Методика преподавание темы Обыкновенные дроби в школьном курсе математики

ГлаваI. Традиционныеметодическиеподходы к изучениютемы “ Обыкновенныедроби”.

1. Из историивозникновенияобыкновенныхдробей.

Дробипоявились вглубокой древности.При разделедобычи, приизмеренияхвеличин, да ив других похожихслучаях людивстретилисьс необходимостьюввести дроби.

Древние египтянеуже знали, какподелить 2 предметана троих, дляэтого числа–2/3- у них былспециальныйзначок. Междупрочим, этобыла единственнаядробь в обиходеегипетскихписцов, у которойв числителене стояла единица– все остальныедроби непременноимели в числителе единицу (такназываемыеосновные дроби):1/2; 1/3; 1/28; … . Еслиегиптянинунужно былоиспользоватьдругие дроби,он представлялих в виде суммыосновных дробей.Например, вместо8/15 писали 1/3+1/5. Иногда этобывало удобно.В папирусеАхмеса естьзадача :

«Разделить7 хлебовмежду 8людьми». Еслирезать каждыйхлеб на 8частей, придётсяпровести 49разрезов.

А по-египетски эта задачарешалась так: Дробь 7/8 записывалив виде долей:1/2+1/4+1/8. Значит каждомучеловеку надодать полхлеба,четвертьхлеба ивосьмушкухлеба; поэтомучетырехлеба разрезалипополам,двахлеба- на 4части и одинхлеб на 8долей, послечего каждомудали его часть.

Но складыватьтакие дробибыло неудобно.Ведь в оба слагаемыхмогут входитьодинаковыедоли, и тогдапри сложениипоявится дробьвида 2/n.А таких дробейегиптяне недопускали.Поэтому, папирусАхмеса начинаетсяс таблицы, вкоторой вседроби такоговида от 2/5 до2/99 записаныв виде суммыдолей. С помощьюэтой таблицывыполняли иделение чисел.Вот, например,как 5 делилина 21:

Умели египтянетакже умножатьи делить дроби.Но для умноженияприходилосьумножать долина доли, а потом,быть может,снова использоватьтаблицу. Ещёсложнее обстоялос делением.

В древнемВавилоне предпочиталинаоборот, -постоянныйзнаменатель,равный 60-ти.Шестидесятеричнымидробями, унаследованнымиот Вавилона,пользовалисьгреческие иарабские математикии астрономы.Но было неудобноработать наднатуральнымичислами, записаннымипо десятичнойсистеме, и дробями,записаннымипо шестидесятеричной. А работать собыкновеннымидробями былоуже совсемтрудно. Поэтомуголландскийматематик СимонСтевинпредложилперейти к десятичнымдробям.

Интереснаясистема дробейбыла в ДревнемРиме. Она основываласьна делении на12 долейединицы веса,которая называласьасс.Двенадцатуюдолю ассаназывали унцией.А путь, времяи другие величинысравнивалис нагляднойвещью- весом.Например, римлянинмог сказать,что он прошелсемь унцийпути или прочелпять унцийкниги. При этом,конечно, речьшла не о взвешиваниипути или книги.Имелось в виду,что пройдено7/12 путиили прочтено 5/12 книги.А для дробей,получающихсясокращениемдробей сознаменателем12 илираздроблениемдвенадцатыхдолей на болеемелкие, былиособые названия.

Даже сейчасиногда говорят:”Онскрупулёзноизучил этотвопрос.” Этозначит, чтовопрос изучендоконца, что неодной самоймалой неясности не осталось.А происходитстранное слово“скрупулёзно”от римскогоназвания 1/288 асса - “скрупулус”.В ходу были итакие названия:”семис”- половинаасса,“секстанс”-шестая егодоля, “семиунция”-половина унции,т.е. 1/24 ассаи т.д. Всегоприменялось18 различныхназваний дробей.Чтобы работатьс дробями, надобыло помнитьдля этих дробейтаблицу сложенияи таблицу умножения.Поэтому римскиекупцы твёрдознали, что присложении триенса (1/3 асса)и секстансаполучаетсясемис,а при умножениибеса(2/3 асса)на сескунцию( 2/3 унции,т.е.1/8асса)получаетсяунция.Для облегченияработы составлялисьспециальныетаблицы, некоторыеиз которыхдошли до нас.

Современнуюсистему записидробей с числителеми знаменателемсоздали в Индии.Только тамписали знаменательсверху, а числитель- снизу, и не писалидробной черты.А записыватьдроби в точности,как сейчас,стали арабы.

1.2.Арифметическиедействия собыкновеннымидробями.

а

Возьмёмотрезок a.Чтобы найтиего длину, выберемв качествеединицы длиныотрезок е.(рис. 1) При

и

змеренииоказалось, чтодлина отрезка е

абольше 3 е,но меньше 4 е.Поэтому её е1

нельзявыразить натуральнымчислом рис.1

(при единицедлины е).Но если разбитьотрезок ена 4 равные части,каждая из которыхравна е1,то длинаотрезка аокажется равной14е1.Если же вернутьсяк первоначальнойединице длиные, томы должны сказать,что отрезока состоитиз 14отрезков, равныхчетвёртой частиотрезка е,т.е., говоря одлине отрезкаа, мывынужденыоперироватьдвумя натуральнымичислами 14и 4.Условилисьв такой ситуациидлину отрезказаписыватьв виде 14/4е, асимвол называтьдробью.

В общемвиде понятиедроби определяюттак: пусть даныотрезок аи единичныйотрезок е,причём отрезоке являетсясуммой nотрезков, равныхе1.Если отрезока состоитиз mотрезков, равных е1,то его длинаможет бытьпредставленав виде е.Символ называютдробью, в нёмmи n– натуральные числа. Читаютэтот символ“эм энных”.

Вернёмсяк рис.1.Выбранный отрезок е1есть четвёртая часть отрезкае. Очевидно,что это неединственныйвариант выборатакой долиотрезка е,которая укладываетсяцелое числораз в отрезкеа. Можновзять восьмуючасть отрезкае, тогдаотрезок абудет состоятьиз 28таких долейи его длинабудет равна 28/8е.Можно взятьшестнадцатуючасть отрезкае, тогдаотрезок абудет состоятьиз 56таких долейи его длинабудет равна е. Еслипредставитьсебе этот процесспродолженнымнеограниченно,получим, чтодлина отрезкаа можетбыть выраженабесконечныммножествомразличныхдробей: 14/4,28/8 , 56/16 ,…

Вообще,если при единицедлины едлина отрезкаа выражаетсядробью , , тоона может бытьвыражена любойдробью , гдеk-натуральноечисло.

Определение. Дроби, выражающиедлину одногои того же отрезкапри единицедлины е,называют равнымидробями.

Если дроби и равны, топишут: = . Например,дроби 14/4и 28/8 выражаютдлину одногои того же отрезкапри единицедлины е,следовательно,14/4 = 28/8 .

Существуетпризнак, пользуяськоторым определяют,равны ли данныедроби:

Для того,чтобы дроби m/nи p/q были равны,необходимои достаточно,чтобы mq= np.

1. Покажем,что m/n= p/q => mq= np. Так какm/n= p/q для любогонатуральногоq,а p/q= pn/qn для любогонатуральногоn,то, из равенствадробей m/nи p/q следует равенствоmq/nq = pn/qn, из которогов свою очередьвытекает, чтоmq= np.

2. Покажем,что mp= pq=> m/n= p/q. Если разделитьобе части истинногоравенства mq=npна натуральноечисло nq, то получимистинное равенство mq/nq= np/nq. Но mq/nq = m/n, а np/nq = p/q, => m/n = p/q.

Пример. Определим,равны ли дроби17/19 и 23/27. Для этого сравнимпроизведения17*27 и 19*23; 17*27=459, 19*23=437. Таккак 459 437, то 17/1923/27.

Из рассмотренныхниже фактоввытекает основноесвойство дроби:Если числительи знаменательданной дробиумножить наодно и тоженатуральноечисло, то получитсядробь, равнаяданной.На этом свойствеосновано сокращениедробей и приведениедробей к общемузнаменателю.

Сокращениедробей- этозамена даннойдроби другой,равной данной,но с меньшимчислителеми знаменателем.

Есличислитель изнаменательдроби одновременноделятся толькона единицу, тодробь называютнесократимой.Например, 3/19 - несократимаядробь.

Пример.Сократим дробь48/80. Чтобы получитьравную ейнесократимуюдробь, необходимочислитель изнаменательданной дробиразделить наих наибольшийобщий делитель.Найдем его: Д(48;80) = 16. Разделив48 на 16 и 80 на16, получаем,что 48/80 = 3/5. Дробь3/5 - несократимая.

Приведениедробей к общемузнаменателю-это заменадробей равнымиим дробями,имеющими одинаковыезнаменатели.

Общимзнаменателемдвух дробейm/n и p/qявляется общеекратное чиселnи q,а наименьшимобщим знаменателем-их наименьшееобщее кратное К (n,q).

Пример. Приведём к НОЗдроби 8/15 и 4/35.Разложим числа15 и 35на простыемножители:15=3*5,35=5*7.Тогда К(15,35)=3*5*7=105.Поскольку105=15*7=35*3, то = 8/15 = 8*7/15*7= 56/105, 4/35 = 4*3/35*3 = 12/105 .

Сложениеи вычитание.

Пусть отрезкиa,b,cтаковы, что c=a+bи при выбраннойединице длиныea= е, b= e(рис.2). тогда c=a+b= e+e= 6e1=7e1= (6+7)*е1= 13е1= е1,т.е. длина отрезкае выражаетсячислом, котороецелесообразнорассматривать,как сумму чисел6/4 и 7/4.

a b

c

e

e1

Рис.2.

Определение:Если положительныерациональныечислапредставленыдробями m/n и p/n, то суммой чиселaи bназываетсячисло, представляемоедробью m+p/n .

m/n+ p/n = m+p/n(1)

Еслиположительныерациональныечисла представленыдробями с разнымизнаменателями,то эти дробиприводят к НОЗ,а потом складываютпо правилу (1). Например: 5/12+2/15=25/60+8/60=25+8/60=33/60=11/20 .

Сумма любыхдвух положительныхчисел существуети единственна.Сложениеположительныхрациональныхчисел подчиняетсяпереместительномуи сочетательномузаконам:

a+b=b+a длялюбыхa,b, Q+

(a+b)+c =a+(b+c) длялюбыхa,b,c Q+

Различаютправильныеи неправильныедроби. Дробь называютправильной,если её числительменьше знаменателя,и неправильной,если её числительбольше знаменателяили равен ему.

Пустьm/n - неправильнаядробь. Тогдаm n.Если mкратно n,то в этом случаедробь m/n является записьюнатуральногочисла. Например,если дана дробь 15/3, то15/3 =5. Есличисло mне кратноn,то разделимmна nс остатком:m=nq+r,где r.Поставим nq+rвместо mв дробь m/nи применимправило (1): m/n=nq+r/n=nq/n+r/n=q+r/n.

