Интерпретация квантовомеханических представлений с позиций волнового описания системности физических величин (стр. 2 из 7)
Поскольку любая периодически меняющаяся функция может быть разложена в ряд Фурье, то волновую функцию принято описывать в суперпозиционном полигармоническом виде, приписывая каждой составляющей синусоидальный характер.
Общее временное уравнение Шредингера имеет вид
. (2.1)Здесь
– мнимая единица, а 
– рационализированная постоянная Планка. Стандартным символом D в (2.1) обозначен дифференциальный оператор Лапласа, который в декартовой прямоугольной системе координат определяется следующим образом:D º
. (2.2)Уравнение Шредингера для стационарных состояний, образуемое из (2.1) при допущении, что Ψ- функция может быть представлена в виде произведения двух частей, зависящих: одна от пространственных координат, а другая от времени, имеет следующий вид
. (2.3)Здесь малая буква ψ, в отличие от используемой в (2.1) большой буквы Ψ, обозначает лишь одну часть волновой функции, которая зависит только от пространственных координат. Вторая часть волновой функции, считающаяся находящейся в произведении с первой и здесь отсутствующая, зависит только от времени.
Почти все традиционные учебники физики, например [1, 2], говорят о невозможности выведения уравнений (2.1) и (2.3), приводя объяснение, что данные уравнения “сконструированы” или угаданы автором, точно также как в свое время были сконструированы или угаданы знаменитые уравнения Максвелла. Отдельные авторы считают, что вообще все природные закономерности устанавливаются лишь на основе опытных данных [1, стр.125].
С позиций системной взаимосвязи ФВ и системной обусловленности всех физических закономерностей, что изложено в работах автора [3-6], с таким заключением согласиться никак нельзя. Во-первых, системное и целостное представление природных закономерностей помогает формированию действительно научного мировоззрения [5, 6]. Во вторых, возможно выведение отдельных природных закономерностей привычным логическим путем. Оба эти направления необходимо раскрывать и показывать при обучении студентов физике, которую многие готовы признать - чуть ли не постулативной.
Система ФВ, варианты исполнения отдельных частей которой, применительно к рассматриваемой задаче, приведены на рис.1- рис.6, строится на упорядоченно расположенных LT- или MLT- размерностных элементах. ФВ непосредственно или с дополнительными размерностными коэффициентами многоуровнево входят в элементы системы. Закономерные взаимосвязи ФВ обнаруживаются в системе как их ближайшие системные связи или как попарное равенство произведений размерностей ФВ, располагаемых в элементах системы на противоположных вершинах выделенных параллелограммов. Более подробно эти моменты раскрыты в работе [4].
Применительно к рассматриваемой проблеме вывода волновых уравнений Шредингера следует уяснить ближайшие системные размерностные взаимосвязи ФВ действие. В системе по рис.3 и в последующих вариантах она названа действием актуальным, поскольку в квантовой механике (да и не только в ней) выявляется существование еще одного действия – это действие потенциальное, которое рассматривается чуть ниже.
Действие актуальное, квантом которого является постоянная Планка, связано через время с энергией и через длину с импульсом. В системном представлении ФВ по рис.1 - рис.4 эти связи хорошо видны.
Известна также и системно обнаруживается взаимосвязь кинетической энергии и импульса через массу микрочастицы (рассматриваем нерелятивистский случай):
. (2.4)Далее можно идти чисто логическим путем.
Если волновая функция описывается синусоидой (или суммой синусоид), то первая производная этой функции будет косинус, который отстает по фазе от синусоиды на p /2.
Не принимая пока во внимание амплитудных и размерностных различий, мы можем установить фазовое равенство первой производной Ψ- функции по времени и ее самой, умножив эту первую производную на
и приписав противоположный знак одной из сравниваемых величин.Теперь ликвидируем размерностные отличия. Поскольку Ψ- функция от своей первой производной по времени отличается на размерность времени, то для получения размерностного равенства умножим Ψ- функцию на отношение энергии и постоянной Планка, являющейся квантом действия актуального.
