По окончании школы в 1920 г. поступает на физико-математический факультет Московского государственного университета. Решение стать математиком пришло не сразу. Андрей Николаевич писал: «Техника тогда воспринималась как что-то более серьезное и необходимое, чем чистая наука. Одновременно с математическим отделением университета я поступил на металлургический факультет Менделеевского института, в котором прозанимался около двух месяцев. Но скоро интерес к математике перевесил сомнения в актуальности профессии математика». Однако «первым научным докладом, который я сделал в 17-летнем возрасте в МГУ, был доклад в семинаре профессора С.В. Бахрушина о новгородском землевладении».
С МГУ, который А. Н. Колмогоров закончил в 1925 г., неразрывно связана вся его жизнь. В годы учебы Андрей Николаевич активно участвует в работе семинаров, проводимых крупнейшими русскими математиками Н. Н. Лузиным, А. К. Власовым и
В. В. Степановым, выполняет ряд математических работ, одна из которых – построение ряда Фурье, расходящегося почти всюду, принесла ему мировую известность.
Еще студентом Колмогоров начинает преподавать в средней школе. Будучи аспирантом Н. Н. Лузина, Колмогоров в сотрудничестве с А. Я. Хинчиным, впоследствии также академиком, проводит исследования в области теории вероятностей, где добивается выдающихся научных результатов.
По окончании аспирантуры А. Н. Колмогоров защищает докторскую диссертацию и становится старшим научным сотрудником Научно-исследовательского института математики и механики при МГУ и одновременно заведующим кафедрой математики в Интуте им. Карла Либкнехта. К этому времени относится и одно из важнейших событий в его жизни – начало дружбы с другим выдающимся советским математиком Павлом Сергеевичем Александровым. На закате жизни Колмогоров писал: «Для меня эти 53 года нашей тесной и неразрывной дружбы явились основой того, что вся моя жизнь в целом оказалась преисполненной счастья, а основой моего благополучия явилась непрестанная заботливость со стороны Павла Сергеевича».
Гениальный человек далеко не всегда является высоконравственной личностью. Однако в А. Н. Колмогорове естественным образом совмещались высочайший интеллект, порядочность и способность любви к ближнему. Проявлялось это в отношениях с учениками, в его многогранной общественной деятельности, на которую он не жалел ни сил, ни времени, в активном содействии реформированию математического образования в средней школе.
Огромное значение Колмогоров придавал дружбе и глубокой духовной связи между людьми. В одном из его писем изложены следующие мысли о дружбе: «...человечество всегда мне представлялось в виде множества блуждающих в тумане огоньков, которые лишь смутно чувствуют слияние, рассеиваемое всеми другими, но связаны сетью ясных огненных нитей, каждый в одном, двух, трёх...направлениях. И возникновение таких прорывов через туман к другому огоньку вполне разумно называть ЧУДОМ». И ещё: «...скажу только, что по собственному опыту знаю, что наша человеческая любовь происходит по образцу некоторого индуктивного процесса: любовь к данному «избранному» человеку, в котором действительно на каждую чёрточку его существа радуешься и в котором всякое проявление красоты человеческой воспринимаешь, порождает такую большую радость и освобождает такую большую «энергию любви», что эта радость ни во что другое не может перейти, как любовь ко всем людям и ко всему миру – пусть несовершенную, но такую, на которую данный человек способен. А этот проблеск универсальной любви даёт новый толчок к любви индивидуальной и т. д.
...если люди научатся радоваться, они сами собой научатся и любить, потому что невозможно радоваться всей душой и в то же время хоть к кому-нибудь относиться не по-человечески. А радоваться легче всего и проще всего, имея «избранного друга»...»
С июня 1930 по март 1931 г. Колмогоров находился в своей первой научной командировке в Европе, где обсуждал с крупнейшими немецкими и французскими математиками вопросы теории функций, диффузных случайных процессов, теории множеств, вероятностей и интуиционистской логики. В Геттингене, который в 30-х годах был Меккой математиков, он встречается с Д. Гильбертом, Г. Вейлем, Р. Курантом, Э. Ландау, Э. Нетер; во Франции устанавливает научные связи с М. Фреше, П. Леви, Э. Борелем и А. Лебегом.
В 1931 г. Колмогоров становится профессором МГУ, а в 1933-м назначается директором Института математики и механики при МГУ. В этой должности он работает до 1939 г. и с 1951 по 1953 год.