Посколькуr, то дробь r/n правильная=> дробьm/n оказаласьпредставленав виде суммынатуральногочисла qи правильнойдроби r/n . Это действиеназывают выделениемцелой частииз неправильнойдроби. Например,13/4=4*3+1/4=4*3/4+1/4=3+1/4. Принятосумму натуральногочисла и правильнойдроби записыватьбез знака сложения,т.е вместо 3+1/4 пишут 31/4 иназывают такуюзапись смешаннымчислом.

Рассмотримвычитаниеположительныхрациональныхчисел.

Определениe Разностьюположительныхрациональныхчисел aи bназываетсятакое положительноерациональноечисло c,что a=b+c

Понятиеразности определено,а как практическииз одногоположительного рациональногочисла вычестьдругое?

Пустьa=m/n, b=p/n, а разность а-bпустьпредставляетсядробью x/n.Найти x. По определениюразности m/n=p/n+x/n, а по правилу(1) p/n+x/n=p+x/n. Таким образом,m=p+x, но m,pи x_числанатуральные,а для них этазапись означает,что x=m-p.

Приходимк следующемуправилу:

M

/n-p/n=m-p/n (2)

Умножениеи деление.

На рис.3 приведенытакие отрезки: a, e,и e1, чтоa=11/3e; e=6/5e1. Надо узнать,каким будетзначение длиныданного отрезкаа при единицедлины е1. Таккак 3a=11e, а 5е=6е1,то, умноживпервое равенствона 5, а второена 11, получим5*3а=11*5е и 11*5е=6*11е1,или 15а=66е1. Последнееравенствоозначает, чтоа=66/15е1, т.е. длинаотрезка а приединице длиные1 выражаетсячислом 66/15, котороецелесообразнорассматриватькак произведение 11/3 и 6/5.

Определение Еслиположительныерациональныечисла представленыдробями m/n и p/q,то их произведениеесть число,представленноедробью mp/nq

m/n*p/q=mp/nq (3)

Определение Частноедвух положительныхрациональныхчисел aи bназываетсятакое числос , что a=b*c. Частное двухположительныхрациональныхчисел находятпо формуле:

m/n:p/q=mq/np (4)

Рис.3

Заметим,что знак чертыв записи дробиm/nможно рассматриватькак знак действияделения. Действительно,возьмем дванатуральныхчисла mи n, и найдемих частное поправилу (4):

m:n=m/1:n/1=m*1/n*1=m/n

Обратно,если дана дробьm/n, то m/n=m*1/n*1. Так как m/n=m:n,то любое положительноерациональноечисло можнорассматриватькак частноедвух натуральныхчисел. Кстати,термин «рациональноечисло» произошелот латинскогослова ratio,что в переводе на русскийязык означает«отношение»(частное).

1.3.Содержаниетемы «Обыкновенныедроби» в школьномкурсе математики.

Изучениетемы «Обыкновенныедроби» в начальнойшколе.

В соответствиис программойпо математике,в начальныхклассах должнабыть проведенаподготовкак изучениюдробей в IVи Vклассах. Этозначит, в начальныхклассах надосоздать конкретноепредставлениео доле и дроби.С этой цельюпредусматриваетсяво 2 классеознакомитьдетей с долями,их записью,научить сравниватьдроби, решатьзадачи на нахождениедоли числа ичисла по доле;в 3 классе ознакомитьс дробями, ихзаписью, научитьсравниватьдроби, научитьрешать задачина нахождениедроби числа.Все названныевопросы раскрываютсяна нагляднойоснове.

Ознакомлениес долями.

Ознакомитьдетей с долями- значит сформироватьу них конкретныепредставленияо долях, т.е. научитьдетей образовыватьдоли практически.

Например,чтобы получитьодну четвертуюдолю круга,надо круг разделитьна четыре равныечасти и взятьодну такуючасть.

Для формированияправильныхпредставленийо долях надоиспользоватьдостаточноеколичестворазнообразныхнаглядныхпособий. Какпоказал опыт,наиболее удобнымипособиямиявляютсягеометрическиефигуры, вырезанныеиз бумаги; можноиспользоватьрисунки фигур,выполненныена бумаге илив диапозитивах(круги, прямоугольники,треугольники,бруски, отрезкии т.п.). Очень важно,чтобы пособиябыли не толькоу учителя, нои у каждого изучащихся. Правильныепредставленияо долях, а позднеео дробях. Будутсформированытогда, когдаученики будутсвоими рукамиполучать, например,половину круга,квадрата, ит.п.

Познакомитьдетей с долямиможно такимобразом:

У каждогоиз учащихсяи у учителя понесколькоодинаковыхкругов, прямоугольников. Возьмите дваодинаковыхкруга. Один изних разделитена две равныечасти (показывает,как надо перегнутьи как разрезатькруг). Это целыйкруг, а это половинакруга, иначеговоря, однавторая долякруга. Скольковторых долейв целом круге?(2) . Покажите их.Возьмите квадрат.Как получитьодну вторуюдолю или половинуквадрата (разделитьего на две равныечасти и взятьодну такуючасть)? Выполняйте.

Учащиесямогут сделатьэто разнымиспособами,например: разрезатьквадрат подиагонали иполучить дваравных треугольникаили же разрезатьпо среднейлинии, тогдаполучится двапрямоугольника.Некоторыеучащиеся могутпредложитьи другие способыделения квадратана две равныечасти (рис.4)

Рис.4

Как получитьодну вторуюдолю круга(разделить кругна две равныечасти и взятьодну такуючасть)? Как получилиодну вторуюдолю квадрата?Как иначе называютодну вторуюдолю круга?Квадрата? (половина–«-,-«-) Сколькополовин кругав целом круге(2)?

Долизаписываютс помощью двухчисел. Однавторая долякруга, квадратаобозначаетсятак: 1/2. Число2 показывает,что круг, квадратили другаяфигура (предмет),разделена на2 равные части,а число 1 показывает,что взяли однутакую часть.

Учащиесязаписываютна половинекруга 1/2 и объясняют,что показываетв этой записикаждое число.

Так жеобразуютсядоли 1/4, 1/8, 1/3, 1/6, 1/5, 1/10 идр. При этомучащиеся должныуяснить, чтодля получениянапример, 1/5отрезка (прямоугольника,бумажной полоскии т.п.) надо данныйотрезок (прямоугольник, полоску и т.п.)разделить на5 равных частейи взять однутакую часть,что в данномотрезке 5 пятыхдолей, что однапятая долязаписываетсятак: 1/5, что в этойзаписи число5 обозначает,на сколькоравных частейразделен отрезок,а число 1, - чтовзята однатакая часть.Для закрепленияэтих знанийи умений учащимсяпредлагаютразличныеупражнения.

Это преждевсего упражненияв называниии записи долей(рис.5) Назовитеи запишите,какая доляквадрата (круга)отрезана (закрашена).

Рис.5

Можнопредлагатьсамим детямизобразить к.л. долю отрезкаи записать этудолю.

В каждомслучае надоспрашивать,сколько всегодолей в целом.Например, сколькотретьих долейотрезка во всемотрезке и т.п.

Эффективнымупражнениемдля формированияпредставленийо долях являетсясравнение долейодной и той же величины, котороевыполняетсячисто практически,с помощью наглядныхпособий.

Например,предлагаетсясравнить доли1/3 и 1/2 и поставитьзнак “>”, ”

Учащиесяизображаютдоли, например,с помощью отрезков(рис.6). Сравниваютих и убеждаются,что 1/3 меньше,чем 1/2.

1/3

1/2

Рис.6

Решениезадач на нахождениедоли числа ичисла по егодоле такжеспособствуетформированиюпредставленийо долях величины.В этом их основное назначение.Поэтому, решениезадач на нахождениедоли числа ичисла по егодоле выполняетсяна нагляднойоснове.

Во 2 классерассматриваетсятолько простыезадачи, а в третьемклассе онивключаютсяв составные.

Ознакомлениес дробями.

Образованиедробей, как иобразованиедолей рассматриваетсяс помощью наглядныхпособий.

Разделитекруг на 4 равныечасти. Как назватькаждую такуючасть? Запишите.Покажите тричетвертые доли.Вы получилидробь- три четвертых.Кто сможетзаписать этудробь? Что показываетчисло 4 (на сколькоравных частейразделиликруг)? Что показываетчисло 3 (сколькотаких частейвзяли)? Аналогичнымобразом учащиесяполучают изаписываютдругие дроби,объясняя, чтопоказываеткаждое число.

Для закрепленияполученныхзнаний выполняютсятакие же упражнениякак и при ознакомлениис долями: поданным иллюстрациямназывают изаписывают,какие дробиизображены,или же изображаютдробь с помощьючертежа, рисунка.Уяснению конкретногосмысла дробипомогают упражненияна сравнениедробей, а такжерешение задачна нахождениедроби числа.

Для сравнениядробей обычноиспользуютсяиллюстрациис равнымипрямоугольниками(рис.7). Учащимсяпредлагаютначертить втетради прямоугольник,длина которого16 см, а ширина1 см. Это одинпрямоугольник.Запишем (в первомпрямоугольникезаписываютчисло 1). Начертитепод первымпрямоугольникомтакой же второйи разделитеего на 2 равныечасти (выполняют).Какие долиполучили (вторые,половины). Скольковторых долейв целом прямоугольнике?Подпишите. Ниженачертите такойже прямоугольники разделитеего на 4 равныечасти. Как называетсякаждая часть?Сколько четвертыхдолей в целомпрямоугольнике?Сколько четвертыхдолей в половине?Что больше:одна втораяили две четвертые?Начертитечетвертый такойже прямоугольники разделитеего на 8 равныхчастей.

1
1/2				1/2
1/4		1/4		1/4		1/4
1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8	1/8

Рис.7

Как называютсяполученныедоли? Скольковосьмых долейв целом? Скольковосьмых долейв четверти, вполовинепрямоугольника?Что больше: тривосьмых илиодна четвертая?Какой дробиравна однавторая?

Ответы навсе перечисленныевопросы детидают, глядя нарисунок.

Предлагаютсяспециальныевопросы насравнениедробей:

1. Вставьтепропущенныйзнак ” > “, “ или “ = “

3/8*3/4; 4/5*1 ; 4/8*1/2 ;

2. Подбираете такое число,чтобы равенство(неравенство)было верным:

5/10=*/2 ; 3/8>*/4 ; 1/2

Выполняятакие и подобныеупражнения,учащиеся прибегаютк соответствующимиллюстрациямс прямоугольниками,или зановоизображаютдроби с помощью,например отрезков.

Конкретныйсмысл дробиочень яркораскрываетсяпри решениизадач на нахождениедроби числа.Решение этихзадач, как изадач на нахождениедоли числа,выполняетсяс помощьюсоответствующихнаглядныхпособий.

Задачи нанахождениедроби числадолжны предлагатьсядля устногои письменногорешения. Различныеупражненияс дробями следуетчаще включатьдля устных иписьменныхработ на протяжениивсего учебногогода.

