят толькоэлементы В иС в весовомотношении 1:2,в третью смесьвходят толькоэлементы А иС в весовомотношении 2:3.В каком отношениинужно взятьэти смеси, чтобыво вновь полученнойсмеси элементыА, В и С содержалисьв весовом отношении3:5:2?

Р

ешение:при решениеэтой задачинужно подойтикак к системеуравнений .

X * 3 * A + Z * 5 * A = 3

Y * B + X * 5 * B = 5

Z * 2 * C + 3 * Z * C = 2

Решаемсистему изтрех неизвестныхтолько надопонимать, чтовсе части равныпо объему.

получаем X= 25, Y= 20, Z= 6.

Ответ:25:20:6.

Задача8: Выработкапродукции запервый годработы предприятиявозросла наР %, а за следующийгод по сравнениюс первоначальнойона вырослана 10 % больше, чемза первый год.Определите,на сколькопроцентовувеличиласьвыработка запервый год,если известно,что за два годаона увеличиласьв общей сложностина 24 %.

Решение:Здесь необходимоиспользоватьтакую формулу.

q/100= ⁿ√((1 + Р1/100) * ( 1 + Р2/100)* … *( 1 +Рn/100 )) – 1

таккак по условиюу нас тольк4одва года тоэто значит N= 2

q/100= √((1 + Р1/100) * ( 1 + Р2/100)) – 1

гдеq= 24 %, Р₂ = 10 %.

Нужнонайти Р₁ выразимего

Р₁= (( 1 + 0,24 )²– 1,1 )/1,1 ≈ 0,3978

Ответ:Выработказа первый годувеличиласьна 39,78 %.

Задача9: В оленеводческомсовхозе стадоувеличиваетсяв результатеестественногоприроста иприобретенияновых олений.В начале первогогода стадосоставляло3000 голов, в концегода совхозкупил 700 голов.В конце второгогода стадосоставляло4400 голов. Определитепроцент естественногоприроста.

Решение:Здесь необходимоиспользоватьтакую формулу.

An= А0* ( 1 +Р1/100) * ( 1 +Р2/100) * … * ( 1 +Рn/100 ).

Теперьподставимзначения вформулу.

4400 = ( 3000 * ( 1 +Р/100 ) + 700 ) = 0.

или

3Р²+ 670Р – 700 =0

в этом квадратномуравнениисуществуетодин корень,который удовлетворяетусловию этоР = 10.

Ответ:Процентестественногоприроста равен10 %.

Задача10: В течениегода заводдважды увеличивалвыпуск продукциина одно и тоже число процентов.Найти это число,если известно,что в началегода заводежемесячновыпускал 600изделий, а вконце сталвыпускатьежемесячно726 изделий.

Решение:Здесь необходимоиспользоватьтакую формулу.

Аn=А0*( 1 + Р/100)ⁿ.

ГдеАn= 726, А₀=600 , n= 2

Намнужно найтиР для этоговыразим,

Р= ( 726/600 ) – 1 илиР ( 1,21 ) –1 или Р= 1,1 – 1

Р= 0,1 в процентахР = 10 %.

Ответ:Процентувеличениявыпуска равен10 %.

3.2Методика решениязадач, связныес понятиями «концентрация» и « процентноесодержания»

Рассматриваязадачи на процентынужно обратитьвнимание назадачи гденужно составлятьуравнения,остановимся,прежде всего,на задачах,решение которыхсвязано сиспользованиемпонятий « концентрация» и « процентноесодержания». Обычно в условияхтаких задачречь идет осоставленийсплавов, растворовилисмесей двухили несколькихвеществ.

Основное допущения, которые принимаютсяв задачах подобногорода, состоятв следующем:

A) всеполучающиесясплавы илисмеси однородные;

B) прислиянии двухрастворов,имеющих объемыV1и V2, получаетсясмесь, объемкоторой равенV1+ V2,т.е.

V0= V1+ V2.

Заметим,что такое допущениене представляетсобой законфизики ине всегдавыполняетсяв действительности.На самом делепри слияниидвух растворовне объем, а массаили вес смесиравняетсясуммемасс или весовсоставляющихее компонент.

Рассмотримдля определенностисмесь трехкомпонент А,В и С.объем смесиVoскладываетсяиз объемовчистых компонент:

V0= VA+VB+VC,

а триотношения:

CA= VA/V0, CB= VB/V0, CC= VC/V0.

показывают,какую долюполного объемасмеси составляютобъемы отдельныхкомпонент:

VA=CA * V0, VB = CB* V0, VC = CC* V0.

Отношениеобъема чистойкомпоненты( VA) а раствореко всему объемусмеси ( V0).

CA= VA/V0= VA/(VA+VB+VC) (*)

называетсяобъемнойконцентрациейэтой компоненты.

Концентрация– это безразмерныевеличины; суммаконцентрации всех компонент, составляющих смесь очевидно,равна единицы:

CA+CB + CC= 1.

Поэтому,для того чтобыструктурараствора, состоящегоиз nкомпонент,была определена,достаточно

Vo

СМЕСЬ А : В : С

VA=CA * V0

VC=CC * V0

VB=CB * V0

Рис.1.

знатьконцентрацию( n– 1 ) – й компоненты.Если известны концентрацииCA,CBи CCкомпоненты,составляющихданную смесь,то ее объемможно разделитьна объемы отдельныхкомпонент( рис. 1 ):

V0=CA * V0+CB* V0+ CC* V0.

( 1 )

ОбъемнымпроцентнымсодержаниемкомпонентыА называетсявеличина

PA= CA* 100% ,

т.е. концентрацияэтого вещества,выраженнаяв процентах.

Еслиизвестно процентноесодержаниевещества А, тоего концентрациянаходится поформуле

CA= PA /100 .

Так,например, еслипроцентноесодержаниесоставляет70%, то
соответствующая концентрация равна0,7.Процентному
содержанию10% соответствуетконцентрация0,1 и т.д.

Такимже способомопределяютсяи весовые ( массовые)
концентрацияи процентноесодержание,а именно какотношение
веса( массы ) чистоговещества А всплаве к весу( массе ) всего
сплава.О какой концентрации,объемной иливесовой, идетречь в
конкретнойзадаче, всегдаясно из ее условия.

