«Гравитационный парадокс» и его решение (стр. 2 из 2)
Второе доказательство наличия неуравновешенных сил тяготения внутри сферически-симметричной полости
На рис. 7а показаны две полости равного радиуса R, находящиеся в однородном изотропном пространстве. Плотность вещества, равномерно заполняющего пространство, примем равным ρ. Плотность вещества внутри каждой полости первоначально примем равной нулю.
Рис. 7. Две полости в однородном изотропном пространстве
Совместим начало декартовой системы координат xyz с центром пробной массы m (см. рис. 7б).
Согласно начальным условиям, расположение вещества, находящегося за пределами обоих полостей, симметрично относительно начала координат. Силы тяготения, создаваемые веществом вдоль осей координат, можно описать уравнением:
[Fx, Fy, Fz] = [–Fx, –Fy, –Fz].
Наличие неуравновешенных сил тяготения в произвольно выбранном направлении, не совпадающем с осями координат, предполагает несколько проекций одной силы, что нарушает условие симметрии. В случае зеркально-симметричного расположения двух полостей относительно пробного тела m, сила тяготения в начале координат отсутствует при любом другом положении двух полостей (см. рис. 8).
Рис. 8. Отсутствие сил тяготения при произвольном положении полостей
Единственным условием отсутствия сил тяготения является сохранение симметрии фигуры относительно осей x, y, z.
Заполним часть пространства внутри каждой фигуры таким образом, чтобы оставшаяся часть приобрела форму сферически-симметричной полости (выделена красным цветом на рис. 9).
Рис. 9. Внесение дополнительной массы
Внесение дополнительной массы, расположенной асимметрично к положению пробного тела, вызовет появление силы тяготения, которая направлена к центру масс дополнительно внесенного вещества. До внесения дополнительного вещества равнодействующая сил тяготения на пробное тело была равна нулю. Таким образом, сила тяготения, обусловленная внесением дополнительного вещества, будет единственной силой, действующей на пробную массу.
В качестве итога сформулируем общее правило нахождения сил тяготения внутри сферически-симметричной полости.
Для нахождения сил тяготения, создаваемых асимметрично расположенным веществом, необходимы две операции.
Первая: необходимо построить сферу с центром, совпадающим с положением точки, для которой мы рассчитываем силы тяготения, и радиусом, равным расстоянию до крайней точки асимметрично расположенного вещества или какой-либо другой неоднородности так, чтобы она целиком оказалась внутри сферы.
Данная операция полностью исключит необходимость рассматривать вещество, расположенное за пределами построенной сферы, ввиду принятого выше условия симметричности в расположении остального вещества относительно положения пробной массы.
Вторая операция заключается в нахождении равнодействующей сил тяготения внутри выделенной сферы, что связано с расчетом сил тяготения, создаваемых телом, имеющим конечные размеры, и сводиться к применению закона Ньютона, согласно которому искомая сила вычисляется по формуле (1).
Иллюстрацией к предложенному методу является рис. 6б.
Применение формулы (1) в тех случаях, когда пробное тело находится не на краю полости, а в произвольной точке внутри нее, связано с вычислением сил тяготения, создаваемых шаром, радиус которого равен расстоянию от центра полости до положения пробной массы (см. рис. 10а). Плотность шара принимается равной разности плотности полости и плотности окружающей среды.
Рис. 10. Тождественное расположение масс: а) симметричное, б) асимметричное
В действительности асимметрично расположенная масса имеет форму тела, выделенного красным цветом на рис. 10б. Но гораздо удобнее вычислять действие массы, имеющей форму шара (выделен на рис. 10а синим цветом), благо притяжение ими пробной массы тождественно равно. Направление действия силы во всех случаях определяется положением центра масс избыточного вещества, выделенного красным цветом.
Кроме доказательства наличия сил тяготения внутри сферически-симметричной полости приведем графическую интерпретацию независимости сил тяготения от радиуса полости в случае постоянства расстояния между пробной массой и ее центром (см. рис. 11а).
Рис. 11. Независимость сил тяготения от радиуса полости
Следует доказать, что силы тяготения не изменятся при изъятии вещества, окружающего полость в форме оболочки, подобной и подобно расположенной. Действительно, сравним величину и положение асимметрично расположенных масс до и после изъятия оболочки. Асимметрично расположенное вещество в обоих случаях показано красным цветом. Изъятое в виде оболочки вещество – синим.
Обратим внимание на следующее обстоятельство. По условию положение пробной массы относительно центра полости в обоих случаях не меняется, следовательно, толщина асимметрично расположенного вещества остается постоянной. А площадь возрастает пропорционально квадрату расстояния. Отсюда, удаление центра масс, асимметрично расположенного вещества, точно компенсируется увеличением его массы.