Изучениеобыкновенныхдробей понетрадиционнойсистеме вовтором классе.

С цельюрасширенияматематическогокругозораучащихся приизучении темы«Доли» термины:дробь, числительи знаменатель,рассматриваетсяобразование,чтение, записьи сравнениедробей с числителембольше единицы.

Для формированияпредставленияо дроби, используютсярешения текстовыхзадач. Первойучащимся можнопредложитьзадачу: «Двабрата разделилимежду собойпоровну 6 яблок.Сколько яблокдосталоськаждому брату?»

Ученикисамостоятельнозаписываютрешение задачи:(6:2=3) и даютответ на еевопрос, объясняявыбор арифметическогодействия. Далеепредлагаетсяследующаязадача: «Двабрата разделилимежду собойодно яблокопоровну. Сколькояблок досталоськаждому брату?»

Учительберет однояблоко и проситразделить егомежду братьямипоровну. Какпоступить вданном случае?Ученики предлагаютразрезатьяблоко на дверавные части.Учитель разрезаетяблоко, показываетодну из равныхчастей и спрашивает:«Как можноназвать этучасть яблока(половина)?».Почему (яблокоразрезалипополам)? Ктодогадался, какможно по-другомуназвать половину(одна вторая)?Докажите. (яблокоразделили надве равныечасти и взялиодну из частей).

Учительпоказываетвторую частьяблока и предлагаетучащимся назватьее.

Вспомнитевопрос задачии ответьте нанего (каждомубрату досталасьполовина илиодна втораяяблока). Однавторая – этодробное число.Оно записываетсятак –1/2. Запишитерешение задачи.

На доскеоформляетсязапись : 1:2=1/2.

Далее поясняется,что в записидроби 1/2 число,которое стоитпод чертой,показывает,насколькоравных частейделят предмет.Это число называетсязнаменателем дроби. Число,которое стоитнад чертой,показывает,сколько такихчастей взято.Это число называетсячислителемдроби.

Затем, длярешения предлагаетсязадача:

« Три братаразделили междусобой три яблокапоровну. Сколькодосталось яблоккаждому брату?» Учащиесясамостоятельнозаписываютрешение этойзадачи, формулируютответ на еевопрос, выясняютзначение числителяи знаменателядроби однатретья.

Что бы научитьдетей сравниватьдроби (доли) наоснове наглядности,можно использоватьучебное заданиес элементамисамоконтроля.

На доскерасположенышесть карточек,на которыхизображеныодинаковыеквадраты, разделенныена равные частиразличнымобразом. Квадратырасположеныв следующемпорядке:

К В А К Л Ю

Учительзадает вопросы: Какие фигурыизображены?Что общего увсех этих квадратов?Просит учащихсяразбить этиквадраты нагруппы и объяснить,по какому признакуони это сделали.

На доскеполучиласьиллюстрация:

Учительпредлагает:

Рассмотритепервую паруквадратов искажите, какаячасть каждогоквадратазаштрихована? Покажите 1/2часть первогоквадрата. Обозначьтедробью. Чтообозначаетзнаменательэтой дроби? Чтоозначает числительэтой дроби?Покажите 1/2другого квадрата.Обозначьтедробью. Сравнитезаштрихованныечасти этихквадратов.Запишите числовоеравенство.

Учительпоказываеткак правильнооформить запись 1/2=1/2

Аналогичнаяработа проводитьсяс остальнымипарами квадратов.

Затем квадратырасставляютсяв такой последовательности:

К А В К Ю Л

Ученикампредлагаетсяпоменять местамикарточки, накоторых изображеныравные дроби.Если заданиебудет выполненоправильно, онипрочитают слово К Л Ю К В А – ответк загадке:

Когдавесною талыесойдут с болотснега

Онакак бусы алыеусеет берега

Данноезадание ученикивыполняют синтересом.Повышеннуюактивность,даже у слабыхучеников, вызываетвторая частьзадания.

Для формированияумения сравниватьдроби, предлагаютсяучебные заданияс элементамизанимательностии самоконтроля.

Приведемодно из заданий:

На доскеприкрепленымодели кругов,разрезанныена две, на восемь,на шесть, начетыре, на триравные части.

Работапроходит следующимобразом:

Какиегеометрическиефигуры передвами? Что общегоу всех этихкругов? Посмотритена первый кругслева. Насколькоравных частейони разделены?Покажитезаштрихованнуючасть круга.Какая это частькруга? Запишитесоответствующуюдробь под этимкругом. На сколькоравных частейразделен следующийкруг? Покажитезаштрихованнуючасть круга.Какая это часть?Запишитесоответствующуюдробь под кругом.Что означаетзнаменательэтой дроби, чтоозначает числительэтой дроби?

Аналогичнаяработа проводитсяс другими кругами.

Далее предлагаетсятаблица:

1/6	1/2	1/3	1/8	1/4
И	К	А	Н	Г

Используяэту таблицу,учащиеся заменяютдроби буквамии отгадываютзагадку: «Некуст, а с листочками,не рубашка, асшита, не человек, а говорит.»

(КНИГА)

Затем надоске делаетсязапись:

1/2 и 1/81/4 и 1/8 1/3 и 1/8 1/3 и 1/6 1/2 и 1/6 1/4 и1/6 1/3 и 1/4

1/8 и 1/2 1/8 и 1/4 1/8 и1/3 1/6 и 1/3 1/6 и 1/2 1/6 и 1/4 1/4 и 1/3

Используяв качественаглядностикруги, требуетсяпоставитьвместо и соответствующиезнаки сравнения.Учащиеся выполняютэто заданиесамостоятельно,а затем проводятпроверку удоски.

Убедившисьв том, что у учениковсформировалисьпредставленияо дроби и умениесравниватьдроби с опоройна наглядность,мы решили ввестидроби с числителембольше единицы.

Для этогопредлагаемрешить следующуюзадачу:

« Мама к чаюподала торт,разрезанныйна 10 равных кусков.Брат съел 2 кускаторта, а сестраодин кусок.Какую частьторта съелбрат? Какуючасть тортасъела сестра?»

Для решенияэтой задачииспользуемнаглядныйматериал –

круг, разделенныйна 10 равных частей.Работа

над задачейпроходит так: На сколькоравных частеймама

разделилаторт? Сколькоторта съеласестра? Покажитена рисунке.

Какую частьторта составляетодин кусок? Ктоможет записатьсоответствующуюдробь? Сколькокусков тортасъел брат? Покажитена рисунке.Какую частьторта составляютдва куска? Ктосможет записатьдробь две десятых?

Этот вопроссначала вызываетзатруднение.Однако поразмыслив,многие приходятк верному выводуи записывают: 2/10.

• Назовитезнаменательэтой дроби.Объясните, чтоон означает. Назовите числительэтой дроби. Объясните егозначение. Затемучащиеся выполняютсравнениедробей с опоройна наглядностьи записываютсоответствующиенеравенства:

1/101/10

Комуиз детей досталосьбольше торта?А кому меньше?Сколько всегокусков

торта съелидети? Покажитена рисунке.Какую частьторта составляюттри куска? Запишитедробь. Объяснитезначение числителяи знаменателяэтой дроби.

Выполнениеэтого задания,вызывает интересдаже у малоактивныхдетей. В работепринимаютучастие всеученики класса.

Далее ведетсяработа по изучениютем «Нахождениедоли числа»и «Нахождениечисла по доле».Обе эти темывводятсяодновременно.Причем, первойрешалась задача,в которой требовалосьпо доле найтичисло. Затемпредлагаетсясоставитьобратную задачу,т.е. найти долючисла.

Деятельностьучащихся должнабыть организованаследующимобразом: Вначалеучащимся предлагаетсязадача: « Березапрожила 50 лет,что составляетодну пятуюпродолжительностиее жизни. Какаяпродолжительностьжизни березы?».

На доскедана модельэтой задачи.Дети, используямодель рассуждаюттак: « Одна пятаячасть составляет50 лет, а в целомпять такихчастей. Можноузнать продолжительностьжизни березы,для этого надо50 умножить на5». Под модельювыполняетсязапись: 50*5=250

Дети даютответ на вопросзадачи.

Учительпредлагаетсоставитьзадачу, обратнуюданной. Ученикибыстро и правильносправляютсяс этим заданием:«Продолжительностьжизни березы250 лет. Она прожила1/5 своей жизни.Сколько летпрожила береза?».

Составленнуюзадачу ученикирешают самостоятельно,используямодель, даннуюк первой задаче.Получив ответ,они убеждаютсяв правильностирешения исходнойзадачи.

Рассмотреннаяметодика изучениятемы «Доли»подтверждает,что учащимся2-го класса доступноусвоение терминовдробь, числитель,знаменатель, а также образование,чтение, записьи сравнениедробей с числителембольше единицы.Применениенестандартныхучебных заданийпри изучениитемы способствуетактивизациидеятельностии интересаучащихся поизучаемомуматериалу.

Методикаизучения обыкновенныхдробей в 6 классе.

( К этомумоменту учащимсяуже все известноо десятичныхдробях и действияхнад ними)

Сначалав 6 классе уточнимпредставлениеоб обыкновенныхдробях, как очастном отделения двухнатуральныхчисел.

Это можносделать так:

1. Предложимпрактическуюзадачу (3 шоколадкиразделить на4х детей)

3:4=3/4

Вывод: Дробь– это частноеот делениячислителя назнаменатель.

При закреплениивключать также примеры:

0,8/0,5=0,8:0,5 (5 кл.)

1,2+0,9/7:10=2,1/0,7=2,1:0,7=3

На следующемэтапе на основенаблюденийпо наглядности,учащиеся должнысамостоятельноподойти к выводуосновногосвойства дроби.

1/2 = 2/4 = 3/6 = 5/10

(Записьодного и тогоже числа)

Как получитькаждую дробьиз 1/2 ?

А как получить1/2 из каждойдругой дроби?

Сделайтевывод.

Основноесвойство дробипозволит познакомитьучащихся сдвумя новымиправилами:

Правило приведениядробей к общемузнаменателю.

Предложитьдвум учащимся 11/36и 13/60заменить дробью,равной данной,но со знаменателем180.

Затемсообщить, чтоэти дроби выпривели к общемузнаменателю.

11/36=11*5/180

Подвестик выводу, чтоНОЗвсегда будетНОК

Правилосокращениядробей.

Предложитьучащимся дробь,например 18/27,заменить еедругой, равнойдробью, но сменьшими числителеми знаменателем.Кто-то запишет6/9, а кто-то 2/3.Ввести терминнесократимаядробь.

Вывод:Удобнее сокращатьсразу на НОДчислителя изнаменателя.

На следующемэтапе познакомитьс обобщеннымправилом сравненияобыкновенныхдробей:

А) Вспомнитьза 5 кл., как сравниватьдроби с одинаковыми знаменателем:

3/5 и 4/5 т.к. 3 то 3/5

Б) Предложитьсравнить дробис разнымизнаменателями,но с одинаковымчислителем:3/4 и 3/5, т.к 4 (четвертые долицелого крупнеечем пятые), то3/4 > 3/5.