Встречаютсясравнительнонемного задач,в которых приходитсяпересчитыватьобъемнуюконцентрациюна весовую илинаоборот.Для того чтобыэто сделать,необходимознать удельныевесакомпонент,составляющихраствор илисплав. Рассмотримдля примерадвухкомпонентнуюсмесь с объемнымиконцентрациямикомпонентC1и С2(С1+ С2= 1) и удельнымивесами компонентd1иd2.Вес смеси можетбыть найденпо формуле

q= V1* d1+ V2* d2,

в которой V1и V2– объемы составляющихсмесь компонент. Весовыеконцентрациикомпонентнаходятся изравенства

k1= V1d1/( V1d1+ V2d2) = C1d1/( C1d1+ C2d2)= C1d1/(C1(d1 – d2 ) + d2 ),

k2= V2d2/(V1d1+ V2d2) = C2d2/( C1d1+ C2d2)= C2d2/(C2(d2 – d1 ) + d1 ),

котороеопределяютсвязь этихвеличин с объемнымиконцентрациями.

Какправило, в условияхзадач рассматриваемоготипа встречаютсяодин и тот жеповторяющийсяэлемент: издвух или несколькихсмесей, содержащих компоненты A1, A2, A3, ..., An,составляетсяновая смесьпутем перемешиванияисходных смесей,взятых в определеннойпропорции. Приэтом требуетсянайти, в какомотношениикомпоненты A1, A2, A3, ..., An,войдут в получившуюсясмесь.

Для решенияэтой задачиудобно ввестив рассмотрениеобъемноеили весовоеколичествокаждой смеси,а так же концентрациисоставляющихих компонентA1, A2, A3, ..., An.С помощьюконцентрациинужно « расщепить» каждую смесьна отдельныекомпоненты,как это сделанов формуле ( 1 ), азатем указаннымв условии задачиспособом составитьновую смесь.При этомлегко подсчитать,какое количествокаждой компонентывходитв получившуюсясмесь, а такжеполное количествоэтой смеси.После этогоопределяютсяконцентрациикомпонент A1, A2, A3, ..., An,в новой смеси.

Проиллюстрируем сказанное выше на примереследующейзадачи

Задача: Имеютсядва куска сплавамеди и цинкас процентнымсодержаниеммеди р % и q% соответственно.В каком отношениинужновзять эти сплавы,чтобы, переплавиввзятые кускивмести, получить сплав, содержащийr% меди?

Cu+ Zn

P%

Cu+ Zn

q%

Yкг

Хкг

X* P/100

Cu

X* (1 - P/100)

Zn

Y* P/100

Cu

Y* (1 - P/100)

Zn

X* P/100 +Y* q/100

Cu

X*(1-P/100)+ Y*(1-q/100)

Zn

Рис.2.

Решение. Составим иллюстративный рисунок к этойзадаче (рис. 2 ). Концентрациямеди в первомсплаве равнаР/100, во второмq/100.Если первогосплава взятьХ кг, aвторого Yкг, то с помощью концентраций ( ясно, что речь идет о весовыхконцентрациях ) можно « расщепить » эти количествана отдельныесоставляющие:

X= X*Р/100(кгмеди) + Х* ( 1 - Р/100)(кг цинка)

и

У= У * q/100(кг меди )+ У * ( 1-q/100)(кг цинка).

Количествомеди в получившемсясплаве равно

X*Р/100+У * q/100(кгмеди),

а масса этого сплава составит X + У кг. Поэтомуновая концентрациямеди в сплаве,согласноопределению,ровна.

X* Р/100 + У * q/100

Х+У

По условиюзадачи этаконцентрациядолжна равняться

X* Р/100+ У* q/100

= r/100

Х+У

или

Р*Х+q*Y

= r

Х+У

Решимполученноеуравнение.Прежде всегозаметим, чтоуравнениесодержит дванеизвестныхХ и Y.Нетрудно понять,что оба неизвестныходнозначноне находится.Концентрацияполучившегосясплава определяетсяне массой взятыхкусков, а отношениемэтих масс. Поэтомув задаче и требуетсяопределитьне сами величиныХ и Y,а только ихотношения.

Отметимпопутно, чтовыражение вида

A*X+B*Y

F(X,Y) = ——————————

C*X+ d*Y

называемоедробно-линейнойфункцией, частовстречаютсяв задачахна составлениеуравнений. Вчислители изнаменателеэтой дробистоят линейнооднородныевыражения,зависящие отХ и Y.Еслине рассматриватьслучай Y=0,функцияr(х, у ) зависятфактическитолько от однойпеременой, аименно от отношения Х/Y:

А*(Х/Y)+В

F(X,Y)= ——————————=φ(X/Y)

С*(Х/Y)+d

Приэтом уравнениеF( X,Y) = С позволяетнайти это отношение.

Запишемуравнениезадачи в следующемвиде:

Х*(р– r)=У*(r–q).

Рассмотримвозможныеслучаи:

1)р= г = q.

Вэтом случаеконцентрациивсех сплавоводинаковыеи уравнениепоказывает,что имеетсябесчисленноемножестворешений.Можно взятьсколько угоднопервого сплаваи сколько угодновторого сплава.

2)р= г ≠ q.

В этом случаеуравнениеприобретаетвид

X* 0 = Y* ( r– q),

Откуданаходим: Х –любое, Y= 0. Физическийсмысл этогорешения понятен:если концентрациясплава, которыйтребуетсяполучить, совпадаетс концентрациейпервого сплава,но не равнаконцентрациивторого сплава,то первогосплава можновзять сколькоугодно, а второгосплава не братьвовсе.

3)р≠ г = q.

Получаемуравнение

X*( p– r)=Y* 0, откуданаходим: Y– любое, X= 0.

4)p≠r, p≠q, q≠r.

В этомслучае можнонаписать

Х= Y* ( r– q)/(р – r).

ПосколькуY≠ 0,то

Х/Y= (r– q)/( p– r).

Этозначение будетдавать решениезадачи, есливыполняетсянеравенство

(r– q)/( p– r)>0,

которое,как нетруднопоказать, имеетместо, еслизначение r заключеномежду значениямир и q.Таким образом,если p≠q,то можнополучить сплавс любым процентнымсодержаниеммеди междур и q.

Несмотряна то, что этотпример весьмапростой, ондостаточнохорошо иллюстрируетосновной методрешения задач,связанных сосмеся смесями.

Рассмотримеще одну задачу

Задача:Три одинаковыепробирки наполненыдо половинырастворамиспирта. Послетого как содержимоетретьей пробиркиразлили поровнув, первые две,объемнаяконцентрацияспирта в первойуменьшиласьна 20% от первоначальной,а во второйувеличилась10% от первоначальногозначения. Восколько разпервоначальноеколичествоспирта в первойпробирке превышалоначальноеколичествоспирта во второйпробирке?

