Посмотрим теперь, как в этой новой системе решается вопрос о природе континуума, столь волновавший Канта в докритический период. В «Критике чистого разума» этому вопросу уделяется тоже большое внимание, но способ его рассмотрения существенно меняется. Подлинным бытием, как теперь полагает Кант, обладают лишь вещи в себе, которые суть простые, неделимые единства, лишенные протяжения. От Лейбницевых монад эти единства однако отличаются тем, что, во-первых, они непознаваемы, а, во-вторых, из них недопустимо «составлять» материальные тела, т.е. рассматривать сложное как «агрегат» простого. Что же касается мира явлений, протяженного в пространстве и длящегося во времени, то он непрерывен, т.е. бесконечно делим. Именно жесткое различение вещей в себе и явлении является основой кантовского решения проблемы континуума: непрерывность пространственно-временного, природного мира не противоречит «дискретности» мира сверхприродного. В «Метафизических началах естествознания» (1786) Кант пишет: «Сколь далеко... простирается математическая делимость пространства, наполненного той или иной материей, столь же далеко простирается и возможное физическое деление субстанции, его наполняющей. Но математическая делимость бесконечна, следовательно, и физическая, т.е. всякая материя до бесконечности делима, и притом на части, из которых каждая в свою очередь есть материальная субстанция» [31, 6, с. 103]. Последнее замечание имеет целью подчеркнуть, что в материи нет «последних неделимых» элементов, нет лейбницевых «физических монад», бесконечное множество которых составляет как бы «бытийный» фундамент непрерывности феноменального мира (назовем его условно «становлением»). По Канту, всякая часть материи, как и пространства, делима до бесконечности. Здесь Кант в понимании континуума возвращается к Аристотелю и следовавшему за ним Декарту, хотя чисто философское обоснование такой трактовки непрерывности у Канта иное, чем у этих его предшественников.
Перед Кантом стояла альтернатива. Если принять материю за субстанцию, и притом не тождественную пространству (с пространством материю отождествлял Декарт), то тезис о бесконечной делимости материи требовал бы допустить, что она состоит из актуально бесконечного множества «последних единиц» – путь, которым пошел Лейбниц, отвергнув физический атомизм во имя принципа бесконечной делимости, но положив в основу природы атомизм метафизический – «монадизм». Но если считать, как Аристотель, что материя – это лишь возможность, потенциальность, то нет надобности в самой материи искать актуально бесконечного множества далее не делимых «элементов» в качестве условия ее бесконечной делимости. Кант пришел к выводу, что материя есть только явление и благодаря этому возвратился к принципу непрерывности в его аристотелевско-евдоксовом варианте. «О явлениях, деление которых можно продолжить до бесконечности, можно лишь сказать, что частей явления столько, сколько их будет дано нами, пока мы будем в состоянии продолжать деление. Ведь части, как относящиеся к существованию явлений, существуют лишь в мыслях, т.е. в самом делении» [31, 6, с. 103]. Иначе говоря, если материя не есть вещь в себе, то нет надобности допускать, как это делал Лейбниц, актуальную бесконечность «частей» для обоснования потенциальной бесконечности, т.е. бесконечной делимости пространства, времени и материи. Таким образом, именно феноменалистское истолкование материи позволяет Канту справиться с парадоксами континуума.
Интересно отметить, что возвращение к потенциальной бесконечности при обосновании дифференциального исчисления происходит и в математике второй половины XVIII в., хотя полностью элиминировать понятие актуально бесконечно малого и создать теорию пределов, опирающуюся на методологические принципы метода исчерпывания древних, удалось лишь позднее, усилиями К.Ф. Гаусса, О. Коши и особенно К. Вейерштрасса. Противоречивость понятия бесконечно малого, как мы уже отмечали, была очевидна с самого появления этого понятия; не случайно Ньютон создавал теорию «первых и последних отношений», стремясь избежать употребления «бесконечно малых». Это стремление еще более усилилось после критики инфинитезимального исчисления, осуществленной Дж. Беркли. Не удивительно, что Даламбер в своих статьях «Дифференциал» (1754), «Флюксия» (1756), «Бесконечно малое» (1759) и «Предел» (1765), помещенных в знаменитой «Энциклопедии, или Словаре наук, искусств и ремесел», в качестве обоснования анализа предложил теорию пределов. При этом он опирался на Ньютонов принцип «первых и последних отношений». Дальнейшие шаги в этом направлении предпринял Лагранж. В 1784 г. по инициативе Лагранжа Берлинская Академия наук назначила приз за лучшее решение проблемы бесконечного в математике. Объявление об условиях конкурса гласило:
«Всеобщим уважением и почетным титулом образцовой "точной науки" математика обязана ясности своих принципов, строгости своих доказательств и точности своих теорем. Для обеспечения непрестанного обновления столь ценных преимуществ этой изящной области знания необходима ясная и точная теория того, что называется в математике бесконечностью. Хорошо известно, что современная геометрия (математика) систематически использует бесконечно большие и бесконечно малые величины. Однако геометры античности и даже древние аналитики всячески стремились избегать всего, что приближается к бесконечности, а некоторые знаменитые аналитики современности усматривают противоречивость в самом термине "бесконечная величина". Учитывая сказанное, Академия желает получить объяснение, каким образом столь многие правильные теоремы были выведены из противоречивого предположения, вместе с формулировкой точного, ясного.., истинно математического принципа, который был бы пригоден для замены принципа "бесконечного" и в то же время не делал бы проводимые на его основе исследования чрезмерно сложными или длинными» (цит. по: [13, с. 175])20.
Однако, как мы уже говорили, строгое решение поставленной Берлинской Академией задачи было найдено только в XIX в. Решающую роль здесь сыграли работы французского математика О. Коши. Метод, им предложенный, исключает обращение к актуально бесконечному. Вот как определяет Коши вводимое им понятие предела: «Если значения, последовательно приписываемые одной и той же переменной, неограниченно (indefiniment) приближаются к фиксированному значению таким образом, чтобы в конце концов отличаться от него сколь угодно мало, то последнее называют пределом всех остальных» [32, с. 19]. Бесконечно малая определяется здесь как переменная, последовательные значения которой становятся меньше любого данного положительного числа. Метод Коши оказался по своим теоретическим предпосылкам сходен с античным методом исчерпывания.
Философия Канта, с одной стороны, и созданная в XIX в. теория пределов, с другой, привели к тому, что понятие континуума, близкое к его античной трактовке, т.е. исключающее принцип актуальной бесконечности, на некоторое время получило преобладающее влияние в науке. Однако не все математики и философы были удовлетворены таким решением проблемы. В конце XIX в. вместе с созданием теории множеств Георга Кантора полемика вокруг понятия континуума вспыхнула с новой силой. И сегодня это понятие по-прежнему вызывает споры среди математиков, естествоиспытателей и философов.
Примечания
1 «Случайность подталкивает то, что осталось от системы, на новый путь развития, а после выбора пути вновь в силу вступает детерминизм, и так до следующей бифуркации» [5, c. 28–29].
2 Классическая физика, правда, в отличие от Архимеда, не исключает время полностью, но делает его обратимым и тем самым несущественным.
3 Американский философ Чарлз Пирс, убежденный в том, что апория «Стрела» затрагивает очень серьезные вопросы, связанные с природой движения, представил эту апорию в виде силлогизма. Большая посылка его гласит: «Никакое тело, не занимающее места больше, чем оно само, не движется». Меньшая посылка: «Никакое тело не занимает места больше, чем оно само». Вывод: «Следовательно, ни одно тело не движется». По мнению Пирса, ошибка Зенона кроется в меньшей посылке: в кратчайшее время движущееся тело занимает место, которое больше его самого на бесконечно малую величину. Из апории Зенона (как полагал Пирс, можно сделать лишь вывод, что вне времени тело не проходит никакого расстояния. В известном смысле Пирс воспроизвел ту критику Зенона, которую, как мы ниже увидим, задолго до него предпринял Аристотель, правда, на языке современной физики: Аристотель не мог оперировать понятием сколь угодно малой величины (см. [7, 5, р. 334]).
4 Интересно отметить, что наш современник Бертран Рассел согласен с древним философом в том, что движение можно составить из суммы неподвижностей. «Вейерштрасс, строго запретив все бесконечно малые, – пишет Рассел, имея в виду предложенную Вейерштрассом арифметизацию дифференциального исчисления, – показал в конечном счете, что мы живем в неизменном мире и что стрела в каждый момент своего полета фактически покоится. Единственным пунктом, в котором Зенон, вероятно, ошибался, был его вывод (если он действительно его сделал) о том, что, поскольку не существует никаких изменений, мир все время должен находиться в одном и том же состоянии как в одно время, так и в другое» [8, р. 347]. Рассел как логик, видимо, тяготеет больше к началу бытия, чем становления, поэтому ему созвучны некоторые мотивы элеатов. Однако, не будучи здесь все же столь последовательным, как Зенон, английский философ не может принять позицию, отрицающую всякую реальность становления, а значит, и реальность времени, поскольку время и есть условие возможности становления как такового. А ведь для Зенона признать наличие «одного и другого времени» уже означало бы впустить «бациллу» становления в вечное, неподвижное, неизменное, единое бытие!