В) Сравнитьдроби с разнымичислителямии знаменателями:

3/7 4/9 . Подвестик случаю А), найдяНОК, 3/7=27/63 4/9=28/63

т.к. 27/63 то 3/7

Сложениеи вычитаниедробей с разнымизнаменателями,сводим, к известномус 5 кл., правилу: « Сложение ивычитаниедробей с одинаковымизнаменателями».

Сначалапредложимпример наповторение:

15/20+14/20=3/4+7/10 Возниклапроблемма

3/4+7/10=15/20+14/20=29/20

Сделайтевывод: «Чтобысложить дведроби с разнымизнаменателями,нужно привестидроби к НОЗ ивоспользоватьсяправилом сложенияи вычитаниядробей с одинаковымизнаменателями».

При сложениии вычитаниисмешанныхдробей, рекомендуетсядля более рациональныхвычислений,использоватьпереместительныйи сочетательныйзаконы сложенияи вычитания.

31/5+53/4=(3+1/5)+(5+3/4)=(3+5)+(1/5+3/4)=819/20

51/5-33/4=(5-3)+(1/5-1/4)=2+4-15/20=1+24-15/20=119/20

С умножениемобыкновенныхдробей можнопознакомитьпо-разному.

1. Какв учебнике.

Фрагментурока

НайтиS прямоугольника,если: а) L =10 см, ширина= 5 см,

б) 2,3 и 5,7

в) 7/5 и 3/4

10

5 - устно

подготовительная

5,7 работа

2,3 - письменно

7/5

3/4 -пока не умеем

Возниклапроблема.

Решениевозникшейпроблемы возможнодвумя способами:

1-ыйспособ.

3/4м=75см

7/5м=140см

S=75*140=10500кв.см.

S=1,05кв.м=15/100=11/20кв.м=21/20 кв.м

2-й способ

3/4м=0,75м

7/5м=1,4м

S=0.75*1.4=1.050кв.м

3/4*7/5=21/20 a/b*c/d=a*c/b*d

Чтобы этивычисленияшли без труда,

в устномсчете повторить

предварительносоотношения

между Lи S. Подходимк решению проблемы:3/4*7/5=21/20 a/b*c/d=a*c/b*d

Получиврезультат исравнив числителимножителейс числителем и знаменателимножителейсо знаменателямирезультата,учащиеся попытаютсясами сформулироватьправило умноженияобыкновенныхдробей.

После тренингарассмотретьчастные случаитипа: 32/3*3/4 2*3/5 0*4/5

2. Альтернативныйвариант.

Он заключаетсяв геометрическомспособе выводановогоправилас опорой нанаглядность.

В устномсчете, нарядус известнымипримерами,включатьнеизвестные.

3/41/4 1/2*2/3 –не умеем.Возникла проблема.Далее предложитьрисунок прямоугольника,по длине и ширинекоторого отложеныдроби 2/3 и 1/2. Вспомним смыслдроби.

1 /3	1/3	1/3
1 /3	1/3	1/3

В чем смыслпроизведения? S закрашеннойчасти = 1/2*2/3

А как по-другомуможно сосчитатьS закрашеннойчасти? ( На сколькоравных частейразбит весьпрямоугольник?Какую долюпредставляетиз себя каждаяиз равных частей?А сколько такихшестых долейв закрашеннойчасти?

Sз.ч.=1/6+1/6=2/6

Sз.ч.=1/2*2/3=2/6

На следующемэтапе учащимсяпредлагаетсясамостоятельнопознакомиться(с.р. №3 стр. 72) спонятием взаимнообратные числа.

7 и 1/7 – взаимнообратные числа,т.к. 7*1/7=1.

2/3 и3/2 – взаимнообратные числа,т.к. 2/3*3/2=6/6=1.

Затем , опираясьна это новоепонятие и ранееизвестноеправило взаимосвязимежду множителямии произведением,подвести учащихсяк выводу правила:

Делениеобыкновенныхдробей (стр.74, 6 кл. )

A/b : c/d = a/b*d/c = a*d/b*c

Текстовыезадачи на делениедробей – этоспособ закрепленияизученногоправила, крометого, в результатеих решения,повторяютсяправила нахождениядроби от числаи числа от дроби.(стр. 63,78, 6 кл.)

Глава2. Практическоеобоснование изучения темы «Обыкновенныедроби»

2.1Методика изученияобыкновенныхдробей в школьномкурсе математики.

На протяжениидвух лет мыизучили опытработы различныхучителей, которыестаралисьповысить качествоусвоения знанийучащихся потеме «Обыкновенныедроби» с помощьюразличных форми методов.

Например,из опыта работыО. Севостьяновой,учителя гимназии№ 6 города Волгограда,можно сделатьвывод, что изучение обыкновенныхдробей безнадежной опорына наглядностьприводит кплохому усвоениюдетьми изучаемогоматериала. Ив качестве наглядногопособия , онапредлагаетприменять науроках, посвященныхизучениюобыкновенныхдробей, игру«Детская мозаика».Эта игра состоитиз наборногополотна ипластмассовыхдеталей, имеющихформу квадрата,прямоугольникаи прямоугольноготреугольника, которые окрашеныв контрастныецвета.

Составивна мозаичномполотне различныефигуры из равныхдолей всехчетырех цветов,можно задатьучащимся вопрос:«какая частьфигуры закрашенасиним (красным,белым цветом)?».

«Мозаика»также помогаетусваиватьпонятие смешанногочисла; различатьсмысл дробей3/5 и 3,5; сравниватьдроби. Преимущества«Мозаики»перед стандартнымучебным набором«Дроби» состоитв том, что намозаичномполотне можноизобразитьдроби со знаменателембольше,

чем 6.

Без трудаможно убедитьучеников, что7/14=1/2, 3/15=1/5.

Но на своихуроках учительприменяет нетолько мозаику,но и кубики«Лего», имеющиеформу прямоугольногопараллелепипеда.С их помощьюможно сравнивать,складывать,вычитать исокращатьдроби.

Из уроковСевостьяновоймы видим, чтоучителю несоставит трудасамостоятельноподобратьвопросы и задания,предполагающиеиспользование этих наглядныхпособий. Например,можно показатьдетям две различныемодели к задачеи спросить:«Какая из этихмоделей наиболеесоответствуетусловию задачи?»

Исходя изопыта работыО.Севостьяновоймы можем сделатьвывод, что такиедетские игры,как «Детскаямозаика» и«Лего» можносчитать уникальныминагляднымипособиями приизучении курсаматематикив 5-6 классах.

Не менееинтересныуроки Л. Буденной,г. Ростов-на-Дону.Она при изученииобыкновенныхдробей используетинтегрированные уроки математикии чтения, чтобольше заинтересовываетдетей к изучениюданной темы.

Например,урок по теме«Сложение ивычитаниедробных чисели сказки А.С.Пушкина», 5-6 кл.(Приложение№2) проводитсяв виде соревнования.Детям, например, чтобы узнатьизвестноевыражение изсказки Пушкина,нужно сначаларешить примерына сложениеобыкновенныхдробей.

На урокахЛ. буденной удетей формируетсяэмоционально-личностноеотношение квыражениюматематическихпонятий посредствомклассическихлитературныхпроизведений.

Из опытаработы В.Т.Самковой, г.Санкт-Петербургпо теме «Правильные и неправильныедроби» мы видим,что дети самостоятельноприходят квыводу о существованииправильныхи неправильныхдробей (Приложение№1), что лучшеими усваивается.

Н. Романова,школа №4 г. Брянск,предлагаетурок по закреплениютемы «Обыкновенныедроби» провестив форме путешествия,где дети знакомятсяс историейвозникновениядробей, расшифровываютразличныеребусы, отгадываюткроссворд(Приложение№5).

Таким образом,из опыта работыразных учителеймы видим, чтокаждый из нихна уроках потеме «Обыкновенныедроби» стремитсяк повышениюкачества усвоениязнаний учащихся.И осуществлениеэтой задачикаждый учительдобивался неза счет дополнительнойнагрузки научащихся, а засчет совершенствованияформ и методовобучения. Благодаряэтому у детейактивно развиваетсяпознавательныйинтерес ипознавательнаяактивность.

2.2Диагностикавлияния темы«Обыкновенныедроби»

наразвитиематематическихспособностейшкольников.

Проведяанализ результатовтестовых работучащихся пятыхклассов, яубедилась. Чтов том классе,в котором проходилифакультативныезанятия потеме «Обыкновенныедроби» среднийбалл за тестированиевыше, чем в томклассе, в которомфакультативныезанятия непроводились.

Для того,чтобы выявитьи обосноватьусловия, обеспечивающиеэффективностьизученияобыкновенныхдробей, я взяладля экспериментадва класса. Водном из нихя провела рядфакультативныхзанятий потеме «Обыкновенныедроби», на которыхдети болееуглубленноизучили даннуютему: познакомилисьс историейвозникновенияобыкновенныхдробей. Например,дети узнали,что раньше взаписи дробей,дробная чертане использовалась,а числа дробипросто записывалисьдруг над другом.И что современнуюсистему записидробей создалив Индии. Такжедети узналидругие неизвестныеим ранее способысравнениядробей. Например, сравнение споловиной.Когда две дробис разнымизнаменателямисравниваютс Ѕ (половиной).Или сравнениепутем дополнениядо единицы.

Также наэтих занятияхдети решализадания наарифметическиедействия сдробями, какобыкновенные,так и повышеннойтрудности.

Например,докажите, что131313/777777=13/77

А затем,после проведенияряда занятий.в этом классебыли предложеннытестовые заданияпо теме «Обыкновенныедроби». И этиже тестовыезадания затембыли предложенывторому классу,в которомфакультативныезанятия непроводились(Приложение№ ).

При подведенииитогов тестовыхзаданий быловыявлено, чтокласс, в которомпроходилифакультативныезанятия, справилсяс тестами лучше.

В это времяна уроках математикидети изучалидесятичныедроби. И быловидно, что усвоениеэтой темы былолучше у техдетей, которыеболее углубленноознакомилисьс темой «Обыкновенныедроби». Такимобразом мывидим, что изучениетемы «Обыкновенныедроби» способствуетлучшему усвоениюпоследующихтем.

Исходя изэтого, можносделать вывод,что исключениетемы «Обыкновенныедроби» из школьнойпрограммынецелесообразно.Ведь эффективныеформы и методы,выбранные дляизучения дробей,способствуетразвитиюматематическихспособностейшкольников.

Заключение.

В ходе изученияданной проблемыустановленыособенностиизученияобыкновенныхдробей.

Изученасущность вопросав теории и практике,изучен опытработы различныхпедагогов,который доказывает,что вопрос«Обыкновенныедроби» достаточноважен для развитияматематическихспособностейшкольника.

Теоретическаязначимостьданной проблемыв определенииметодов и приемовизученияобыкновенныхдробей.