Р

V0

C1

V0

C2

V0

C3

ешение:Введемрассмотрениеобъемполовины пробиркиV0и концентрациирастворовспирта вкаждой из пробирокС1, С2 и СЗ. Тогдапервоначальноеколичестваспирта в первойпробиркиравно V0* С1, во второйV0* С2, в третьейV0* СЗ ( рис 3 ). Длятого чтобырешить задачу,подсчитаемколичествоспирта в первойи второйпробиркахпосле того,как туда добавятсодержимоетретьейпробирки. Этиколичествабудут равны:в первой проборке

( рис. 3 )

V0* C1+ S* V0* С3 ,

во второйпробирке

V0* С2+ S* V0* С3 .

Найдем новые концентрации спирта в этих пробирках.Для первойпробирки онаравна

V0* C1+S* V0* С3

C1’=

3/2 V0

для второй

V0* C2+S* V0* С3

C2’=

3/2 V0

По условию C2’= 0,8 * C2и C2’= 1,1 * C2.Тогда имеемсистему двухуравнений стремя неизвестными:

2/3* C1+ l/3* С3=0,8 * C1,

2/3* C2+l/3* С3= 1,1* C1

или.

2* C1–5 * С3= 0,

13* С2– 10 * С3 =0.

Из этойсистемы, также как и в предыдущее,задаче, нельзяопределитьвсе три концентрацииC1,C2и С3.Но благодарятому, чтоуравнениесистемы представляютсобой однородныелинейные выражения,из нее можнонайти отношениядвух концентрацийк третьей,например C1/C3и C2/C3:

m= C1/C2= 5/2,

n= C2/С3=13/10.

Количествоспирта в первойпробирке относитсяк количествуспиртаво второй пробиркекак m/n.Действительно,

(V0* C1)/( V0* С3) = m/n= 13/4.

Поэтомуответ в даннойзадаче равен13/4.

Обратимсятеперь к задачам,которые можнообъединитьв одну группуиз-за того, чтоих решениесвязано с выявлениемобщей закономерностиизменения тойили иной величиныв результатемногократноповторяющейсяоперации.

Рассмотримследующийпример.

В сосуде,объем которогоравен V0л. СодержитсяР % -ный растворсоли ( рис. 4 ). Изсосуда выливаетсяА л. смеси идоливаетсяА л. воды, послечего растворперемешивается.

V0

P%-ныйраствор.

Ал. А л.

Воды Смесь

( Рис.4. )

Этапроцедураповторяетсяnраз. Спрашивается,по какому законуменяетсяконцентрациясоли в сосуде,т. е. какова будетконцентрациясоли после nпроцедур?

Решение:Очевидно,что первоначальноеколичествосоли в растворе равно

(Р/100 ) * V0.

Послетого как отлилиА л. смеси, врастворе осталось

(Р/100 ) * V0- ( Р/100 ) * А = ( Р/100 ) * V0* ( 1 – А/ V0).

соли,а ее концентрацияпосле добавленияА л. воды сталаравной

C1= (Р/100)*( l– A/V0).

Послетого как отлилиеще А л. смеси( но уже с концентрациейС1), в раствореосталось соли

(Р/100 ) * V0 *( 1 – А/V0) -C1* А = (Р/100 ) * V0 *( 1 – А/V0)І

а ее концентрацияпосле добавленияА л. воды сталаравной

C2= (Р/100)*( l– A/V0)І

Нетнадобностиеще раз проделыватьту же процедуру,чтобы убедится,что концентрациясоли в растворепосле nпереливанийопределяетсяформулой

Cn= ( Р/100)* ( l– A/V₀)ⁿ

( 2 )

представляющейсобой убывающеюгеометрическуюпрогрессию.Множитель

1- A/Vo

являющийсязнаменателемэтой прогрессии,показываетво сколько разубывает концентрацияпосле очередногопереливания.

Пример1. Пустьвеличина A/Voизвестна. Послескольких переливанийконцентрациясоли в раствореуменьшитсяболее чем в краз?

Решение: Используяформулу ( 2 ) дляконцентрациисоли в растворепосле nпереливаний,получаем

(Р/100 ) * ( 1 - A/Vo)ⁿP/100).

Отсюда находим

n> log_(1–a/v0)1/K.

Наименьшееколичествотаких переливанийравно целойчасти числа log_(1–a/v0)1/K плюсединица.

Пример2: Известно,что после nпереливанийконцентрациясоли в раствореуменьшиласьв к раз. Определить,какую частьобъема сосудасоставляютА л.

Решение:Согласноформуле ( 2 ) имеем

(Р/100 ) * ( 1 - A/Vo)ⁿP/100)

или

( 1 - A/Vo)ⁿ= ( 1/К ).

Отсюданаходим отношениеA/Vo:

A/Vo= l– 1/(ⁿ√k)

Пример3: Вкаждом из двухсосудов находитсяпо V0л. кислотыодинаковойконцентрации.Из первогососуда отлилдолилиА л. раствораи долили А л.воды. Потомэту процедуруповторили ещераз. Из второгососуда отлили2А л. раствораи добавили 2Ал. воды. Потом этупроцедуруповторили ещераз. Известно,что концентрациякислотыв первом сосудеоказалось в25/16 раз больше,чем концентрациякислоты вовтором сосуде.Какую частьот объема сосудасоставляет А л?

Решение.Используяполуученыевыше результаты,имеем

(P/100)*(l-A/Vo)²=(25/16 ) * ( Р/100) * ( 1 – 2* A/Vo )²

или

(1 – A/Vo)² = ( 25/16 )* ( 1 – 2 * A/V0)²

Изэтого уравнениянаходим отношениеA/V0.Извлекая изобеих частейуравненияарифметическийкорень, получаем

[1 – A/Vo ] = ( 5/4 ) * [ 1 – 2 *A/Vo ].

ПосколькуA/Voи2 * A/Vo ,то

1– A/Vo=(5/4)*(l– 2 *A/Vo).

Отсюда находимрешение задачи:

A/Vo=1/6.

Замечание: Приизвлеченииарифметическогокорня из обеихчастей уравненияиспользуетсяформула

√Х= [X].