Правда, приведенное доказательство – просто по иному изложенная «Теорема Ньютона», но из опыта изложения автор знает, что неизменность сил тяготения от радиуса полости вызывает некоторое недоверие у части читателей, поэтому автор счел необходимым остановиться на данном факте отдельно.
Вывод из проведенного анализа следующий: применять обобщение, предложенное Э. Милном и В. Мак-Кри, не корректно, как противоречащее общим законам физики.
Данный вывод согласуется и с законами математического анализа. Согласно аксиоматике геометрии Евклида, распространение отрезка на прямую линию невозможно. Поскольку это противоречило бы аксиоме «порядка», согласно которой, при откладывании отрезка на прямой линии, прямая обязательно сохранит хотя бы одну внешнюю точку по отношению к концам отрезка. Что, конечно, противоречило бы условию отображения отрезка на всю прямую. Отсюда распространение бесконечной последовательности сферически-симметричных оболочек на все пространство невозможно.
Распространение бесконечной последовательности отрезков на прямую линию незаконно также и по причине нарушения аксиомы «счетности», поскольку любое количество отрезков может быть объединено в один отрезок, длина которого всегда может быть выражена через начальный отрезок, взятый за масштаб. Что привело бы к счетности длины прямой линии.
Некорректность данной процедуры очевидна. Указанная операция – распространение бесконечной последовательности оболочек на все пространство – также противоречила бы и свойству аффинности, согласно которому отрезок отображается только на отрезок, а прямая – на прямую. Отображение отрезка на прямую линию не аффинное по определению. Тогда как соблюдение аффинности при заполнении пространства бесконечной последовательностью оболочек обязательно, поскольку речь в данном случае идет о сохранении линейных отношений.
У читателя, не склонного к экскурсам в область математического анализа, может возникнуть вопрос: «А при какой предельно большой толщине оболочки возникают силы тяготения внутри полости?» Или по-другому: «При каком удалении края исчезает влияние формы оболочки, и оболочку можно считать полостью?»
Ответим следующим образом. Дело не в размерах, а в геометрических свойствах фигуры. Если, скажем, оболочка переходит в полость уже в пределах вашей комнаты, то силы тяготения внутри полости появляются.
Усомнившемуся читателю приведем наглядный пример. Взгляните на рис. 12а, на котором изображен цилиндр с отверстием в боковой стенке. По нашему замыслу цилиндр отождествляет бесконечное двухмерное пространство с полостью (красным цветом выделена асимметрично распложенная масса).
Рис. 12. Силы тяготения внутри полости: а) цилиндра, б) шара
Так вот, на шарик, помещенный на край полости, будет действовать сила тяготения, а если мы поместим шарик внутрь оболочки, например, футбольного мяча (см. рис. 12б), то действие сил будет отсутствовать. Причем, оба случая будут выполняться при любых размерах указанных тел.
Продемонстрировать же полость в «ограниченном» трехмерном пространстве мы можем только условно, имея в виду пример с полостями, образованными материками в веществе мантии. Данный случай подробно рассмотрен в моей книге «Проблемы современной физики» (там же – указание на возможность решения и других проблем: космологии, сейсмологии, геофизики).
Заметим, что практическое применение предложенной методики достаточно многообразно, поскольку речь идет, в конечном счете, о поправке к закону тяготения.
P.S.
Первое. Автор статьи в течение последних десяти лет имел многочисленные возможности доложить о данной возможности в среде специалистов, так или иначе занимающихся данной проблемой. Реакция сводилась к следующему. Не оспаривая основной идеи, т.е. справедливости предложенного автором доказательства – наличия сил тяготения внутри полости, выражалась мысль о якобы неактуальности темы, поскольку данной проблемы вообще не существует в случае применения математического аппарата ОТО. Это, мягко говоря, не соответствует действительности.
Второе возражение автору заключалось в следующем. Проведенный анализ – только констатация факта существования гравитационного парадокса, а не его решение.
Ответим на это следующее. При учете влияния сил тяготения, созданных окружающей средой, на силы тяготения, действующие между двумя данными массами, необходимо и достаточно учесть силы тяготения, создаваемые полостью, образованной в среде каждой из данных масс, что в совокупности с остальными законами механики Ньютона является достаточным средством для решения любой задачи, связанной с вычислением сил тяготения.
Кроме этого автор хотел бы заявить. Решение проблемы нахождения сил тяготения внутри полости полностью решает проблему, известную как «Гравитационный парадокс», переводя ее в разряд курьеза, возникшего, скорее всего, случайно, в силу необычности условий при задании бесконечного пространства. Сейчас же, после нахождения точного решения, данная проблема не может считаться «гравитационным парадоксом» в его изначально возвышенном философском смысле, теперь речь может идти только об обсуждении прикладной задачи с элементами «задачи на смекалку» и не более.