Исследованиепоказало, чтоизучениеобыкновенныхдробей будетнаиболее эффективно,если будутиспользоватьсяэффективныеформы и методжыведения уроковматематикипо изучениюобыкновенныхдробей, а такжеразработанынаиболеерациональныеметоды обеспечивающие сознательноеусвоение понятияобыкновенныхдробей школьниками.

Список литературы.

1. Большойсправочникматематики.

2. БолтянскийВ.Г. Простыедроби и вычислительнаятехника // журналМатематикав школе 1998 г. №5с. 41

3. БуденнаяЛ.В. Сложениеи вычитаниедробных чисели сказки А.С.Пушкина // газетаМатематика1999 г. №17 с.27

4. ДороховТ.С. Дроби ипроценты //газета Математика 1997 г. № 30 с.3

5. ДробышеваИ. Изучениетемы Дроби8 класс // газетаМатематика1999 год. №44 с.23

6. Ивлиева Как научитьтрудных подростковтеме «Дроби»// газета Математика1997 г. №36 с.4

7. ИвашоваИ. Все действияс обыкновеннымидробями // газетаМатематика2000 г. №2 с.16

8. ДепшанЗа страницамиучебникаМатематика//

9. ИвановаЛ.С. Нахождениечисла по доле// газета Начальнаяшкола 1999 год.№8 с. 2

10. ПименоваО.В. Изучениетемы Доли//журнал Начальнаяшкола 1999 г. №5 с.34

11. СевостьяноваЛ.В. Любимыеигрушки помогаютизучать обыкновенныедроби // газетаМатематика 1999 г. № 2 с. 13

12. СимоноваЛ.В. Сложениеобыкновенныхдробей // газетаМатематика1999 г. №10 с. 25

13. СамковаВ.Т. Правильныеи неправильныедроби // журналНачальнаяшкола 1999 г. №1 с.104

14. СмоляковА.С. Как перевестипериодическуюдробь в обыкновенную// газета Математика1999 г. № 21 с.21

15. ШидоваН.В. Из историивозникновениядробей // газетаМатематика1999 г. № 10 с. 15

16. Романова путешествиев страну Дроби// газета Математика1999 г. №44 с. 6

17. ЛатыповаС.Т. Сложениеи вычитаниесмешанныхчисел // газетаМатематика1999 г. №17 с. 27

Министерствообщего и профессиональногообразованияРФ

Мариинскоепедагогическоеучилище

Предметноцикловая комиссияматематики

Актуальныевопросы изучениятемы

«Обыкновенныедроби»

в школьномкурсе математики

Дипломнаяработа

Выполниластудентка

IVкурса 985 группы

ЯкутинаЕ.Ю.

Научныйруководитель:

Преподавательматематики

ЧеремныхГ.Н.

М

ариинск2001 г.

Приложение1

Конспектурока В.Т. Самковой,3 класс

Тема:Правильныеи неправильныедроби

Цели:

1. Познакомитьс правильнымии неправильнымидробями. Научитьопределятьправильныеи неправильныедроби.

2. Закрепитьумения складыватьи вычитатьдроби.

3. Совершенствоватьвычислительныенавыки, развиватьлогическоемышление.

Ход урока.

1. Устнаяразминка

Дать характеристикучисла 6 (6 февраля).Какую частьсоставляетчисло 6 от всегомесяца? (1/28) Какуючасть составляют6 прожитых днейфевраля отвсего месяца?(6/28) С какими числамимы работаемна уроках? (Дробями) Что такое дробь?Для чего нужныдроби в математике?Какие операциимы умеем производитьс дробями?(Сравнение,сложение, вычитание)

2. Повторениеизученного

А)Записать дробив порядке:

Возрастания Убывания

1/7 1/5 1/3 1/12 1/10 1/9 1/16 1/4 1/8 1/2 1/25 1/30

Л А Ю Ж Е Е Х С П У О В

Каким правиломвы будетеруководствоваться?Какие словарасшифровали? (Желаю успехов)

Б)Сравнениядробей.

Каксравнить дробис одинаковымизнаменателями?

Содинаковымичислителями?

2/5и 3/5 6/9 и 4/9 18/25 и 24/25 3/7 и 3/9 11/13 и 11/23 11/15 и 10/17

(Покане умеем сравнивать)

В)Какое заданиеможно выполнитьпо этой схеме?

- 6/11

0

8/11 1

8/11-6/11=8-6/11=2/11

-3/9 1

7/9-3/9=4/9

(Составитьпример на вычитаниедробей)

Г) Найти суммуи проиллюстрироватьрешение начертеже:

1

4/10+4/10=

1

2/8+5/8=

Д) На доске 2 плаката,на которыхзаписаны вкружках числа.

Какзаписываемдроби? (Двумянатуральнымичислами, разделенными

чертой) Какое заданиеможно выполнить?(Составитьвсевозможныеравенства сдробями)

Работапо вариантам.

Объяснить,как получиликаждой равенство:

3/10+6/10=9/10 6/10+3/10=9/10

9/10-3/10=6/10 9/10-6/10=3/10

Е) Нахождениечасти от числаи числа от части. Дети рассказываютправило.

Проверкатворческогодомашнегозадания.

Блиц– турнир.

Вклассе а учеников.6/17 уехалина экскурсию.

Скольковсего учениковуехало на экскурсию?

5/12учеников классасоставляетх учеников.

Скольковсего учениковв классе?

Мальчикистратил брублей.8% денегон истратил.Сколько денегон истратил?

Мальчикистратил 24%денег, что составляетУ всехденег, которыеон имел.

Сколькоденег было умальчика?

Проверкана доске с помощьюкарточек.

Показатьрешения, гденаходили частьот числа. Показатьрешения , гденаходили числоот его части.

Ж)Решение уравнений.Игра «Волна».

Х+27/46=35/46 Х-18/57=27/57 39/75 – Т=19/75

Объявлениетемы урока.

Продолжениеисследованиядробей

Введениев проблему.Новое исследованиедробей.

А)У детей по двакруга на парте.

• Какразделить кругна четыре равные части? (Сгибанием)

• Сколькочетвертыхдолей содержитодин круг? Двакруга?

На доскезапись:

Закрасить5 частей кругаи записатьдробью.

1=4/4 2=8/4 5/4

Что необычногов записи этихдробей?

Можно ли чертудроби пониматькак знак деления?

Б) У учителякруги, разделенныена 6 частей.

Запишитес помощью дробейчисло шестыхдолей круга.

Запись втетради и надоске однимиз учеников.

4/6 6/6 8/6 12/6 1/6 17/6 7/6 5/6 13/6

На какиегруппы можноразбить этидроби?

(>1,

В) Работа вчетверках. Напартах конфеты.

Разделитеконфеты поровнув своей четверкеи результатделения запишитедробью:

1/4 5/4 2/4 4/4 8/4 7/4

Выйтик доске тем, укого дробиполучилисьменьше единицы,затем выйтитем, у кого дробиполучилисьбольше единицы,и наконец тем,у кого дробьравна единице.

Все эти дробинадо разбитьна две группы.

Какую группувы бы присоединилик одной из двухдругих? Почему?

Как вы назвалибы дроби тойи другой группы.

Закреплениепо учебнику.

А) Чтениевывода по учебнику.

Б) Выполнениезадания №4 и 5.Проверка почисловому лучуна доске.

В) Самостоятельнаяработа №6. Взаимопроверка.

Г) Заданиепо рядам. Придуматьдроби большеединицы, меньшеединицы, равныеединице.

Решение задачипо схеме, записаннойна доске.

Схему «одетьв рубашку» исоставитьвыражение:

«Саша прочитал4/7 книги, чтосоставило 200страниц от всейкниги. Сколькостраниц емуосталось прочитать?

Итог урока.

• Какоеисследованиедробей мы провелисегодня?

• Чтонового мы узналио дробях?

Приложение10

Тестыпо теме: «Десятичныедроби»

Вариант1

1. Вычислите3,57+2,23-4,8 а)10,7; б)1; в)5,79; г)1,3

2. Вычислите5,508:0,27-5,3 а)20,4; б)16,1; в)15,1; г)15,4

3. Вычислите(17,28:3,2+1,4*2,5):89+1,9 а)1,1; б)2; в)2,9; г)11,9

4. Решитеуравнение1,5Х-1,15=1,1 а)Х=2,25 б)Х=0,75 в)Х=2,16 г)Х=1,5

5. Решитеуравнение2,7У+5,31У-2,81У-2,6=0 а)У=2;б)У=0,5; в)У=5; г)У=2,5

6. Некотороечисло увеличилив 2,5 раза, а затемвычли половинучисла, послечего получилосьчисло на 1,99 большееисходногоНайдите исходноечисло. а)2; б)7,96; в)1,4; г)1,99

Вариант2

1. Вычислите 4,67+3,23-5,8 а)13,7; б)2,2; в)2,1 г)7,24

2. Вычислите 3,298:0,34-5,2 а)3,5; б)4,5; в)23,329; г)14,9

3. Вычислите(37,41:4,3+1,3*2,6):4 а)41,06; б)2,3 в)3,02;г)0,302

4. Решитеуравнение2,5Х-3,15=2,1 а)Х=2,75; б)Х=13,175;в)Х=0,42; г)Х=2,1

5. Решитеуравнение3.8Z+4.22Z-3.02Z-7.25=0а)Z=1.45;б)Z=0.65;в)Z=2,25;г)Z=36.25

6.Некотороечисло увеличилив 3,5 раза, а затемвычли исходноечисло, послечего получилосьчисло на 2,55 большееисходногоНайдите исходноечисло. а)0,728; б)2,45; в)1,7; г)1,05

Приложение2

Конспектурока БуденнойЛ.В.

Тема:«Сложениеи вычитаниедробных чисели сказки А.С.Пушкина» 5-6кл.

Целиурока:

• Обобщениеи систематизациязнаний по теме«Обыкновенныедроби. Сложениеи вычитаниедробных чисел.Сравнениедробных чисел».

• Углублениезнаний политературе,проверка знанийсказок А.С. Пушкина.

• Формированиеумений внимательногочтениялитературно-художественныхпроизведений.

• Формированиеэмоционально-личностногоотношенияучащихся квыражениюматематическихпонятий посредствомклассическихлитературныхпроизведений.

• Формированиецелостноговосприятияобщей картинымира.

Подготовкак уроку:

Включитьв д/з к урокучтение сказокПушкина-«Сказкао мертвой царевнеи семи богатырях»;«Сказка о золотомпетушке»; «Сказкао царе Салтане»и др.

Ходурока:

Учащихсяразбить накоманды. Провестиурок в формесоревнования:кто быстреевыполнит задание.Каждое правильноерешение оцениваетсяв баллах.

Задание1.

Числамизашифровановыражение.Найдите потаблице буквы,соответствующиечислам, запишитеэти буквы ипрочтите полученноевыражение.