Приведемобобщениеформулы ( 2 ) наслучай, когдакаждый раз всосуд доливаетсяне вода, а раствортой же соли спостоянной концентрациейq/100.Эта формулаимеет вид

Cn= (p/100)+ (( p – q )/100) * [( 1 – A/V0)^n-1]

(3 )

Длядоказательстваэтой формулыобозначимконцентрациюраствора соли,который содержитсяв сосуде послеnпереливаний,черезСn.Тогда послеочередной ( n+ 1) -ной процедуру,которая состоитв том, что выливаютА л. растворас концентрациейCnи доливаютА л. q%-ного раствора,концентрациясоли становитсяравнойСn+ 1:

V₀*Cn – A * Cn + A( q/100 )

Сn+ 1=

V₀

или

Cn+ 1= ( 1 - A/Vo ) * Cn + ( A/Vo ) * ( q/100 )n= 0,1,2,…

Постараемся определить концентрацию Сn из полученного соотношения.При этом будемучитывать, чтоначальноеконцентрацииизвестно:

Со=Р/100 приn= 0.

Запишемследующие дваравенства:

Сn+ 1= ( 1 – A/Vo)* Сn+ (A/Vo)* ( q/100)

Сn= ( 1 – A/Vo ) * Сn– 1+ ( A/Vo ) * ( q/100 ) n= 0,1,2,…

Вычитая этивыраженияпочтенно другиз друга, получим

Сn+ 1– Сn – 1= (1 – A/Vo) * ( Сn– Сn– 1).

Если обозначитьразностьконцентрацийСn– Сn– 1 черезUn,последнееравенствоможно переписатьв более простомвиде:

Un+1= (1–A/Vo )* Un

или

Un+1/Un= (1–A/Vo )

Отсюда видно, что последовательность чисел Unобразуетгеометрическуюпрогрессиюсо знаменателем1– А/V₀:

Un= U1* ( 1 – А/V₀)^n-1.

Первымчленом этойпрогрессиилегко определяется:

U1= C1– Со=[(1 – A/Vo ) * ( Р/100) + ( A/Vo ) * (q/100)] – Р/100

U1= ((q– p)/100) * ( A/Vo).

Послеэтого находим

Un= (( q – р)/100 ) * ( A/Vo ) * (1 -A/Vo)^{n– 1}

или

Сn- Сn– 1=((q – р)/100 ) * ( A/Vo ) * (1 -A/Vo)^{n– 1}

Запишемпоследнееравенство длязначений n,равных1, 2,3, …, n,и сложим получающиесясоотношениемежду собой

С1– С0=((q – р)/100 ) * ( A/Vo ) * 1

С2- С1=((q – р)/100 ) * ( A/Vo ) * (1 -A/Vo)¹

+……………………………………………

Сn- Сn– 1=((q – р)/100 ) * ( A/Vo ) * (1 -A/Vo)^{n– 1}

Сn– С0=((q – р)/100 ) * ( A/Vo ) * ((1 -A/Vo)ⁿ– 1)/((1 -A/Vo)– 1)

или

Сn= С0+ (( q– р )/100 ) * [(1 -A/Vo)ⁿ– 1].

При сложение правых частей рассматриваемыхравенствиспользовалась формула для суммы членовгеометрическойпрогрессии.

Подставляявместо Со еезначение Р/100,получим формулу( 3 ). Заметим,что при q= 0 эта формулапереходит вранее полученнуюформулу( 2 ).

Формула( 2 ) тесно связанас известнымв теории процентовправиломначисления« сложных процентов».

Мыговорим, чтоимеем дело со« сложных процентов», в том случае,когда некотораявеличина подверженапоэтапномуизменению.При этом каждыйраз ее изменениясоставляетопределенноечисло процентовот значение,которое имелаэта величинана предыдущемэтапе.

Рассмотрим сначала случай, когда в концекаждого этапавеличина,изменяетсяна одно и тоже постоянноеколичество– Р%.

Некотораявеличина А,исходное значениекоторой равноА0,в концепервого этапабудет равна

Al= А0+( Р/100 ) * А0=А0* ( 1 + Р/100 ).

В концевторого этапаее значениестанет равным

А2=А1+ (Р/100 ) * А1= А1* ( 1 + Р/100 ) = А0*(1 + Р/100 )².

Здесьмножитель 1+ Р/100показывает,во сколько развеличинаА увеличилась за один этап.В предыдущихзадачах оконцентрацияхэтуроль игралмножить 1– A/Vo.

В концетретьего этапа

А3=А2+ ( Р/100 ) * А2= А0*( 1 + Р/100)³.

и т.д.

Нетруднопонять, что вконце n-гоэтапа значениявеличины Аопределяетсяформулой

Аn=А0*( 1 + Р/100)ⁿ.

(4 )

Этаформула показывает,что величинаА растет ( илиубывает, если рА0,азнаменателемпрогрессиислужит величина

1+ Р/100.

Формула( 4 ) являетсяисходной формулойпри решениимногих задачна проценты.

Пример:Сберкассавыплачивает3% годовых. Черезсколько летвнесеннаясумма удвоится?

Решение:Пустьвеличина вклада,составляв А0руб.Тогда черезnлет станетравной 2А0руб.Имеем

А0*( 1 + 3/100 )ⁿ= 2 *А0,

n= log_1,032≈ 23.

Ответ:Через23 года.

Формула( 4 ) имеет интересноеприложение.Во многих областяхпрактикиимеются величины,которые испытываютприращение не скачкообразнымобразом, а меняетсянепрерывно,так их изменениезаэтап составляетР %.

Нетрудноопределить,как меняетсяэти величины,если начислениепроцентовпроизводитьв течение каждогоэтапа не одинраз, amраз из расчетар % за этап ( т. е.каждый разначислять пор/m% ). Легко понять,что за nэтапов начислениепроцентовпроизойдетm* nраз.

Воспользовавшисьформулой ( 4 ),получаем

An* ( m) = А0*(1 + Р/( m* 100 ) )^n*m.

ЗдесьAn* ( m) – значениевеличины А вконце n-гоэтапа при условии,что в течениекаждого этапапроценты начислялисьmраз.

Неограниченноувеличиваячисло m,мы переходимк рассмотрениюнепроизвольногоизменениявеличины А.Тогда предельноезначение А вконце n-гоэтапа определяетсяформулой

An= lim[А0*(1 + Р/(m * 100 ) )^n*m]. приm→ ∞

Такимобразом, задачао непрерывномначислениипроцентовприводитк необходимостивычислить одиниз знаменитыхпределов математики.Этот пределобозначаетсябуквой е иназываетсяоснованиемнатуральныхлогарифмов:

е= lim(1 + 1/х)^х=2,7182... прих →∞

Окончательныйвид рассматриваемойформулы имеетвид:

An= А0* е^{((n* р )/100 )}.

