Математика и физика в средней школе (стр. 3 из 6)
найти и построить вектор
», и др.Наиболее подходящей величиной для введения векторов и операций над ними является перемещение с его «естественным» правилом сложения.
Преступая к объяснению материала о перемещении, учитель физики должен иметь в виду, что в понятие «перемещение» математики вкладывают другой смысл: перемещение в геометрии – это математическое преобразование. С эти понятием учащиеся знакомятся на уроках геометрии на примере параллельного переноса, поворота, осевой симметрии.
Перемещение в физике представляет собой более узкое понятие. Вектор перемещения вводится при рассмотрении движения материальной точки или поступательного движения твёрдого тела. При таком движении все точки тела движутся одинаково. Перемещению при поступательном движении тела в механике соответствует параллельный перенос в геометрии. Следовательно, перемещение есть не что иное, как геометрический вектор
.Следует иметь в виду, что вектор можно определить, не прибегая к геометрической интерпретации, не строя направленных отрезков. Вектор в пространстве при выбранной системе координат определяется тремя числами (проекциями вектора), вектор на плоскости – двумя числами. При сложении векторов (
) их проекции складываются (s1x+s2x), при вычитании векторов ( 
) их проекции вычитаются, при умножении вектора на число 
, проекция вектора так же умножается на число ksx и т. д.На уроках физики следует обратить внимание на понятие проекции вектора, теорему о проекциях, формулу
.В начале 9 класса в курсе геометрии после изучения тригонометрических функций (sin(х), cos(x)) вводится понятие координат вектора. Последние определяются так: выбирается координатная плоскость и от начала координат откладывается вектор
, точка О является началом вектора, а точка 
- его концом; координатами вектора называется координаты его конца.В курсе геометрии вводится формулы, связывающие координаты вектора с его модулем и углом, который вектор составляет с положительным направлением оси абсцисс:
На уроках изучают скалярное произведение векторов (на примере работы). После того как введена формула
, следует обратить внимание учащихся на то, что в неё входят модули двух величин.Для физиков важен распределительный закон
, поскольку знание его позволяет сделать важный вывод о том, что работа результирующей силы равна сумме работ составляющих сил.При решении векторных уравнений наряду с графическим методом используется метод проекций (координатный). Рассмотрим использование данного метода при решении задачи [8]:
Задача 1: Конический маятник массой m вращается в горизонтальной плоскости. Найти угловую скорость вращения и силу натяжения нити, если её длина l, а угол, который она составляет с вертикалью, равен α.
Решение: на маятник действует две силы – сила тяжести
и сила упругости нити 
(см. рис. 2.3)По II закону Ньютона:
Рис 2.3
От векторной формы записи перейдем к уравнениям в проекциях на оси координат:
.Выразив проекции векторов через модули и принимая во внимание, что
имеем: 
из уравнения (2) получим:
учитывая, что
, и подставляя в уравнение (1) найденное значение 
, вычислим угловую скорость: 
.§2.2. Векторная величина в средней школе.
Большое место в школьном курсе физике занимают векторные величины. Понятие векторной величины тесно связано с понятием вектора, но не тождественно ему. Векторная величина характеризует какое-либо свойство тела, явления, процесса, существующие реально; её можно измерить. Понятия «измерение вектора» не существует.
Физика оперирует векторными величинами, которые задаются указанием размера и направления в пространстве. Поэтому направленный отрезок является удобным наглядным изображением векторной величины. Операцию построения направленного отрезка MN, для которого
равен 
, можно назвать откладыванием какой-либо векторной величины от точки М [7].При определении многих физических величин (а также при записях некоторых законов) подчеркивается и векторный характер, в то время как расчет численных значений этих величин выполняется в скалярной форме. В связи с этим возникает необходимость разъяснения учащимся основных приемов и правил перехода от уравнений, записанных в векторной форме, к уравнениям в скалярной форме.
Первые затруднения возникают при записи уравнения кинематики прямолинейного равнопеременного движения. В этом случае [9] для решения основной задачи механики достаточно оперировать двумя уравнениями: уравнением для мгновенной скорости
и уравнением для координаты
,где х0 – координата начальной точки, V0x и ax – проекции векторов
на ось Х, которая параллельна траектории движения.Для решения многих задач достаточно знать только численное значение мгновенной скорости, определяемое из соответствующего уравнения в скалярной форме. Для этого нужно уравнения мгновенной скорости записать для её проекции на ось х, т.е.
.Таким образом, основная задача механики решается с помощью двух независимых уравнений:
.Если начало координат совпадает с начальной точкой движения уравнения упрощаются и принимают вид:
.Кроме уравнения координаты вводится также формула для вычисления пути (путь – скалярная величина, равная длине траектории):
.Четкое представление о величинах, входящих в уравнения мгновенной скорости и координаты, и об их изменениях с течением времени складывается у учащихся при вычерчивании графиков.
На рисунке 2.4 показано изменения проекций векторов
, а также координаты х тела, брошенного вертикально вверх.Рис 2.4 и 2.5
На рисунке 2.5 изображены графики изменения ускорения и скорости тела по модулю, а также график его пути [7].
Уравнения динамики первоначально также даются в векторной форме. И естественно возникает необходимость перехода к записи их в скалярной форме.
Второй закон Ньютона учащиеся выражают следующим образом [14]:
, где 
- равнодействующая всех сил, приложенных к телу. В некоторых учебных пособиях это же уравнение записывается так: 
.Для перехода к скалярной форме записи можно рекомендовать следующий прем. Допустим, что к телу приложены две силы
и 
. Тогда телу сообщается ускорение , направленное в сторону равнодействующей (рис.2.6):