+	3/8	51/8	4	107/8	7
1/8	О	Б	Д	В	Р
12/8	Ь	Д	Т	П
33/8	У	Ы	Й

11

41/8

1/2

51/4

71/8

81/2

73/8

111/8

33/4

51/4

15/8

За верноерешение командаполучает 5 баллов.Команда, котораяназовет сказкуПушкина, изкоторой взятоэто выражение,и прочтет фразуполностью, каона звучит уПушкина, получитдополнительно2 балла.

Задание2.

Вставьтепропущенноеслово в отрывокиз сказкиА.С.Пушкина.

Междутем, как он далеко

Бъетсядолго и жестоко

Наступаетсрок родин

Сынадал им Бог в...

Вы ужеугадали этослово? Проверьтесебя , решивзадачу:

Выделитецелую частьиз дроби, заменитеее буквой, которуюзапишите вокошечко лабиринтаи прочтитеслово.

49/5

Н

19/12

Ш

820/121

А

45/15

И

89/11

Р

8

6

1

9

3

За верноерешение команда,получает трибалла. Команда,котораяприведет аршинв известныеединицы длиныполучаетдополнительно1 балл.

Задание3.

Назовитеимя царя о которомидет речь вприведенномотрывке изсказки Пушкина.Отгадайтепропущенноеслово.

Негде,в тридевятомцарстве,

В тридесятомгосударстве,

Жил-былславный царь...

Смолодубыл грозен он

И соседямто и дело

Наносилобиды смело.

Решивпримеры, вылегко отгадаетеэто слово. Карточкис одинаковымиответами поменяйтеместами.

87/12-42/12

75/9-28/9

42/3-57/13

94/9-47/9

23/12-22/12

Заверное решениекоманда получаеттри балла. Команда,которая правильноназвала сказку,получит дополнительно1 балл.

Задание4.

Проверкадомашнегозадания.

Петушокопять кричит;

Страхи шум во всейстолице

Царьк окошку-ан наспице,

Видит,бъется петушок,

Обратившисьна ...

В какуюсторону повернулсяпетушок, о которомидет речь всказке А.С. Пушкина?Вы узнаете обэтом, если корнизаданных уравненийзамените буквами.Уравненияместами неменять. (Корниуравнений издомашнегозадания).

1)43/5-У=24/5 4) 7/12+Х=81/12

2)Х-75/12=47/12 5) 41/2-Х=11/3

3) Х+48/9=127/9 6) Х+2/9=1/9+7/9

С К В И О Т О С

За верныйответ командаполучает 2 балла.

Задание5.

Вспомните«Сказку о мертвойцаревне и семибогатырях».

Командыначинают поочереди рассказыватьсказку со слов:

За невестоюсвоей

КоролевичЕлисей

Междутем по светускачет

Сколькораз Елисейобращался запомощью? Ответитьна этот вопросвам поможетудивительныйквадрат.

11/7	18/17	52/9
3/17	6/17	16/17
34/5	1	7/9

Выполнитедействия:

1. Изпервой строкивыбрать наименьшеечисло;

2. Извторой наибольшее;

3. Изтретьей ненаибольшееи не наименьшее;

4. Найдитесумму выбранныхчисел.

Команда,за верный ответполучает трибалла. Командакоторая перечислитвсех, к комуобращаетсяза помощьюЕлисей, получитдополнительныйбалл.

Подведениеитогов урока.

Выявляетсякоманда-победитель,которой выставляетсяоценка в журнале.

Приложение3.

Конспектурока

С.Латыпова г. Ярославль

6класс.

Тема:«Сложениеи вычитаниесмешанныхчисел»

Цельурока: Повторитьправила сложенияи вычитаниясмешанныхчисел, применениеэтих действийпри решенииуравнений изадач; Вспомнитьсказки А.С. Пушкина.

Подготовитьк уроку: Выставкукниг, содержащихсказки А.С. Пушкина,рассказы отворчествепоэта, плакатс высказываниемА.С. Пушкина:«Вдохновеньенужно в поэзии,как в геометрии»,два различныхпортрета поэта.

Ходурока:

1. Логическоезадание

Какоеслово лишнееи почему: сумма,разность, множитель,уменьшаемое?

«Лишнее»слово : множитель.

Повторитекомпонентысложения ивычитания(слагаемое,слагаемое,сумма, уменьшаемоеЮвычитаемое,разность)

2. Устноеупражнение

1/12=5/12;22/5+3/5;1/3+1/5; 14/15-2/15; 5/8-1/4; 1/3-1/7; 5-1/5;35/6-2.

3. Вступительноеслово о А.С. Пушкине

А.С.Пушкин – гениальныйпоэт, прозаик,драматург,критик, обогатившийхудожественнымиоткрытиямирусский романтизм,заложившийосновы самобытнойрусской реалистическойлитературыXIXвека. Пушкинродился 6 июня(26 мая по старомустилю) 1799 годав Москве, вдворянскойсемье. Он великолепновладел многимилитературнымижанрами, писалстихи, поэмы,романы, историческиеповести, рассказы,сказки

Сейчасвам предстоитузнать, произведениякакого литературногожанра мы будемиспользоватьв заданиях.Числами зашифрованэтот жанр.

Задание.

Используятаблицу умножения,найдите буквы,соответствующиечислам. Запишитев тетради этибуквы и прочитайтеполученныеслова.

42

48

36

56

28

32

49

35

54

45

40

24

63

Х	4	5	6	7	8
6	Н	Ь	А	С	К
7	К	У	С	П	З
8	И	И	К	З	Ю
9	А	К	Ш	А	Б

Ответ:

С

К

А

З

К

И

П

У

Ш

К

И

Н

А

4. Самостоятельнаяработа (6 мин)

(Повариантам: 1вдля слабо успевающихучеников)

Зашифрованы4 слова из сказкиА.С. Пушкина.

Задание:

Выполнитедействия, результатынайдите в таблицеи отгадайтезашифрованноеслово.

Вариант1 Вариант2

1)71/3+24/27 1)123/8+81/6

2)311/18+11/12 2)313/15+67/10

3)55/6-23/4 3)1111/12-57/9

4)219/36-7/9 4)79/20-517/30

5)67/8-31/3+55/16

№ зад.	Р	О	Е	М
1	10 1/27	8 2/9	5 2/13	9 13/27
2	2 4/3	4 25/36	3 8/25	5 1/5
3	3 1/12	2 5/12	4 8/9	5 7/12
4	11/16	2 3/4	1 3/4	1 7/8

№ зад.

Ы

Б

А

К

Р

1	19 1/24	21 3/24	20 7/24	22 5/21	20 13/24
2	10 17/30	11 27/31	9 7/30	9 11/30	10 11/30
3	5 7/24	6 5/36	6 3/35	7 1/36	5 5/24
4	57/60	1 51/35	1 19/60	1 53/60	2 5/59
5	7 45/48	8 23/24	8 41/48	7 5/24	6 43/48

Изкакой сказкиэти слова?

Ребятаотгадываютслова и названиесказки («Сказкао рыбаке и рыбке»)

Учительзачитываетотрывок изсказки:

Жилстарик со своеюстарухой

Усамого синегоморя;

Онижили в ветхойземлянке

Ровнотридцать лети три года

Старикловил неводомрыбу,

Старухапряла своюпряжу.

Скольковсего лет жилаэта семья уморя?

Вызваныйк доске ученикрешает следующуюзадачу: «В первыйдень старикпоймал 54/5кг. Рыбы, чтоменьше массырыбы, пойманойво второй деньна 11/2кг. Сколькорыбы поймалстарик за двадня?

Решение:

1)54/5+11/2=58/10+15/10=613/10=713/10 во второй день

2. 54/5+73/10=58/10+73/10=1211/10=131/10=13,1(кг.)

Ответ: за два дня старикпоймал 13,1 кг. Рыбы

5. Решениеуравнений (3мин)

Чтобыузнать названиеследующейсказки надооткрыть трисейфа, решивтри уравнения.

Сейф1 Сейф 2 Сейф3

(Работаучащихся порядам. Вызываютсяученики поодному с каждогоряда к доске,остальные наместе)

1ряд

21/6+Х=51/2

(Х=31/3)

2ряд

214/15-У=12/3

(У=3/5)

3ряд

Z-67/8=21/16

(Z=815/16)

Кто решитраньше других,может открытьодин сейф, решивдополнительноезадание:

А)(Х-27/8)+35/6=42/3 (Х=317/24)

Б)(У=5/7-1/8=2/3-1/14 (У=1/168)

Открыввсе сейфы выпрочтете названиесказки.

Сказка о царе Салтане

Первый,кто откроетсейф получит«5».

6. Вычислитезначение выражений:

(Выполняетученик у доски)

73/5-47/15+35/12+9/20 (ответ:7)

В названиикакой сказкиПушкина естьчисло 7?

7. Решитезадачу:

Учительчитает отрывокиз сказки.

Вотмудрец передДадоном

Стали вынул из мешка

Золотогопетушка

«Посадиты эту птицу,-

Молвилон царю,-на спицу:

Петушокмой золотой

Будетверный сторожтвой…»

Изкакой сказкиэтот отрывок?

Задача: (Выполняет 1ученик у доски)

Спицана куполе можетвыдержать вес42/3 кг. Царюподарили петушкамассой 31/4кг. Выдержитли спица, еслипетушок поправитсяна 1 кг?

Решение:

42/3-31/4=15/12(кг.) 15/12>1

Вывод: спица выдержитпетушка.

8.Подведениеитогов.

Приложение4

Конспектурока

О.Севостьяновойучителя гимназии№6 г. Волгограда

Любимыеигрушки помогаютизучать обыкновенныедроби.

Обыкновеннаядробь являетсяпо существупервой математическойабстракцией,которая встречаетсяв курсе математики.Быстрый переходк формальномуоперированиюдробями безнадежной опорына наглядностьприводитк тому, что слабые,а порой и средниеученики, непонимают изучаемогоматериала.

Двагода назад,яначала применятьна уроках посвященныхизучению обыкновенныхдробей, в качественаглядногопособия игру«Детская мозаика».Эта играсостоит изнаборногополотна ипластмассовыхдеталей, имеющихформу квадрата,прямоугольникаи прямоугольноготреугольника, которые окрашеныв контрастныецвета.

Составивна мозаичномполотне различныефигуры из равныхдолей всехчетырех цветов,можно задатьучащимся вопрос:«какая частьфигуры закрашенасиним (красным,белым цветом)?».

«Мозаика»также помогаетусваиватьпонятие смешанногочисла; различатьсмысл дробей3/5 и3,5;сравниватьдроби. Преимущества«Мозаики» передстандартнымучебным набором«Дроби» состоитв том, что намозаичномполотне можноизобразитьдроби со знаменателембольше,

чем6.

Безтруда можноубедить учеников,что 7/14=1/2,3/15=1/5.

Нона своих урокахя применяю нетолько мозаику,но и кубики«Лего», имеющиеформу прямоугольногопараллелепипеда.С их помощьюможно сравнивать,складывать,вычитать исокращатьдроби.

Иногдая показываюдве разныхмоделей к задачеи спрашиваю:«Какая из этихмоделей наиболеесоответствуетусловию задачи?»