Показательнаяфункция, стоящаяв правой частипоследнейформулы,называетсяэкспонентой.

Взаключениеприведем обобщениеформулы ( 4 ) наслучай, когдаприрост величиныА на каждомэтапе свой.

Пустьвеличина А вконце первогоэтапа испытываетизменение наР1%, в конце второгоэтапа – на Р2%, в конце третьегоэтапа – на Р3%и т. д. Если Pk> 0, то величинаА на этом этапевозрастает;еслиPk

Как говорилосьвыше изменениевеличины А наР % равносильноумножению этойвеличины намножитель 1 +Р/100. Поэтомуокончательныйвид искомыйформулы такой:

An= А0* ( 1 +Р1/100) * ( 1 +Р2/100) * … * ( 1 +Рn/100 ).

(5 )

ЗдесьА0-первоначальноезначение величиныА.

Иногдав задачах насоставлениеуравненийвстречаются понятия« средний процентприроста ».Под этим терминомпонимаюттакой постоянныйпроцент прироста,который за nэтапов задалбы такое жеизменениевеличины А,которое онаполучает вдействительности,при неравныхпоэтапныхизменениях.

Среднийпроцент приростаq% определяетсяформулой

А0*( 1 +Р1/100) * ( 1 +Р2/100)* … *( 1 +Рn/100 ) = А0*( 1+ q/100)ⁿ

или

q

/100= ⁿ√((1 +Р1/100) * ( 1 +Р2/100)* … *( 1 +Рn/100 )) – 1

Отсюдавидно, что среднийпроцент приростане равен среднему арифметическомувеличин P1,P2,Р3,...,Рn.Здесь существуетполнаяаналогия сопределениемизвестно изфизики понятия« средняяскорость движения».

Пример:Выработкапродукции загод работыпредприятиявозрослана 4%. На следующийгод она увеличиласьна 8 %. Определитьсредний ежегодныйпроцент приростапродукции за этотпериод.

Решение:Обозначимсредний ежегодныйприрост продукциичерезq%. Тогда

(1 + 4/100 ) * (1 + 8/100 ) = (1 + q/100)²

Отсюданаходим

q= √( 104 * 108 ) – 100 ≈ 5,98.

Ответ:q≈5,98.

3.3Приложение.

Задача1: УАлисы было2000 рублей, а ейнужно 2500 рублей.Она положилаих в банк по 3% годовых, сколькоей нужно ждать,чтобы у нейполучиласьнужная сумма.

Решение:

Воспользуемсяформулой длясложных процентов

Аn=А0*( 1 + Р/100)ⁿ

Подставимзначения

2500 = 2000 *( 1 + 3/100 )ⁿ

выразимn( количестволет )

n= log_1,031,25 ≈8 ( ответ тольков натуральныхчислах )

Ответ:8 лет.

Задача2: Приростпродукции назаводе по сравнениюс предыдущимгодом за первыйгод составляет5 %, а за второйпо сравнениюс первым – 3 %.Каким оказалсяпроцент приростапродукции затри года, еслипроцент приростапродукции затретий год посравнению совторым былравен 2 %?

Решение:

В конце первогогода продукциивыпускалось105%, в конце второгогода процентприроста сталравен 105 % + 105 % * 0,03 = 108,15 %в конце третьегогода стал равен108,15 % + 108,15 % * 0,02 = 110,313 %. Отсюдаследует, чтопроцент приростаза три годаравен 10,313 %.

Ответ: 10,313 %

Задача3: В двухбанках в концегода на каждыйсчет начисляетсяприбыль: в первомбанке – 50 % к текущейсумме на счете,во втором – 75% к текущей суммена счете. Били Боб в началегода частьимеющихся уних денег положилив первый банк,а остальныеденьги – вовторой банк,с таким расчетом,чтобы черездва года суммарноеколичестводенег на обоихсчетах утроилось.Какую долюденег они положилв первый банк?

Решение:

С

оставимсистему уравнений;

А2 = А0 * ( 1 + 0,5 )²

А3 = А1 * ( 1 + 0,75 )²

А2 + А3 = 3 * ( А1 + А0)

Подставимвместо А2 и А3их равноценноезначение.

А0 * ( 1 + 0,5 )²+ А1 * ( 1 + 0,75 )²= 3 * А1 + 3 * А0

Преобразуем

А0 = 1/12 А1 или А1= 12 * А0 подставим в А1 + А0 = Х

12 * А0 + А0 = Х или13 * А0 = Х или А0 = 1/13 * Х

отсюда следует,что в первыйбанк нужноположить 1/13 частьсуммы.

Ответ: 1/13.

Задача4: Объемконуса увеличилсяна 11,91 % , а его высота увеличиласьна 24 %. На сколькопроцентовуменьшилсярадиус основанияконуса?

Решение:

Объем конусаравен V= 1/3 * π *R²*h

Подставимнаши значения

V*( 1 +0,1191 ) = 1/3 * ( R* ( 1 – X))² * h* ( 1 + 0,24 )

или

( 1 + 0,1191 ) = (1 – X)²* ( 1 + 0,24 )

или

(1– X)²= ( 1 + 0,1191 )/( 1 + 0,24 )

(1– X)²= 0,9025

(1– X)= 0,95

Х= 1 – 0,95

Х= 0,05

Х= 5 %

Ответ:Rувеличилсяна 5 %.

Задача5: Высотапрямоугольногоцилиндра увеличиласьна 25 %, а объемцилиндра уменьшиласьна 20 %. На сколькопроцентовуменьшилсярадиус цилиндра?

Решение:

О

бъемцилиндра V= π* R²* h. Так как высотаувеличиласьна 25 % или на 1/4 истала равна5/4*hзначит, радиусдолжен уменьшитсяна 1/5 и стать 4/5*R. А так как Rв квадрате то√4/5*R. Но также и объемуменьшилсяна 20 % или на 1/5 истал 4/5*Vзначит радиусдолжен уменьшитсяна 1/5, то есть на√4/5*R. Так как уменьшениепроизошлодважды на однои тоже число √4/5*Rили в результате на 4/5* R . То радиус уменьшилсяна 1/4 или на 25 %.

Ответ:Rуменьшилсяна 25 %.

Задача6: Длинадвух противоположныхсторон правильногопрямоугольного параллелепипедауменьшиласьна 5 % , а двух другихувеличиласьна 10 %. На сколькопроцентовувеличилсяобъем параллелепипеда,если его высотуувеличили на4 %.

