Исследование согласованного фильтра (стр. 1 из 2)
Основные теоретические положения
Из теории оптимальных методов радиоприема известно, что в условиях действия гауссовской помехи типа белого шума оптимальный приемник должен вычислять интеграл вида
где N0- односторонняя спектральная плотность шума ; Т - длительность сигнала; u(t) - принятый сигнал; s(t) - полезный сигнал;
Интеграл (1) можно рассматривать как меру взаимной корреляции принятого сигнала u(t) и полезного сигнала s(t) сигналов. Чтобы осуществить реализацию выражения (1), используют корреляционный приемник. С другой стороны, интеграл (1) можно рассматривать как свертку сигнала u(t) с импульсной характеристикой некоторого фильтра. В этом случае необходимо использовать согласованный фильтр.
Рассмотрим задачу синтеза оптимального фильтра в условиях действия аддитивной помехи.
Пусть принятый сигнал имеет вид
где s(t) - полезный сигнал известной формы со спектральной плотностью Fs(jw); n(t)стационарный случайный процесс со спектральной плотностью мощности Fn(w).
Будем отыскивать оптимальный фильтр в классе линейных фильтров. Тогда сигнал на входе фильтра с учетом принципа суперпозиции можно представить как
Найдем отношение р мощности полезного сигнала к мощности помехи на выходе фильтра в некоторый момент времени t0.
где K(jw) - комплексно-частная характеристика фильтра.
Соответственно в момент времени t0
Мощность помехи на выходе фильтра
В формулах (4) и (6) через Fs,вых(jw) и Fn,вых(w) обозначены спектральная плотность полезного сигнала и спектральная плотность мощности помехи на выходе фильтра.
С учетом (5) и (6) выражение для р в момент времени t0запишется как
Понятно, что чем больше величина р, тем выше помехоустойчивость приема. Поэтому определим фильтр, который обеспечивал бы на выходе максимальное соотношение сигнал/помеха.
Воспользуемся неравенством Буняковского - Шварца
справедливым для любых функций А(w) и В(w), для которых интегралы в (8) имеют смысл. Заметим, что неравенство (8) превращается в строгое равенство, если
где а- постоянная; В* (w) - функция, комплексно-сопряженная с функцией В(w). С учетом (8) можно записать
и, соответственно,
где Fs*(jw) - комплексно-сопряженный сигнал.
Таким образом фильтр с комплексно - частотной характеристикой, определяемой формулой (12), является наилучшим в классе линейных фильтров, а при гауссовских помехах также наилучшим образцом и в классе нелинейных фильтров.
Из выражения (12) следует, что коэффициент передачи фильтра зависит от отношения спектральной плотности сигнала к спектральной плотности мощности помехи: коэффициент передачи тем больше, чем больше это отношение. Таким образом, оптимальный фильтр избирательно пропускает те или иные частотные составляющие. Очевидно, что отношение сигнал/помеха будет тем больше, чем сильнее отличается спектр сигнала от спектра помехи.
Рассмотрим случай, когда помеха представляет собой белый шум со спектральной плотностью мощности N0/2. В этом случае комплексно - частотная характеристика оптимального фильтра
а соотношение сигнал/помеха
где Е - энергия сигнала.
Фильтр с характеристикой (13), оптимальный для помехи типа белого шума называется согласованным.
Максимальное отношение сигнал/помеха (14) на выходе такого фильтра определяется только энергией сигнала и спектральной плотностью мощности помехи и не зависит от формы сигнала. По значению это отношение совпадает с максимальным отношением сигнал/ помеха на выходе корреляционного приемника. Отсюда, в частности, следует, что в условиях действия помехи типа белого шума помехоустойчивость корреляционного приемника и согласованного фильтра одинаковы.
Рассмотрим более подробно комплексно - частотную спектральную плотность полезного сигнала в виде
где |Fs(jw)| и j(w) - амплитудный и фазовый спектр сигнала соответственно.
Тогда
С другой стороны,
где |K(jw)| - амплитудно-частотная характеристика фильтра; Y(w) - фазовая характеристика фильтра.
Сравнивая (15) и (16) находим
Из (17) следует, что амплитудно частотная характеристика согласованного фильтра с точностью до постоянной совпадает с амплитудным спектром сигнала.
Фазовая характеристика согласованного фильтра определяется двумя слагаемыми. Первое из них - j(w) равно фазовому спектру сигнала, взятому с противоположным знаком. Назначение его в том чтобы компенсировать фазовые сдвиги различных составляющих сигнала. В результате в некоторый момент времени t=t0все составляющие выходного сигнала будут совпадать по фазе и, складываясь, давать максимум выходного сигнала. Если бы фазовая характеристика фильтра не компенсировала фазовые сдвиги составляющих сигнала, то максимумы гармонических составляющих сигнала не совпадали бы во времени, а это привело бы к уменьшению выходного напряжения.
Второе слагаемое - wt0обеспечивает задержку момента совпадения фаз составляющих сигнала на величину t0. Понятно, что значение t0не может быть меньше длительности обрабатываемого сигнала.
Напряжение на выходе согласованного фильтра
Из (19) следует, что выходное напряжение определяется только амплитудным спектром сигнала и не зависит от фазового спектра. Это объясняется тем, что взаимные фазовые сдвиги составляющего сигнала скомпенсированы фазовой характеристикой фильтра.
Максимальное значение uвых(t) принимает в момент времени t=t0.. Еще раз подчеркнем, что значение t0должно быть больше или равно длительности сигнала, т.е. максимум uвых(t) достигается только после обработки всего принятого сигнала.
Рассмотрим импульсную характеристику h(t) согласованного фильтра. Учитывая, что h(t) любого фильтра связано K(jw) преобразованием Фурье, находим
Из выражения (20) следует, что импульсная характеристика согласованного фильтра является зеркальным отображением сигнала ts(t) относительно прямой t=t0/2 (рис.1).
Рисунок 1
Учитывая условие физической реализуемости фильтра h(t)=0 при t<0, обнаруживаем, что
| s(t0-t)=0 | при t<0 | (21) |
| s(t)=0 | при t>t0 |
Условие (21) показывает, что значение t0надо выбирать большим или равным длительности сигнала tc. На практике обычно для уменьшения реакции фильтра берут t0=tc.
Найдем формулу напряжения на выходе фильтра, для этого воспользуемся интегралом Дюамеля:
С учетом (20) получаем
В момент времени t=t0
Видно, что выражение (24) совпадает с выражением (1), т.е. согласованный фильтр, как и корреляционный приемник, вычисляет взаимную корреляцию принятого и полезного сигналов. Если при корреляционном приеме копия ожидаемого сигнала вырабатывается на приемной стороне с помощью специального генератора, то при согласованной фильтрации информация о сигнале заключена в комплексно-частотной характеристике.
Если перенести начало отсчета времени в точку t=t0, то из (23)
т.е. напряжение на входе согласованного фильтра в отсутствии помех совпадает с корреляционной функцией полезного сигнала.
В заключение отметим, что согласованный фильтр, в отличии от корреляционного приемника обладает свойствами инвариантности относительно момента прихода сигнала. Фильтр, согласованный с некоторым сигналом s(t), имеет импульсную характеристику, определенную выражением (20), Очевидно, что этот же фильтр будет согласованным с сигналом s(t-t1), сдвинутым по времени относительно s(t) на t1. Изменение времени прихода сигнала приводит только к смещению момента достижения выходным сигналом его максимального значения.