Учителюне составиттруда самостоятельноподобратьвопросы и задания,предполагающиеиспользование этих наглядныхпособий.

Почтидвадцатилетнийстаж работыпозволяет мнеутверждать,что такие детскиеигры, как «Детскаямозаика» икубики «Лего»можно считатьуникальныминагляднымипособиямиприизучениикурса математикив 5-6 классах.

Приложение5

Конспектурока РомановойС.

«Путешествиев страну дроби» 6кл.

8команд по шестьчеловек. Жюри.

Учитель.Ребята,сегодня мы свами отправимсяв необычноепутешествие,мыпосетим странуДроби. В этойстране мы сделаемнесколькоостановок: вдеревне Исторической,на берегу озераРебусного,отдохнем наполяне Театральной,посетим замокКроссвордный,побродим в лесуСказочном,попробуемодолеть горыМозгодром. Накаждой остановкевам надо будетпоказать своизнания, находчивостьи смекалку. Заправильныеответы командыбудут получатьжетоны (разноцветныеромбики), а вконце путешествиямы определимкоманду-победительницу.Маршрут путешествиявы будете выбиратьсами. Итак, впуть!

Попастьв страну Дроби,минуя деревнюИсторическую,нельзя. Поэтомпервую остановкумы сделаемздесь. В деревнемы отдохнемперед труднымпутешествием,а в это времячлены жюрирасскажут обистории возникновениядробей.

ДеревняИсторическая.

1-йученик (членжюри)

Дробипоявились вглубокой древности.При разделедобычи, приизмеренияхвеличин, да ив других похожихслучаях людивстретилисьс необходимостьюввести дроби.

Древниеегиптяне ужезнали, как поделить2 предмета натроих, для этогочисла –2/3-у них был специальныйзначок. Этобыла единственнаядробь в их обиходе,у которой вчислителе нестояла единица.Если египтянинунужно былоиспользоватьдругие дроби,он представлялих в виде суммыосновных дробей.

2-йученик

Вдревнем Вавилонепредпочиталинаоборот, -постоянныйзнаменательравный 60. Римлянетоже использовалилишь один знаменательравный 12.

3-й ученик

Действиянад дробямив средние векасчитались самойсложной областьюматематики.До сих пор немцыговорят прочеловека, попавшегов затруднительноеположение, чтоон «попал вдроби».

Учитель

Ребята,вы познакомилисьс историейобыкновенныхдробей, а теперьнам пора продолжитьпутешествие.Наш путь лежитк озеру Ребусному.

ОзероРебусное.

Здеськомандам предлагаетсярешить ребуси две анаграммы.

2

” “ Ь

Ответ:дробь.

Ответы:

1. ИТИЬЛЕСЧ Числитель

2. ПРИЦЯОРОП Пропорция

Командыполучают жетоны,а команда победительвыбирает маршрут.

ЗамокКроссвордный

Погоризонтали:1)деление числителяи знаменателяна одно и тожечисло; 2) частноедвух чисел;3)дробь, у которойчислитель изнаменательвзаимно простые числа; 4)на сколькосокращаетсядробь 24/36; 5)сотаячасть числа.

Повертикали:6)назовитедроби, у которыхчислитель >или = знаменателю. 4)Длянахожденияобщего знаменателянадо находитьНОК или НОД? 8)Действие,при помощикоторогонаходят дробьот числа

9)Длясокращениядроби нужнонаходить НОДили НОК?

Ответы:

Погоризонтали:1)Сокращение2)Отношение3)Несократимая4)Двенадцать5)Процент

Повертикали: 6)Неправильная7)НОК 8)Умножение9)НОД

Командыполучают жетоны,а команда-победительвыбирает маршрут.

ГорыМозгодром.

1)Какпереложив однуспичку, получитьчисло, равное1/3?

2)Каждаякоманда получаеткарточку сзаданием: Поставьтезнаки действийтак, чтобы равенствабыли верны.

7/8*11/7=1;3/7*4/7=3/4; 2*11/3=2/3;0,3*5/6=1/4;

3)Разделите7 арбузов на 12человек, сделавкак можно меньшеразрезов.

4)Каждаякоманда получаеткарточку сзаданием:

Невыполняя деления,сравните значениявыражений:

а)12,5:0,5 и 25:0,5 б)12,5:0,5 и 12,5:2,5

в)12,5:0,5 и 12,5:0,05 г)125:0,5 и 12,5:5

Закаждое заданиекоманды получаютжетоны и выбираютмаршрут.

ЛесСказочный.

Каждаякоманда получаетпо две карточкис заданием

Задание1 Выполнитедействия попорядку и расшифруйтефамилию известнойдетской писательницы:

1)22/3+35/6 5)6*11/15

2)5-23/8 6)6:31/3

3)4/27*9/16 7)13/7*119/30

4)2,4:4/15 8)11/3:16

Задание2 Расположитедроби в порядкевозрастанияи вы узнаетеимя одного изее героев.

0,5 6/7 2,25 5/2 1/3 8/4 1

А Р О Н К С Л

Командыполучает жетоны.

Дополнительныйвопрос Какие ещепроизведенияэтой писательницывы знаете?

Заответ на этовопрос командытакже получаютжетоны.

ПолянаТеатральная.

Кэтому конкурсукоманды готовятсязаранее. Онипоказываютсценки, сказки,инсценируютстихи, песнио дробях.

Жюриподводит итогиконкурса ираздает жетоны.Победителемигры объявляетсякоманда, набравшаябольшее количествожетонов. Ейвручаетсядиплом.

Приложение6.

Факультативноезанятие №1.

Тема:Расширениемножествачисел. Введениедробей.

Цели:

1. Сформироватьпредставленияучащихся овозникновениидробей.

2. Воспитыватьумение слушатьдругого ивосприниматьматериал.

3. Развиватьлюбознательность,вызвать интереск изучениюобыкновенныхдробей.

Содержаниезанятия:

IОрг. Момент.

Насегодняшнемзанятии мы свами поговоримою обыкновенныхдробях.

II.Беседа.

1. Изистории о дробях.

В жизничеловеку приходилосьне только считатьпредметы, нои измерятьвеличины. Людивстретилисьс измерениямидлин, площадейземельныхучастков, объемов,массы тел. Приэтом случалось,что единицаизмерения неукладываласьцелое числораз в измеряемойвеличине. Например,измеряя длинуучастка шагами,человек встречалсяс таким явлением:в длине укладывалосьдесять шагови оставалсяостаток меньшеодного шага.

Появлениедробей связаноу многих народовс делениемдобычи на охоте.В связи с этойнеобходимойработой дюдистали употреблятьвыражения:половина, треть,два с половинойшага. Откудаможно былосделать вывод,что дробныечисла возникликак результатизмерениявеличин.

2.Записьдробей.

Народыпрошли черезмногие вариантызаписи дробей,пока не пришлик современнойзаписи.

В

2

1

3

начале в записидробей неиспользоваласьдробная черта,например число записывалосьтак .

Чертадроби появиласьлишь только в 1202 году у итальянскогоматематикаЛеонардо Пизанского.Он ввел словодробь.Названия числительи знаменательввелв 13 веке МаксимПлануд – греческиймонах, ученый,математик.

Современнуюсистему записидробей создалив Индии. Толькотам писализнаменательсверху, а числительснизу, и не писалидробной черты.А записыватьдроби как сейчасстали арабы.

3.Делениечисел – одиниз источниковвозникновения дробей.

Древниеученые не считаличислом результатделения дробныхчисел. Например,12/5=22/5– дробный результатделения, но кчислам его неотносили.Интересныесведения обэтом записаныв древних рукописях.Задача: «Разделить100 фунтов между11 людьми поровну».

Мы:100/11=91/11

Древниематематики100/11 не считалидробью. Остатокот деления 1фунт предлагаетсяпоменять наяйца, которыхможно былокупить 91 штуки.Если 91:11 то получитсяпо 8 яиц и 3 яйцав остатке. Авторрекомендуетотдать их тому,кто делил, илиже поменятьна соль, чтобыпосолить яйца.

На этихпримерах мывидим, что дробивходили в жизньс большимитрудностями.

4.Решениеуравнений.

Вначалеуравнения, укоторых в ответеполучалосьдробное число,считалось неимеющим решения,но постепеннов ответе стализаписыватьдробные числа.Например, решимуравнения:

А)3Х-(Х+18)=15 Б) (10Х-2Х):2=3

3Х-Х-18=15 8Х:2=3

2Х-18=15 8Х=6

2Х=33 Х=6/8=3/4

Х=161/2

В)95-Х(32Х+18)+15=31

95Х-50Х+15=31

45Х+15=31

Х=16/45

Позднеедроби сталисчитать числами.Долгое времяих называлиломаными числами.Как вы думаете,почему?

III.Итог занятия.

1. Какиетри источникамогли статьпричинойвозникновениядробей?

2. Какназываютсякомпонентыдроби?

3. Чтоозначает чертадроби?

4. Какиедроби называютправильными?

Приложение7

Факультативноезанятие №2

Тема:Сравнениедробей

Ходзанятия.

1. Выполучили некотороепредставлениео дробях, образующихновое, неизвестноевам множествочисел.

Вмножестведробей также,как и в множественатуральныхчисел, производятсятакие операции,как сравнение,сложение, вычитание,возведениев степень.

Малотого, известныевам натуральныечисла сталипредставлятьв виде дробей.Например, натуральноечисло 2 можнозаписать как2/1=14/7=30/15 и т.д.

2. Несмотря на то,что натуральныечисла можнорассматриватькак частныйслучай дробныхчисел. Действияс дробями совершенноне похожи надействия снатуральнымичислами.

Складыватьи вычитатьдробные числа,а также умножать и делить ихнужно было поновым правилам,не похожим направила действийс натуральнымичислами. Этиправила былиразработаныдревнимиматематиками.Общим были лишьзаконы арифметическихдействий инекоторыеопределения.Например, умножениена натуральноечисло называлосьсложениемодинаковыхслагаемых:2/3*5=2/3+2/3+2/3+2/3+2/3=10/3=31/3

Введениедробей позволиловыполнятьделение натуральныхчисел во всехслучаях: 50/12=42/12,но это еще необлегчаловыполнениедругих действий.Нелегко усваивалисьобыкновенныедроби. Они считалисьсамым труднымразделом арифметики.Об этом можносудить по следующимфактам. У насесть поговорка:«Попал в тупик»,у немцев и нынев ходу поговоркапохожая нанашу: «Попалв дроби». Обеэти поговоркиозначают однои тоже: человекпопал в оченьтрудное положение.

Ужев древние временаматематикиразрабатывалиправила действийс дробями, заставляяучащихся механическизаучивать этиправила, неосознавая ихсмысла. Именноэто было причинойтех. Поройнепреодолимыхзатруднений,которые встречалиучащиеся. Внаше время изматематикидавно исчезлиправила, которыедети не моглибы понять. Правилаэти разъясняютсяна примерах,доказываются.