Решение:

Объем прямоугольного параллелепипедаравен V= a³по условиюдлина двухпротивоположныхсторон правильногопрямоугольного параллелепипедауменьшиласьна 5 % или на 1/20, адвух другихувеличиласьна 10 % или на 1/10 такжеизвестно, чтовысоту увеличилина 4 % или на 1/25. Теперьзапишем этовсе формулой.

V= a³*(( 1 – 1/20 ) * ( 1 + 1/10 ) * ( 1 + 1/25 ))

V= a³*19/20 * 11/10 *26/25 = a³*5434/5000 = a³*1,0868

Объемувеличитсяв 1,0868 или на 0,0868 илина 8,68 %

Ответ: Объем увеличитсяна 8,68 %.

Задача7: В коробкибыло 25 % белыхкубиков, и 75 %черных. В коробкудобавили 10 черныхкубиков, соотношениебелых и черныхстало 20 % к 80 %, сколькобыло черныхкубиков в коробкев начале?

Решение:

Первоначальнов коробки было25 % белых и 75 % черныхкубиков, исоотношениебыло 1/3, в коробкуположили 10 черныхкубиков, и вкоробки стало20 % белых и 80 % черныхкубиков, исоотношениестало 1/4. От сюдаследует пустьХ это белыекубики, а Yчерные.

х/у = 1/3

или

х/(у + 10 ) = 1/4

отсюда следует

у= 3х

и

у+ 10 = 4х

подставим

3х+ 10 = 4х или 10 = х илиу = 30.

Ответ:30 черных кубиковбыло в начале.

Задача8: Задуманыдва числа, одноиз которых на18 больше другого.Известно, что25 % одного из этихчисел равно35 % другого числа.Найдите этичисла.

Решение:

Пусть А этобольшее число,а В меньшее.Тогда справедливоравенство А= В + 18 . Известно,что 25 % = 0,25 , а 35 % = 0,35. Изусловия следует

1. А * 0,25 = В * 0,35

2. А = В +18

3. ( В + 18 ) * 0,25 = В * 0,35

4. В * 0,1 = 4,5

5. В = 45

6. А= 63

Ответ:А = 63, В = 45.

Задача9: Из сорокатон руды выплавляют двадцать тонметалла, содержащего6 % примесей. Каковпроцент примесейв руде?

Решение:

Сначала нужнонайти, сколькочистого метала,

1. 20/100 % = 0,2 тонныэто один процент

2. 100 % – 6 % = 94 % чистогометалла в процентах

3. 94 % * 0,2 = 18,8 тон чистогометалла

4. 40 – 18,8 = 21,2 примесив тоннах

5. ( 21,2/40 ) * 100 % = 53 % примесив процентах

Ответ:53 %.

Задача10: Имеетсятри слитка.Первый слитокимеет массу5 кг, второй 3 кг,и каждый изэтих двух слитковсодержит 30 % меди.Если первыйслиток сплавитьс третьим, тополучитсяслиток, содержащий56 % меди, а есливторой слитоксплавить стретьим, тополучитсяслиток, содержащий60 % меди. Найтимассу третьегослитка и процентноесодержаниемеди в нем.

Решение:

Нам известнаформула.

Р*Х+q*Y

= r

Х+У

Подставимзначения иполучим двауравнения:

5 *0,3 + Y*q= 5 * 0,56 + Y*0,56

3 *0,3 + Y*q= 3 * 0,6 + Y*0,6

еслиот второгоотнимем первое,то получим:

Y*0,04=0,4

Y=10кгэто вес третьегослитка.

Теперьвозьмем формулудля нахожденияконцентрации.

V₁*d₁+V₂*d₂

= d₃

V₁+V₂

Подставимнаши значения:

3*0,3+10 *d₂

= 0,6

3+ 10

выразимd₂

0,9 +10*d₂= 1,8 + 6или d₂=0,69

d₂=69%концентрациямеди в третьемслитке.

Ответ: 10 кг; 69 %.

Задача11:

Имеются двараствора сернойкислоты в воде:первый – 40 %, второй– 60 %. Эти два растворасмешали, послечего добавили5 кг чистой водыи получили 20% раствор. Еслибы вместо чистойводы добавили5 кг 80 % раствора,то получилибы 70 % раствор.Сколько было40 % и 60 % растворов?

Решение:

О

бозначиммассу первогораствора Х, амассу второгораствора Y.отсюдаследуя условиюможно написатьсистему уравнений.

( 0,4 * Х + 0,6 * Y)/ ( Х + Y+ 5 ) = 20 %

( 0,4 * Х + 0,6 * Y + 4 )/ ( Х + Y+ 5 ) = 70 %

или

2 * Х + 3 * Y = Х + Y+ 5

4 * Х + 6 * Y + 40 = 7 * Х + 7 * Y+ 35

и

ли

Х + 2 * Y = 5

3 * Х + Y = 5

или

Х= 5 – 2 * Yотсюда следуетY= 2 и Х = 1 кг.

Ответ:X= 1кг, Y= 2 кг.

Задача12: Одинраствор содержит30 % по объемуазотной кислоты,а второй 55 %. Скольконужно взятьпервого и второгорастворов,чтобы получить100 л. 50 % раствораазотной кислоты?

Решение:

О

бозначиммассу первогораствора Х, амассу второгораствора Y.отсюдаследуя условиюможно написатьсистему уравнений.

0,3 * Х + 0,55 * Y= 0,5 * 100

X + Y= 100

Вторуюстрочку помножимна 0,3 и отнимемот первой тополучим,

0,25* Y= 20 или Y= 80 л. Отсюда следует100 – 80 = 20 л.

илиX= 20 л.

Ответ: X= 20 л, Y= 80 л.

Вывод.

Всепоставленныепервоначальноцели в моейдипломнойработе на тему« Методикаизученияпроцентов. »нами достигнуты.Вданной работемы рассмотрелразличныеучебники, потомучто именно спятого классапроценты вводятсяв школьныйкурс.В этих учебникахмы рассмотрел,как идет процессизложенияособенностиизученияпроцентов. Атак же составитьсвою методикуизученияпроцентов вшкольном курсе,опираясь нашкольные учебникеи пособия дляучителей.

Также мы рассмотрелизадачи насоставлениеуравнений, чтоявляетсяважной частьюизучениематематикив старших классах.Здесь я рассмотрелзадачи насоставление« смесей » ина такое понятиекак «концентрация».

Мноютак же былирассмотренынесколькоинтересныхзадач на разныетемы, которыемогут встретитьсяучащимся вызватьзатрудненияу них, так какнекоторыезадачи вызвализатруднениядаже у нас.

Хочетсяотметить, чтотема моей дипломнойработы полезнаи очень актуальнатем более внаше время,когда на первоеместо в отношенияхстановитсяэкономика, апроцентыприобрелиширокое распространениев нашей жизнии, по-моему,в школах уделяетсямало время наизучения процентов,а сам материалрассматриваетсяскупа не полномасштабно.

Такжепри проведенииобрабации вшколе № 9 г. Кызылапо данной темена спец курсепо математикемы заметили,что учащимсяочень нравитсяданная тема.Они с удовольствиерешают задачина сложныепроценты, точнеена сплавы ирастворы. Также можно отметить,что особоеместо у нихзанимали задачисвязанные сэкономикой,это задачи набанковскиевклады, таккак многиеочень близкосталкиваютсяс этим в жизнии хотят об этомзнать больше.Надо отметитьчто, интересучащихся кэтой теме ивыбраннаяметодика изученияпроцентов вшколе дал хорошиерезультаты.Можно заделатьвывод, что этутему не толькоможно, но и нужновводить наспец курсахпо математике.А так же расширитькурс изученияпроцентов вшкольном курсематематике.

Принаписаниеданной дипломнойработыя узнал многонового и интересного,и данный материал,я постараюсьиспользоватьв дальнейшейработе в школе.

Литература.

1. Н.Я.Виленкин, А.С.Чесносков, идругие. « математика5 » Москва «просвещение»1992 г.

2. Л.Н.Шеврин, А.Г. Гейн, И.О. Коряков,и другие. «математика5 » Москва «просвещение»1989 г.

3. М.В.Лурье, Б.И. Александров.« Задачи насоставлениеуравнений».

4. Г.В.Королькова.« Методическоепособие поматематике» Волгоград1996 г.

5. И.Я. Депманаи Н.Я. Виленкина« За страницамиучебника математики»М., Просвещение,1989 г.

6. МаксимоваВ.Н. Проблемныйподход к обучениюв школе Методическоепособие поспецкурсу Л.1973.

7. МахмутовМ.И. Организацияпроблемногообучения М.Педагогика1977.

8. МатюшкинА.М. Проблемныеситуации вмышлении иобучении М.Педагогика1972.

9. Скаткин М.Н.Проблемысовременнойдидактики М.Педагогика1980.

10. Ю.Н. Владимиров«Вступительныеиспытания поматематикев 1998 – 2000 годах» Новосибирск2000 г.

11. Журнал «Математика» № 3 Москва 1998г.

12. Журнал «Завуч » № 4 Москва1999 г.

13. Р.С.Немов « ПСИХОЛОГИЯ» книга 2 Москва1998 г.

14. «ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕПРОБЛЕМЫ РАЗВИТИЯШКОЛЬНИКА КАКСУБЪЕКТА УЧЕНИЯ» под редакциейЕ.Д. Божович Москва – Воронеж 2000 г.

97

Отзыв

На выпускнуюквалификационнуюработу “Методикаизучения процентов в школе ”, выполненнуюстудентом 5курса Физико-математическогофакультетаСергановымИваном Геннадьевичем.

Тема дипломнойработы и самаработа являютсяактуальнымина сегодняшнийдень, т. к. вобщеобразовательнойшколе этой темеуделяется маловнимания и маловремени, а вжизни с этимприходитсявстречаться– в экономике,на производстве,в финансовойсфере и т.д.

СергановымИ. Г. проделанабольшая работа– изучены материалымногих школьныхучебников поданной теме,экзаменационныематериалынекоторыхвузов. В процессевыполненияработы СергановИ.Г. показалсебя трудолюбивым,умеющим ставитьцели и находитьна них ответы.

ИваномГеннадьевичемсобран большойматериал, которыммогут пользоватьсяучителя и математикии химики. Проведенав работе классификациязадач по даннойтеме ( задачина сплавы, нарастворы,экономическиезадачи, задачина формулысложных процентови некоторыедругие ).

Для учащихсямладших классовприведенызадачи в видерассказов,картинок.

При выполненииработы студентпоказал достаточновысокий уровеньзнаний по даннойтеме; умениеанализироватьфакты.

К сожалению,в тексте работывстречаютсяграмматическиеошибки.

Считаю, чтовыполненаинтереснаяи нужная работа.

Работазаслуживаетотличной оценки.

Научныйруководитель: СатЛ.А.

Учитель ТГЛ,учитель вышейкатегории. __________

Рецензия

На выпускнуюквалификационнуюработу “Методикаизучения процентов в школе ”, выполненнуюстудентом 5курса Физико-математическогофакультетаСергановымИваном Геннадьевичем.

Работа выполненана одну из актуальныхпроблем изшкольной математике– проценты.

В работесодержатсяметодическаяи практическаячасти. В работезаделан анализпедагогическойи методическойлитературыпо данной теме.Сделаны выводыдля себя и студентов,занимающихсяэтой проблемой.

Ценным вработе являетсяразличныеподходы к введениюпроцентов вшколе, изучениеданной темыпо различнымучебникам.Удачно рассмотренныесерии задачна нахождениенесколькихпроцентов отчисла; нахождениечисла по егопроцентам;процентноеотношение,задачи на формулысложных процентов,задачи сплавыи т. д.

Имеется вработе небольшаяисторическаясправка.

Считаю, чтовыполненаинтереснаяи полезнаяработа.

Работазаслуживаетотличной оценки.

Рецензент:

Доцент кафедрыалгебры ПоповаН.Г.

и геометрииТГУ ____________

Тема моейдипломнойработы являетсяметодика изученияпроцентов вшкольном курсематематике.А так же методикарешения задачдля старшихклассов и поступающихв ВУЗы.

Данная темаявляется актуальнойв современноевремя, так каксами процентыпоявились изпрактическойнеобходимости.Они являютсянеотъемлемой экономическизначимой частьюобщества. Носамо понятиепроценты включаетв себя большечем простоэкономика.Проценты широкоприменяютсяв математике,химии, и другихнауках. Вообщесамо понятиепроценты развилосьдо того го состояния,что сталоабстрактным, им можно измерятьбуквально все.

Я уже отмечал,что процентынужны и важныи при этом иммало уделяетсявнимания ивремени в школе.