Таким образом, получаем примерное размерностное соотношение:
, (2.5)в котором W – представляет собой полную энергию, а коэффициент пропорциональности n - безразмерная числовая величина. С учетом соотношения (2.4) выражение (2.5) можно переписать в виде
, (2.6)где в скобках фигурирует сумма кинетической и потенциальной энергий, называемая функцией Гамильтона.
Из представленной на рисунках системы (или просто из размерностных соображений) можно определить, что в выражении (2.6) импульс p можно представить - как отношение актуального действия (постоянной Планка) к длине. Коэффициент n возможно изменится, что непринципиально, а длина в минус второй степени в дифференциальных уравнениях, описывающих динамические волновые процессы, обычно представлена второй производной по направлению в пространстве (D ). Таким образом, мы логически приходим к уравнению (2.1). При этом размерность самой Ψ- функции может быть любой.
В общем случае числовой коэффициент n имеет не единственное, а множество значений, определяющих амплитуды различных гармоник Ψ- функции. Эти значения устанавливаются решением дифференциального уравнения с учетом начальных условий.
Заметим, что отношение квадрата постоянной Планка к удвоенному значению массы, представляющее по размерности произведение энергии на площадь, присутствует в правой части уравнения (2.1) вполне логично. Системные соотношения этой ФВ рассмотрены в разделе 4. В атомной физике эта величина характеризует изоэнергетическую поверхность, называемую поверхностью Ферми.
Однако использование временного уравнения Шредингера в форме выражения (2.1) не всегда может быть оправданным. Дело в том, что постоянная Планка сама представляет собой соотношение энергии с частотой (а также произведение импульса на длину волны), поэтому ее использование в формулах одновременно с указанными величинами ведет, как правило, к сильному затуманиванию в этих формулах физической сути явлений.
Если разделить обе части уравнения (2.1) на
, то ситуация становится несколько яснее. Временное уравнение Шредингера принимает вид: 
. (2.7)Отношение потенциальной энергии U к постоянной Планка
есть частота, а отношение постоянной Планка к массе, является физической величиной, называемой кинематической вязкостью (в термодинамике это коэффициент диффузии). Вот такие физические параметры, скорее всего, и определяют изменение пси-функции во времени.Используя выражение (2.7) возможно осуществить простейший переход к волновому описанию стационарного состояния, что достигается приравниванием этого выражения нулю (поскольку изменения во времени принимаются отсутствующими). Сменив обозначение пси-функции на стационарное и сгруппировав одноименные величины, из (2.7) можно получить:
(2.8)В сравнении с выражением (2.3), называемым уравнением Шредингера для стационарных состояний, здесь отсутствует (не учтена) только кинетическая энергия Е.
Если вышерассмотренным способом анализировать с самого начала выражение (2.3), то оно легко выводится из следующих логических соображений. Синусоидальная y - функция будет равна своей собственной второй пространственной производной с обратным знаком (без учета амплитудных различий), если ее умножить на квадрат отношения импульса к действию актуальному.
В действительности мы это и наблюдаем, если выражение (2.3) переписать несколько иначе:
. (2.9)Подкоренное выражение в этой формуле представляет собой квадрат импульса, а общий коэффициент при втором члене слева (при ψ) представляет собой квадрат волнового вектора k, так что в итоге мы приходим к выводу о том, что уравнение Шредингера для стационарных состояний это обычное волновое уравнение гармонических стационарных колебаний:
. (2.10)Если взять не вторую, как в выражении (2.10), а первую пространственную производную пси-функции, представленной в общем виде, и построить дифференциальное уравнение на сравнении этой производной с самой Ψ- функцией, то мы получим уравнение с известным в квантовой физике оператором проекции импульса (формула 3.61 учебника [1]):
. (2.11)