В середине 30-х годов А. Н. Колмогоров и П. С. Александров приобретай дом в деревне Комаровка на берегу Клязьмы (недалеко от станции Болшево), где и протекала в основном их творческая жизнь. В Москву они приезжали лишь на два-три дня в неделю для преподавания и решения административных вопросов. Дом в Комаровке всегда был полон учеников. Регулярно навещали ученых и выдающиеся зарубежные математики – Адамар, Фреше, Хопф и др.
В 1939 г. А. Н. Колмогорова избирают действительным членом АН СССР и одновременно (до 1942-го) академиком-секретарем отделения физико-математических наук.
В 1942 г. Андрей Николаевич женится на своей однокласснице Анне Дмитриевне Егоровой.
Будучи крупнейшим специалистом по проблемам турбулентности, А. Н. Колмогоров создает в 1946 г. лабораторию атмосферной турбулентности в Институте теоретической геофизики АН СССР. С 1954 по 1956 год и с 1978-го до своей кончины А. Н. Колмогоров заведовал отделением математики механико-математического факультета МГУ, а с 1954 по 1958-й был деканом этого факультета, где основал кафедру теории вероятностей. С 1980 года он заведовал кафедрой математической логики.
Колмогоров много выступал с лекциями по широчайшему кругу научных проблем. Он блистательно излагал свои мысли на бумаге, однако устную его речь, по воспоминаниям учеников, воспринимать было неимоверно трудно. В. А. Успенский писал: «...Колмогоров всегда предполагал наличие у собеседника или слушателя интеллекта, равного колмогоровскому... он считал, что весь мир населен Колмогоровыми, потому его лекции для школьников были доступны скорее старшекурсникам университета. Его лекции для аспирантов с интересом и пользой для себя слушали доктора наук, доклады для докторов наук не понимал никто, кроме самого докладчика».
В 1960 г. Андрей Николаевич создал лабораторию вероятностных и статистических методов. Задачами лаборатории были изучение и разработка вероятностно-статистических методов, их пропаганда и внедрение в научную, инженерную и медицинскую практику, педагогическая и издательская деятельность. Лаборатория походила на небольшой институт со специализированной библиотекой, помещением для ЭВМ, аудиторией. Особое внимание уделялось формированию библиотеки, книги для которой приобретались на валютные средства, пожертвованные А. Н. Колмогоровым.
В начале 1970-х годов А. Н. Колмогоров участвовал в двух экспедициях на научно-исследовательском судне «Дмитрий Менделеев». В качестве научного руководителя этих рейсов он совместно с учениками проводил исследования турбулентности океана.
В 1953 г. А. Н. Колмогоров был избран почетным членом Московского математического общества и многие годы оставался его президентом.
Колмогоров внес уникальный вклад в дело распространения математических знаний. Он был членом редколлегий многих журналов: «Математический сборник», «Доклады АН СССР», «Успехи математических наук». В 1956 г.
Андрей Николаевич основал журнал «Теория вероятностей и ее применение» и в течение десяти лет был его главным редактором.
В 1966 г. его избираюических наук. Андрей Николаевич был одним из инициаторов создания при МГУ школы-интерната, в которой сам и преподавал. Совместно с академиком И. К. Кикоиным он стоял у истоков создания физико-математического журнала «Квант» для юношества, многие годы был первым заместителем главного редактора. Делами отечественной средней школы Андрей Николаевич интересовался до последних дней своей жизни.
С середины 30-х годов А. Н. Колмогоров много сил отдавал подготовке Большой и Малой советских энциклопедий. Он возглавлял математический отдел и написал немало блестящих статей.
Колмогоров был избран членом многих академий и научных обществ, почетным профессором университетов в различных странах мира. Его заслуги были отмечены всевозможными премиями и наградами, в том числе международными премиями Бальцана, Вольфа. За цикл работ по теории случайных процессов А. Н. Колмогоров и А. Я. Хинчин были удостоены Государственной премии СССР, за труды по теории возмущений гамильтоновых систем (совместно с академиком В. И. Арнольдом) – Ленинской премии.
Двенадцать учеников крупнейшего ученого ХХ столетия А. Н. Колмогорова стали членами Академии наук СССР. Научную школу Колмогорова можно поставить в один ряд со школами великих физиков Резерфорда и Бора.
Умер Андрей Николаевич 20 октября 1987 года.