Поэтомувы видите, чтообыкновенныедроби – интереснейшийраздел математики.

3. Возьмемхотя бы операциюсравнениядроби. Какаяиз дробей больше:2/5 или 3/5; 2/7 или 1/7 ?

Есливы разделитепирог на 5 равныхчастей и возьметедве такие части,то это меньшеоставшихся3/5 пирога.

А правилоговорит: « Издвух дробейс одинаковымизнаменателями та меньше…».Но сравниватьиногда приходитьсяи такие дроби,как 3/8 и 5/12. Разрезаниепирога здесьне поможет.Первая нашапроблема научитьсязаменять дробьравной ей дробью,но с другимзнаменателем.

4

.Возьмемкруг и разобьемего двумя 1/8

перпендикулярнымидиаметрамина 4 1/4

равныечасти. Каждаяиз них 1/4 круга.

Теперькаждую 1/4 разобьемна две

равныечасти, тогдакруг разобьется

на ...равных частей,которых в 1/4 будет

две,т.е. 1/4=2/8.

Чтобыполучить из1/4 равную ей дробь2/8, достаточночислитель изнаменательдроби 1/4 ... .

Основноесвойство дроби.

Есличислитель изнаменательдроби умножитьили разделитьна одно и тожечисло не равноенулю, то получитсядробь равнаяданной.

Воттеперь можноговорить осравнениидробей 3/8 и 5/12.

Надоподыскать такоечисло, котороеделилось быкак на 8, так ина 12. Таких чиселмного. Самоеменьшее из них– 24. На скольконадо умножить8 и 12, чтобы получить24? Получим дроби9/24 и 10/24. Откудазаключаем, что 9/24

Вывод: Для сравнениядробей удобнопривести ихк общему знаменателю,и считать тудробь меньшей,у которой меньшечислитель.

5. Задача:Найти две дроби,каждая из которыхменьше 4/5 и больше3/5.

Ясно,что эти дробиследует заменитьравными имдробями, но сбольшимизнаменателями.Умножим числительи знаменательна 2, получим6/10 и 8/10. Дробь, больше6/10 и меньше 8/10 можетбыть 7/10. Нам жетребуетсяузнать двепромежуточныедроби. Попробуемумножить числительи знаменательна 3. Имеем 3/5

6. Врассмотренныхпримерах нампришлось умножатьчислитель изнаменательна одно и тожечисло, но поосновномусвойству дробиих можно и делитьна одно и тожечисло. Например,докажите, что1313/7777=13/77.

Ясно,что если равенствоверно, то надонайти такоечисло, на котороеделится числительи знаменателькаждой дроби.1313:13=101 1313=13*101. Значит1313 делится какна 13, так и на 101.Аналогично:7777:77=101, 7777=77*101. Значит7777 делится какна 77, так и на 101.Запишем этудробь так:13*101/77*101=13/77.

Подведемитоги.

1. Какоедействие теперьвсегда можновыполнять вмножествецелых чисел?Приведитепримеры. Какиечисла получаются?

2. В чемсмысл основногосвойства дроби?

3. Какуюоперацию можновыполнять сдробями, знаяосновное свойстводроби?

8. Домашняяработа.

1. Докажите,что 131313/777777=13/77.

2. Могли один мальчиксъесть 2/5 торта,а другой ѕ этоготорта?

3. Избавляясебя от лишнихвычислений,найдите суммувсех нечетныхчисел от 1 до99 включительно.

Приложение8.

Факультативноезанятие №3

Тема:Другиеспособы сравнениядробей.

Ходзанятия.

1. Начнемс домашнегозадания. Какоесвойство выприменили крешению задач№1 и №2? На какоеодно и тожечисло вы делиличислитель изнаменательдроби 131313/777777? Правильно,на 10101.

А каквы разрешилиситуацию взадаче №2? Почемуже мальчикине могут съестьтакую частьторта? Наконец,проверим, каклегче вычислитьсумму нечетныхчисел: 1+3+5+7+...+97+99 Всегонечетных чиселздесь будет..., а таких суммбудет ..., то всясумма равна100*...=... .

2. Сравниватьдроби, используяприем приведенияих к общемузнаменателю,люди научилисьгораздо позже,а до этогоонипользовалисьмногими другимиспособами,которые такжеприводили ихк правильномуответу.

А) Сравнениес половиной.

Чтобольше, 3/8 или5/9. Если эти дробивы будете сравниватьс 1/2 (половиной),то 3/8 меньше 1/2, а5/9 больше 1/2. Значит5/9>3/8.

Б) Сравнениепутем дополнениядо единицы.

Возьмемединичные дроби1/51 и 1/52. Почему1/51>1/52? Объясните,используяпредметноеистолкование.А теперь неприводя к общемузнаменателю,сравните дроби47/48 и 46/47.

Решение:Чтобы дробь47/48 стала равна1, надо добавитьк ней 1/48, а чтобыдробь 46/47 сталаравна 1, надодобавить к ней1/47.

47/48+1/48=48/48=1 46/47+1/47=47/47=1

Но, таккак 1/4846/47.

Длязакрепленияэтого способасравнитесамостоятельнодроби 52/53 и 53/54; 11/12 и12/13;

В) Третийспособ сравненияоперается наутверждение:неправильнаядробь всегдабольше правильной,поэтому 5/4...4/5.

Задача.Решим стариннуюзадачу. Отецсемейства,чувтвуя приближениесмерти, разделилсвое наследствомежду тремясыновьями.Наследствомбыло стадобаранов. Саршийполучает большевсех, среднийменьше старшего,но больше младшего.Меньше всехполучал Правильноли было разделенонаследство,если старшийдолжен получить5/12 всех баранов,средний 1/4, амладший 3/8?

Решение. Используемдля сравненияспособ приведенияк общему знаменателю.5/12=10/24, 1/4=6/24, 3/8=9/24

Еслиделить, каксказал отец,то дроби неотражают егослов. Во-первых,средний получалменьше чеммладший. Во-вторых,10/24+6/24+9/24=25/24. Нельзяразбить стадона 24 равные частиа взять 25.

А какисправить дело? 24/24 получиться,при сложении10/24+6/24+8/24=24/24. И если делитьпо старшинству,то старшийполучит 10/24=5/12, средний8/24=1/3, а младший6/24=1/4.

Подведемитоги.

1. Какиеновые способысравнениядробей вы узнали?

2. Разъяснитена чем основанкаждый из способовсравнениядробей?

3. Какаяиз двух дробейс единичнымчислителембольше?

Домашняяработа.

1. Какаяиз дробей больше:а) 56/57 или 55/56;

б) 11/18 или8/20; в) 7/6 или 6/7;

2. Могутлитри человекасъесть торт,если один съест3/7 торта, другой1/3, а третий 5/21?

3. Найдитесумму всехчетных чиселот 2 до 100 включительно.

Приложение9.

Тестыпо теме: «Обыкновенныедроби»

Заполнитепропуски(многоточия),чтобы получилосьверое утверждениеили правильнаяформулировкаопределения,правила.

Вариант1.

1. Есличислительравен знаменателю,то дробь равна....

2. Правильнаядробь (больше,меньше) ... единицы.

3. (1-1/11)....

4. Вчисле 151/10целая частьравна ... .

5. 27 кг.Составляют... тонны.

6. Накоординатномлуче дробь3/5 расположена... (левее,правее),чем1/5.

7. Неравенство2/4

8. 1/3 часа(больше, меньше)...,чем3/4 часа.

9. Смешанноечисло 113/4можно получитьпри делениинатуральногочисла ...на...

10. 2/7 отчисла 140 составляют....

11.Если1/5 от числа составляет20, то само числоравно... .

12. Половинаотрезка и четвертьэтого отрезкасоставляютвместе... .

13.Корнем уравненияm-10/5-15=30является число....

Оценочнаятаблица

№ зад.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
балл	1	1	1	1	1	1	1	2	2	2	2	3	4

№ зад.	1	2	3	4	5	6	7		8		9	10	11	12	13
балл	1	1	1	1	1	2	7	2		2		2	3	1	4

Вариант2.

1. Еслидробь равна1, то числительдроби равен....

2. 3/10 мсоставляют... см.

3. Дроби1/10,2/10,7/10,9/10 расположеныв порядке(возрастания,убывания)... .

4. 1 кв.см=...кв.дм.

5. 149/9=...

   .

6. 1/2 частьполовины кругасоставляет...часть круга.

7. Значениевыражения1-4/5+1/5+2равно....

8. Дробьс/4 будет неправильной,если с=... .

9. Есливыражение13/4а+1/4а+2упростить, тооно будет равно....

10. К

    
    
    
    
    
    
    оординататочки с равна....

0 1 с

Х

11. 
    

Изчисел 202/3и 211/4ближе к числу21на координатномлуче расположенночисло... .

12. 3/7<...>

13. Корнемуравнения30-Х/2+12=24является число....

Оценочнаятаблица

Содержание

Введение.

Глава1. Традиционныеметодическиеподходы к изучениютемы «Обыкновенныедроби».

1.1 Из историивозникновениядробей.

2. Арифметическиедействия собыкновеннымидробями.

2. Содержаниетемы «Обыкновенныедроби» в школьномкурсе математики.

Глава2. Практическое обоснованиеизучения темы «Обыкновенныедроби».

1. Методикаизученияобыкновенныхдробей в школьном курсематематики.

2. Диагностикавлияния темы«Обыкновенныедроби» на развитиематематическихспособностейшкольников.

Заключение.

Списоклитературы.

Приложения.

Т-2.

Установите,истинны илиложны следующиеутверждения:

Вариант1

1. Числительправильнойдроби большеее знаменателя.

2. Правильнаядробь расположенана координатномлуче левееединицы.

3. Если k– любое натуральноечисло, то дробьk+1/k– неправильная.

4. Число45/5 являетсясмешаннымчислом.

5. 11/6

6. 2/5 от 40составляют16.

7. Если вдроби 3/2 поменятьместами числительи знаменатель,то величинадроби увеличится.

8. Кореньуравнения35/8-Х=1равен 25/8..

9. 30 мин.=30/60 часа.

10. 35/7=35/7.

11. Точкаа , отмеченнаяна координатномлуче, имееткоординату6.

0

2 а Х

Вариант2

1. В дроби4/5 число 5 являетсячислителем,число 4 – знаменателемдроби.

2. Числительправильнойдроби меньшеее знаменателя.

3. дробьр/р+1 правильнаяпри любыхнатуральныхзначениях р.

4. Межлунулем и единицейна координатномлуче можноотметить 10обыкновенныхдробей.

5. Числа2/3, 1, 11/2,6/3 записаны впорядке возрастания.

6. Еслиудвоить половинучисла, то получитсясамо число.

7. Из дробей3/5 и 5/5, дробь 5/5расположенана координатномлуче левее.

8. 4/5>5/4.

9. 1/25 частьот числа 625 составляет25.

10. 11/15-(3/15+7/15)=1/15.

11. Еслиединичныйотрезок равен12 см, то длинаАО равна 16 см.

0

А 1 Х