Интерпретация квантовомеханических представлений с позиций волнового описания системности физических величин (стр. 3 из 7)
Из этого уравнения определяются возможные значения px. Запись последнего выражения становится более понятной с использование в уравнении волнового вектора
. (2.12)Решением уравнения (2.12) является гармоническая функция вида
. (2.13)Считается, что собственные значения оператора проекции импульса px образуют непрерывный спектр значений от -
до + . Однако, при ограничении пси-функции по координате спектр значений волнового вектора обязательно становится дискретным. Причем получаемые дискретные значения будут целочисленно кратны основному значению, определяемому максимально возможной длиной волны (вернее 
).Исходя из представленных и ряда иных соображений, можно предположить, что используемые в квантовой механике так называемые операторы ФВ, по сути, есть искусственные образования. Они представляют собой комбинации ограниченного числа ФВ (действия актуального, энергии и импульса) с операторами дифференцирования, изымаемыми (совместно с указанными ФВ) из начальных дифференциальных уравнений, описывающих волновое представление микрочастиц.
В этой связи можно поставить под сомнение оправданность применения в квантовой механике операторов ФВ, как не имеющих физического смысла. Тем более что используются еще и операторы квадратов ФВ.
По крайней мере, с системных позиций никак не подтверждается постулат квантовой механики о том, что в ней каждой ФВ ставится в соответствие определенный оператор, а соотношения между операторами имеют ту же структуру, что и соотношения между ФВ. Построить или изобразить систему операторов ФВ, структура которой была бы подобна структуре размерностной системы самих ФВ (или имела хотя бы какой-то свой смысл), никак не получается.
Можно отметить, что применение операторного метода в квантовой механике, раз он так широко используется, видимо в какой-то мере и оправдано, например, при вычислении средних значений ФВ, хотя эти вычисления возможны и без операторов, а на основе объемной плотности распределений ФВ (раздел 8).
3. КВАНТОВОМЕХАНИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ЯМЫ, ПОРОГИ И БАРЬЕРЫ ДЛЯ МИКРОЧАСТИЦ
В учебниках по квантовой механике обычно принято рассматривать примеры, описывающие поведение микрочастиц, находящихся в энергетических ямах или проходящих над (или под) энергетическими барьерами и порогами. При описании этих явлений, как правило, используются достаточно громоздкие математические формулы, из-за которых теряется физический смысл явлений.
Как пояснялось ранее, волновое уравнение Шредингера для стационарных состояний можно записать в форме (2.10) или в виде:
. (3.1)Решением (3.1) в общем виде является функция:
. (3.2)Для одномерной потенциальной ямы шириной а с бесконечно высокими (непроницаемыми) стенками, при использовании граничных условий
и 
, получаем В = 0. Тогда уравнение (3.2) преобразуется в 
, (3.3)которое для А ≠ 0 формально выполняется при
, n = 0,1,2,3,… (3.4)Последнее условие можно представить в виде
, n = 1,2,3,… (3.5)где
- длина волны де Бройля с чертой ( 
).Выражение (3.5) имеет физический смысл – это отношение ширины потенциальной ямы к модам длин стоячих волн де Бройля, способных к существованию в этой потенциальной яме и характеризующих микрочастицу, находящуюся в яме. Это выражение показывает, что в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками присутствуют (отбираются или резонируют) лишь моды волны, с длиной волны целочисленно дольной основной длине волны
. Реально – половине этого значения.Последнее выражение говорит о первоначальном квантовании в потенциальной яме длин волн или волновых векторов. Квантование уровней энергии для микрочастицы, находящейся в потенциальной яме, - это уже следствие отмеченного первоначального квантования дебройлевских длин волн.
Значит линейный или частотный спектр стоячих волн, описывающих состояние микрочастицы, находящейся в одномерной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками, представляет собой основную длину волны (основную частоту) и бесконечно большой набор других волн, целочисленно дольных половине основной. Если же брать частоту волн де Бройля, то это основная частота и бесчисленное множество других частот, целочисленно кратных основной частоте.
Известное выражение, определяющее дискретный спектр уровней энергии микрочастицы, находящейся в одномерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками
, n = 1, 2, 3, … (3.6)для понимания, лучше преобразовать и представлять в виде:
, n = 1, 2, 3, … (3.7)Еще более понятным будет представление этого выражение в виде:
, n = 1, 2, 3, … , (3.8)откуда вытекает равенство
, n = 1, 2, 3, … , (3.9)Последнее выражение показывает, что на ширине одномерной потенциальной ямы обязательно укладывается целое чисто дебройлевских полуволн (их гармоник), каждая из которых по частоте выше, а по длине волны меньше основной моды в целое число раз. В потенциальной яме с бесконечно высокими стенками число этих волн бесконечно большое множество. То есть, начиная с граничной частоты, имеется частотный спектр волн де Бройля. Этот спектр линейчатый и он расположен в сторону увеличения частоты до бесконечности.
Выше мы рассмотрели параметры микрочастицы, помещенной в одномерную потенциальную яму с непроницаемыми стенками. Теперь рассмотрим волновые и другие параметры для микрочастиц, находящихся в многомерных потенциальных ямах, а также в ямах, ограниченных по высоте.
Нормированная волновая функция, получаемая решением уравнения Шредингера для микрочастицы, находящейся в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, имеет вид:
, (3.10)0 < x <a1, 0 < y < a2, n1, n2 = 1, 2, 3, …
Энергия микрочастицы описывается выражением
, n1, n2 = 1, 2, 3, … (3.11)Последнее выражение можно упростить и представить по аналогии с (3.8) в виде
, n1, n2 = 1, 2, 3, … (3.12)Однако из последнего выражения нельзя получить простого соотношения, подобного (3.9). Выражение (3.12) говорит о том, что сложение волн происходит по правилу сложения векторных величин.
Аналогичное выражение для трехмерной потенциальной ямы имеет вид:
, n1, n2, n3 = 1, 2, 3, … (3.13)Таким образом, можно заключить, что частица, находящаяся в многомерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, описывается набором стационарных волн, длины которых целочисленно дольны величинам сторон этой потенциальной ямы.
Уравнение Шредингера для частицы, находящейся в сферической потенциальной яме с непроницаемой стенкой радиуса а, имеет решение идентичное (3.3) – (3.5) [1]. Это означает, что в такой потенциальной яме стационарные волны де Бройля состоят из основной волны, половина длины которой равна длине окружности сферы, и бесконечно большого набора других волн, целочисленно дольных основной.
Волновое представление микрочастиц позволяет описывать их проникновение в стенки потенциальных ям и прохождение сквозь потенциальные барьеры конечной высоты. Свободное движение частицы в области, где уровень потенциальной энергии меньше уровня кинетической энергии, описывается уравнением (3.1). Его решение, записанное в показательной форме, имеет вид:
. (3.14)В области потенциального порога или стенки потенциальной ямы, где потенциальная энергия превышает уровень кинетической энергии (U-E) > 0 волновое уравнение имеет другой вид:
. (3.15)Решением этого уравнения является сумма двух экспонент с действительными показателями степеней
(3.16)В результате сшивки двух функций (3.14) и (3.16) с учетом требований конечности и гладкости, предъявляемых к пси-функции, коэффициент А2 принимается равным нулю, коэффициент А1 принимается равным единице и определяются значения коэффициентов В1 и В2.
При прохождении микрочастицы над низким потенциальным порогом (E – U) >0 тоже наблюдается отражение. При этом уравнение Шредингера в любой зоне имеет вид (3.1), решения уравнения предстают в виде (3.14), а коэффициенты получают значения: