5 Еще до Кавальери метод исчисления неделимых применил Кеплер в своей «Стереометрии винных бочек». Однако, подобно античным математикам, он рассматривал этот метод лишь как технику вычисления, а не как строго научный, т.е. математический метод.
6 С помощью понятия «неделимых» Галилей пытается решить задачу «колеса Аристотеля»: при совместном качении двух концентрических кругов больший проходит то же расстояние, что и меньший. Как это возможно? «Разделяя линию на некоторые конечные и потому поддающиеся счету части, нельзя получить путем соединения этих частей линии, превышающей по длине первоначальную, не вставляя пустых пространств между ее частями; но представляя себе линию, разделенную на неконечные части, т.е. на бесконечно многие ее неделимые, мы можем мыслить ее колоссально растянутой без вставки конечных пустых пространств, а путем вставки бесконечно многих неделимых пустот» [12, с. 135].
7 Вот что говорит об этом сам Кавальери: «От меня не скрыто, что о строении континуума и о бесконечном весьма много спорят философы, выдвигая такие положения, которые находятся в разногласии с немалым числом, моих принципов. Они будут колебаться либо потому, что понятие всех линий или всех плоскостей кажется им непонятным и более темным, чем мрак Киммерийский, либо потому, что мой взгляд склоняется к строению континуума из неделимых, либо, наконец, потому, что я осмелился признать за прочнейшее основание геометрии тот факт, что одно бесконечное может быть больше другого» (цит. по: [16, c. 223]).
8 Галилей называл их иногда «невеличинами», пытаясь избежать парадоксов. «Самая возможность продолжать деление на части приводит к необходимости сложения из бесконечного множества невеличин» [12, с. 142].
9 «Утверждали иногда, – пишет по этому поводу В.П. Зубов, – что Галилей продолжил традицию Демокрита. С гораздо большим основанием можно говорить, однако, о традиции Архимеда. Ведь мы знаем, что, по Демокриту, континуум слагался из элементов того же рода (тела из мельчайших тел и т.д.), тогда как у Архимеда речь шла об элементах n-I порядка» [16, с. 215–216].
10 В «Трактате о конических сечениях, изложенных новым методом» (1655) Валлис, ссылаясь на Кавальери, рассматривает площади плоских фигур как составленные из бесконечно многих параллельных линий. При этом, как пишет А.П. Юшкевич, «бесконечно малое количество то отождествляется нулевым.., то параллелограммы бесконечно малой высоты объявляются вряд ли чем-либо иным, нежели линия...» [20, c. 25]. Валлис, таким образом воспроизводит те же принципы, что мы видели у Кавальери, и соответственно те же теоретические затруднения.
11 Как полагают некоторые историки, если бы Ньютон углубил дальше свою идею «окончательного отношения» «исчезающих приращений», он предвосхитил бы строгие методы, разработанные Коши в XIX в. [23, c. 196].
12 Интересно, что известный математик К. Маклоран, пытавшийся защитить ньютоновский метод флюксий от критики Дж. Беркли (в сочинении «Аналист», 1734 г.), в своем «Трактате о флюксиях» сближает метод Ньютона с методом исчерпывания Евклида, и Архимеда. В основе метода исчерпывания лежит сколь угодно точное приближение к искомой величине с помощью сходящихся к ней сверху и снизу последовательностей известных величин. Вот как формулирует сущность метода исчерпывания Маклоран: если две переменные величины AP и AQ, находящиеся друг к другу в неизменном отношении, одновременно приближаются к двум определенным величинам AB и AD так, что разности между ними оказываются меньшими любой заданной величины, то отношение пределов будет тем же, что и отношение переменных величин AP и AQ [25, p. 6].
13 «Я признаю, – пишет Лейбниц, – что время, протяженность, движение и непрерывность в том общем смысле, который придается им в математике, суть вещи идеальные, т.е. выражающие возможность совершенно так же, как ее выражают цифры. Гоббс даже пространство определил как phantasma existentis. Но правильнее будет сказать, что протяженность – это порядок возможных сосуществовании, подобно тому как время – порядок возможностей не определенных, но тем не менее взаимозависимых» [26, т. 1, с. 341]. Определяя непрерывность через понятие возможности, т.е. как потенциально бесконечную, Лейбниц, как и Аристотель, не составляет математический континуум из актуально сущих неделимых. Однако не так обстоит дело в физике и метафизике Лейбница, где не протяжение, а сила есть истинное определение реально сущего, т.е. субстанций. Носители сил – это «формальные атомы», названные Лейбницем так в отличие от атомов материальных: формальные атомы – монады – являются метафизическими неделимыми. «...Сила есть нечто вполне реальное также и в сотворенных субстанциях; пространство же, время и движение имеют нечто от сущности разума и являются истинными и реальными не сами по себе, а лишь поскольку они причастны к божественным атрибутам – бесконечности, вечности, созиданию или силе творимых субстанций» [26, т. 1, с. 262]. Те виды континуума, которые перечисляет здесь Лейбниц, он характеризует как имеющие нечто от «сущности разума», что, собственно, и означает «идеальность», а не реальность их, ибо разум Лейбниц трактует здесь в духе номинализма. Вот определение различия между идеальным и реальным, данное Лейбницем в письме к Ремону: «В идеальном целое предшествует частям, как арифметическая единица предшествует дробям, на которые она делится и которые можно в ней обозначать произвольно, так как части только потенциальны; но в реальном простое предшествует агрегатам, части – действительны, предшествуют целому» (цит. по: [27, c. 189–190]). Таким образом, в математике мы, по Лейбницу, имеем дело с потенциально бесконечным (возможным), иначе говоря, со становлением, а в метафизике – с актуально бесконечным, где целое представляет собой сумму бесконечного числа бытийных единиц – сверхчувственных монад. Трудности, связанные с понятием континуума, вызваны у Лейбница необходимостью согласовать эти две сферы – становление и бытие.
14 Здесь в переводе фраза несколько утяжелена, и мысль Лейбница ясна не сразу. В сущности философ утверждает, что любая часть материи не только делима до бесконечности, но и актуально разделена на бесконечное множество физических точек».
15 «Необходимо указать на источник, откуда вытекла эта идея в широкую публику и сделалась столь распространенной. Нет никакого сомнения, что таким первоисточником является открытие анализа бесконечных, и, говоря определеннее, мы можем утверждать, что Лейбниц как математик и философ ввел в общественное сознание идею непрерывности; мы можем даже сказать, что система Лейбница есть почти вся целиком коррелят его работ по анализу, гениальная транспонировка самим изобретателем математических данных на философский язык» [28, с. 160].
16 «...Не существует части вещества, в которой бы не было бесконечного множества органических и живых тел... Однако отсюда еще не следует, что всякая часть вещества одушевлена, точно так же как мы не говорим, что пруд, полный рыбы, одушевлен, хотя рыбы – одушевленные существа» [29, с. 240].
17 Вот что писал Лейбниц по поводу теории всемирного тяготения Ньютона: «...Я не желал бы, чтобы в естественном ходе природы прибегали к чудесам и допускали абсолютно необъяснимые силы и действия. В противном случае мы дадим во имя всемогущества Божия слишком много воли плохим философам, и раз мы допустим эти центростремительные силы или эти действующие издалека непосредственные притяжения, не будучи однако в состоянии сделать их понятными, то я уже не вижу, что помешает нашим школьным философам утверждать, что все совершается просто в силу способностей и поддерживать свои образы сущностей (species intentionales), которые будто бы исходят от предметов к нам и находят средство проникать до самой нашей души» [29, с. 208].
18 Как видим, Кант именует трансцендентальной не только созданную им впоследствии критическую философию.
19 Кант с самого начала оговаривает, что под метафизикой он здесь подразумевает учение о физических монадах, но не о монадах метафизических, которые составляют, согласно Лейбницу, последний фундамент бытия и должны объяснять природу также и физических монад. «Так как я намерен здесь рассуждать только о том классе простых субстанций, которые суть первичные части тел, то заранее заявляю, что в последующем изложении я буду пользоваться терминами простые субстанции, монады, элементы материи, первичные части тела как синонимами» [31, т. 1, с. 319].
20 Характерно, что победитель конкурса, швейцарский математик С. Люилье представил работу под девизом: «Бесконечность – пучина, в которой тонут наши мысли» [13, c. 175].
Список литературы
1. Кантор Г. Основы общего учения о многообразиях // Новые идеи в математике. СПб, 1914. Вып. 6.
2. Вейль Г. О философии математики. М.; Л.: ??, 1934.
3. Уитроу Дж. Естественная философия времени. М.: ??, 1964.
4. Степин В.С. Теоретическое знание. М.: Наука, 2000.
5. Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса. М.: ??, 1986.
6. Аристотель. Собр. соч. Т. ?? Физика. М.: Наука, ??
7. Peirce C.S. Collected Papers. Cambridge, Mass., 1934. 5??.
8. Russell B. The Principles of the Mathematics. London, 1937.
9. Wieland W. Die aristotilische Phisik. Untersuchnungen uber die Grundlegung der Naturwissenschaft und die sprachlichen Bedingungen der Prinzipienforschung bei Aristoteles. Gottingen, 1962.
10. Евклид. Начала. Kн. I–VI.
11. Башмакова И.Г. Лекции по истории математики в древней Греции // Историко-математические исследования. ?? XI. М., 1958.
12. Галилей Г. Избранные труды. В 2-х т. Т. 2. М., 1964.
13. Клайн М. Математика. Утрата определенности. М., 1984.
14. Lasswitz K. Geschichte der Atomistik. ?? I. 1890.
15. Кавальери Б. Геометрия, изложенная новым способом при помощи неделимых непрерывного. М.; Л., 1940.