«Гравитационный парадокс» и его решение (стр. 1 из 2)

Методы учета влияния окружающей среды при расчете сил тяготения

Олег Быковский

История вопроса

Самим Ньютоном была доказана теорема о том, что сферически-симметричная оболочка (см. рис. 1) не создает сил тяготения во внутренней полости. Теорема носит имя своего создателя и известна как «Теорема Ньютона», которая по строгости и наглядности не имеет аналогов.

Рис. 1. К доказательству «Теоремы Ньютона»

Рис. 2. Обобщение «Теоремы Ньютона» на полость в пространстве

Поместим пробную массу* в произвольную точку внутри полости. Из рисунка видно, что размеры площадок S₁ и S₂, вырезаемые условными конусами в любом из взаимно противоположных направлений, пропорциональны квадратам высот этих конусов. Поскольку силы тяготения, создаваемые площадками, прямо пропорциональны их площади и обратно пропорциональны квадратам расстояний до площадок, то где бы не находилось тело внутри полости, притяжение стенок оболочки будет взаимно уравновешенным.

* Пробная масса – масса, величина и размеры которой пренебрежимо малы, аналогично понятию точки в математике.

Обратим внимание на тот факт, что сам Ньютон не распространил данную теорему на полость в бесконечном пространстве, ограничившись только доказательством отсутствия сил тяготения внутри оболочки конечных размеров. Сомнения вызывает не сама «Теорема Ньютона», а «обобщение» на полость в пространстве, которое было предложено в начале двадцатых годов нашего века.

Напомним, что Э. Милн и В. Мак-Кри выполнили обобщение, суть которого заключается в следующем. Представим сферически симметричную полость в равномерно заполненном веществом пространстве (см. рис. 2). Плотность вещества, заполняющего полость, примем равной нулю. Требуется определить, какие силы тяготения будут действовать внутри полости на произвольно расположенную пробную массу m.

Авторы предложили следующую схему рассуждений. Распределим все вещество за пределами сферически симметричной полости на бесконечную последовательность оболочек. Поскольку каждая из оболочек не создает сил тяготения внутри себя, то, следовательно, и вся последовательность оболочек также ничего не добавит и не убавит при расчете сил тяготения, действующих на пробную массу.

Отсюда, следуя рассуждениям Милна и Мак-Кри, все вещество находящееся за пределами полости (которое они представили в виде бесконечной последовательности оболочек), никак не воздействует на пробную массу, находящуюся внутри нее. На первый взгляд, все как будто логично и данное обобщение не должно вызывать возражений.

Применим иную схему рассуждений, основанную на следующих аргументах (см. рис. 3).

Рис. 3. Противоположно расположенные массы в форме:

а) сегментов, б) конусов

Отметим следующее. При смещении пробной массы относительно центра полости, скажем вправо, вещество оболочки, находящееся справа, станет ближе, а левая часть оболочки станет дальше от пробной массы. При этом некоторая часть оболочки справа и слева от пробной массы останется на равных расстояниях. Серым цветом на рис. 3а выделено вещество оболочки, сохраняющее совершенно симметричное расположение по отношению к пробной массе, т.е. каждый элемент вещества оболочки, выделенный серым цветом слева и справа от пробной массы, имеет точно такой же аналог с противоположной стороны на одинаковом расстоянии.

Следовательно, при расчете сил тяготения действующих на пробную массу действием симметрично расположенного вещества можно пренебречь, ограничившись рассмотрением влияния вещества выделенного красным цветом. На рис. 3а красным цветом выделены две противоположно расположенные области в форме сегментов.

Напомним, что асимметричность красных участков по отношению к пробной массе вызвана заданным выше условием – смещением пробной массы относительно центра оболочки. В соответствии с «Теоремой Ньютона» маленькая масса расположена близко, большая – далеко, сила тяготения внутри полости отсутствует. При этом в отличие от «Теоремы Ньютона», в которой противоположно расположенные массы выделены целиком и имеют форму усеченных конусов (рис. 3б), в данном случае выделены массы, расположенные асимметрично. Это не меняет результатов доказательства, (т.е. отсутствия сил тяготения внутри оболочки), но делает его нагляднее с учетом обстоятельств дальнейшего анализа.

Далее обратим внимание на следующее. Как бы не увеличился внешний радиус оболочки, пока он существует, смещение пробной массы от центра вызовет одновременное появление двух асимметрично расположенных масс. Одной маленькой, расположенной ближе к пробному телу, и второй – большой удаленной. Другими словами, при смещении пробной массы внутри оболочки, наличие ближней, асимметрично расположенной массы, всегда компенсируется существованием удаленной, расположенной с противоположной стороны.