В этой работемы провеликраткий анализсовременногосостоянияпроцентов вшкольных учебниках.Как ведетсяпреподаванияв младших классах( точнее сказатьв 5 классах ), атакже и старшихклассах. Приразборе различныхучебников поматематикепопыталисьвыделить лучшее,что бы при нехватки учебныхчасов, учащиесяполноценнопонимали, чтоесть проценты,это особенноважно в пятыхклассах, когдаидет заложениеоснов по процентам.

Так же мыразобрализадачи на формулысложных процентовдля старшихклассов, ипоступающихв ВУЗы. Этотматериал лучшедавать на спецкурсах по математике.В этом пунктеразобраныспособы решенияэкономическихзадач, задачна смеси и сплавыточнее сказатьзадачи на составлениеуравнений. Также надо отметить,что эти задачивызывают интересучащихся, таккак некоторымприходится,сталкиваетсяс процентамив наше время.

Надо отметить,что являетсяпредметомобъектом игипотезой, моейдипломнойработы.

Предмет– процесс обученияучащихся алгоритмурешения задачна проценты.

Объектом– являетсяучебная деятельность,при которойучащиеся учатсярешать задачина проценты.

Гипотеза– разобратьдополнительныеприемы изученияпроцентов вшколе, попытаетсядостигнутьзолотой середины.Когда при нехватки учебныхчесов, учащиесяв полной мерепонимали иусваивали такуютему как проценты.

Так женеобходимоперечислитьцели моей дипломнойработы

Целимоей дипломнойработы являются:

1) Обшейанализ изученияпроцентов вшколе.

2) Разбор методики изучения процентов в 5 классе поучебникам.

3)Обобщениеметодики изученияпроцентов в5 классе.

4) Решение задач для вузов на проценты.

5) Разборзадач на составленияуравнений встарших классах.

Дипломная работа состоитиз введениятрех глав заключенияи списка

литературы.

В первойглаве рассмотрелиосновную методикуизученияпроцентов вшколе. Так жерассмотримнекоторыеособенностиметодики, котораясейчас естьв школе. Рассмотрели,как изучениепроцентоввлияет на развитиеучащихся, наих математическоеразвитие, и нетолько. Так каксама тема процентыпоявилась изпрактическойнеобходимостии остаетсяактуальнойи посей день.Значит, такаятема как процентыдолжна развиватьнекоторыепрактическиеаспекты мышленияучащихся. Ноне должна отрыватьсяот других изучаемыхтем школьногокурса математики. Так как мы являемсясторонникамитого, что в учебномпроцессе вседолжно бытьвзаимосвязанным.В обучение недолжно бытьскачков и разрывов,это приводитк тому, что учащиесятеряют последовательность,а значит, хужеусваиваютизучаемыйматериал.

Во второйглаве разобрали,как ведетсяпреподаваниепроцентов вразличныхучебникахматематике,обобщили материалпо изучениюпроцентов вшкольном курсуматематике.Также обозначилитри основныхдействия, которыенеобходимыпри работе спроцентами.Это методиканахождениянесколькихпроцентов отчисла, методиканахождениячисла по егопроцентам иметодика нахожденияпроцентногоотношения. Также разобралинесколько задачдля младшихи старших классов.

В третьейглаве прорешализадачи на процентыдля старшихклассов, и тех,кто хочет поступатьв ВУЗы. Это задачина составлениеуравнений, напонятия концентрация,и процентноесодержания.Так же разобралиметодику решениязадач по этимтемам. И в приложениеразобрали рядинтересныхзадач, гдеприменяютсяпроценты.

Для написанияданной дипломнойработы я использовалразличнуюлитературуэто во-первыхразличныеучебники поматематике– 5 класс также использовалметодическиепособия поматематике,так же использовалразличные журналы, и литературупсихолого-педагогическогохарактера.

Разрешитепродемонстрироватьвам пару интересныхзадач на процентыдля 5 и для старшихклассов.

1 пример

2 пример.

В заключениемогу сказать,что в своейдипломнойработе, я достигвсех целейкоторые я себеставив в началеработы. Я узналмного новогои интересного.Так же я считаюпроведеннуюработу плодотворной,и необходимойв современноевремя.

Министерствообщего и профессиональногообразования

РоссийскойФедерации

ТувинскийГосударственныйУниверситет

Кафедрафизики и МПМ

Дипломнаяработапотеме:

Выпускнаяквалификационнаяработа:

студента5 курса 1 группы,

физико-математическогофакультета

СергановаИвана Геннадьевича

____________________

(подписьстудента)

Работадопущена кзащите Научныйруководители:

«____»___________2003г. Сат Л.А. учительВышей категории

ЭренчиноваТ.А. К.П.Н.

_____________________________

(подпись)

Работазащищена в ГАКРецензент______________________

(ф.и.о.)

«____»___________2003г. _________________________________

(должность, уч.Степень и звание)

соценкой«____________»

ПредседательГАК __________________________

ЧленыГАК__________ ___________________________________

(подпись)

Кызыл2003 г.

Vo

СМЕСЬ А : В : С

VA= CA * V0

VC= CC * V0

VB= CB * V0

V0=CA * V0 + CB * V0 + CC * V0 .

(1 )

Концентрациявещества врастворе послеnпереливанийопределяетсяформулой

Cn= (Р/100)* ( l– A/V₀)ⁿ

(2 )

Когдакаждый раз всосуд доливаетсяне вода, а раствортой же соли спостоянной концентрациейq/100.Эта формулаимеет вид

(3 )

Cn= (p/100) + (( p – q )/100) * [( 1 – A/V0 )^n-1]

Аn= А0* ( 1+ Р/100)ⁿ.

(4 )

Пример:Сберкассавыплачивает3% годовых. Черезсколько летвнесенная суммаудвоится?

Решение:Пустьвеличина вкладасоставляв А0руб.Тогда черезnлет станетравной 2А0руб.Имеем

А0*( 1 + 3/100 )ⁿ= 2 *А0,

n= log_1,032≈ 23.

Ответ:Через23 года.

(5 )

An= А0* ( 1 +Р1/100 ) * ( 1 +Р2/100 ) * … * ( 1 +Рn/100 ).

ЗдесьА0-первоначальноезначение величиныА.

Пример:Выработкапродукции загод работыпредприятиявозрослана 4%. На следующийгод она увеличиласьна 8 %. Определитьсредний ежегодныйпроцент приростапродукции за этотпериод.

Решение:Обозначимсредний ежегодныйприрост продукциичерезq%. Тогда

(1 + 4/100 ) * (1 + 8/100 ) = (1 + q/100)²

Отсюданаходим

q= √( 104 * 108 ) – 100 ≈ 5,98.

Ответ:q≈5,98.