Не трудно догадаться, что в случае пробной массы внутри полости в пространстве с неограниченной протяженностью ближняя асимметрия безусловно возникает, но дальней асимметрично расположенной массы нет и быть не может (см. рис. 4).

Рис. 4. Ближняя и дальняя асимметрия асимметрично расположенной массы

Таким образом, наличие удаленной асимметрии вызвано асимметричным расположением ближней массы. Отсюда, допуская отсутствие сил тяготения внутри полости при любом положении пробной массы, мы тем самым предполагаем спонтанное появление компенсирующей удаленной массы с той стороны, где это необходимо, на том расстоянии и той величины, какая требуется. Недопустимость подобных рассуждений очевидна.

Вывод: наличие силы тяготения внутри сферически-симметричной полости, находящейся в бесконечном пространстве, связано с неуравновешенным притяжением вещества, находящегося за ближней стенкой полости.

В случае принятия данного утверждения гравитационный парадокс отсутствует, поскольку расчет сил тяготения в бесконечном пространстве теряет неопределенность.

Выразим искомую силу численно.

Первое доказательство наличия неуравновешенных сил тяготения внутри сферически-симметричной полости

Определим начальные условия. Пусть задано однородное и изотропное пространство, равномерно заполненное веществом с плотностью равной ρ. Выделим в пространстве сферу радиуса R. Плотность вещества, заполняющего полость сферы, первоначально примем равной нулю. Поместим пробную массу m в центр полости (см. рис. 5а).

Рис. 5. Неуравновешенные силы тяготения внутри сферически-симметричной полости

Поскольку расположение вещества, находящегося за пределами полости, симметрично относительно центра полости, то сила тяготения, создаваемая всем веществом на пробную массу помещенную в центр полости, будет равна нулю. Внесем внутрь полости массу M, имеющую форму шара радиуса r = R/2.

Положение шара (выделен красным цветом) показано на рис. 5б. Плотность вещества, заполняющего объем малого шара, примем равной плотности вещества, окружающего сферу. Согласно закону всемирного тяготения, после помещения внутрь полости пробного тела массой m, на тело будет действовать сила тяготения F.

,

(1)

где G – гравитационная постоянная, M – масса малого шара, m – масса пробного тела, r – расстояние между центром малого шара и пробной массой.

Внесем внутрь полости еще одну массу, имеющую форму фигуры, выделенной на рис. 5в синим цветом.

Данная фигура заполняет внутренний объем полости за исключением внесенного шара и его зеркального отражения. Плотность вещества, заполняющего второе тело, также равна плотности вещества, заполняющего окружающее пространство. Отметим, что расположение вещества, заполняющего второе тело, симметрично относительно пробной массы m. Поэтому силы тяготения, создаваемые вторым телом, взаимно уравновешены.

Совместим рис. 5б и рис. 5в. Получим рис. 6а.

Рис. 6. Расположение вещества, уравновешивающего силы тяготения:

а) пробное тело расположено на краю полости, б) вещество, отмеченное серым цветом, имеет одинаковую плотность

На рис. 6б все вещество, имеющее одинаковую плотность, отмечено серым цветом. Граница вещества выделена жирной линией, а условные линии построения сохранены в виде пунктиров.

Пробное тело m расположено на краю только что построенной полости, и на него в данном случае действует сила тяготения (1), созданная малым шаром радиуса r. Сравнение построенной полости с любой другой полостью приводит к выводу, что изменение действия силы на пробную массу может быть вызвано только изменением размеров и плотности окружающего вещества.

Вывод: всякая полость, вне зависимости от природы возникновения, создает силы тяготения в соответствии с формулой (1).

В корректности проведенного доказательства можно убедиться самостоятельно, проделав аналогичные действия с любой другой полостью. Обратим внимание на тот факт, что сила тяготения внутри полости создается не самой полостью (то есть пустотой), а окружающим полость веществом, которое при наличии полости расположено асимметрично по отношению к пробной массе.

Впрочем, приведенное доказательство наличия неуравновешенных сил тяготения внутри сферически-симметричной полости не единственное. Приведем вторую схему рассуждений, которая приводит к тому же результату. Те, кого убедило изложенное, могут перейти к анализу причин ошибочного доказательства отсутствия сил тяготения внутри сферически-симметричной полости.