Восстановление эталона циклических сигналов на основе использования хаусдорфовой метрики в фазовом пространстве координат (стр. 3 из 3)

Назовем опорным циклом подмножество

векторов , которое имеет минимальное суммарное расстояние (8) с остальными подмножествами

, (9)

и будем оценивать эталон (средний цикл) путем усреднения точек различных траекторий, расположенных в окрестности точек

опорного цикла.

С этой целью проведем селекцию траекторий, подлежащих усреднению, определив

подмножество

тех траекторий, хаусдорфово расстояние которых до опорной меньше заданной величины , т.е. . Для улучшения оценки представим опорный цикл и остальные циклы последовательностью расширенных векторов , которые, помимо нормированных фазовых координат , содержат дополнительную компоненту . Величина вычисляется в каждой -й точке -й траектории по формуле

,

где

- номер первой точки -й траектории, состоящей из точек.

Введение дополнительной компоненты

позволяет при усреднении точек оценивать их близость не только с точки зрения значений фазовых координат , но и с точки зрения синхронности во времени. Для этого предлагается определять евклидово расстояние между расширенными векторами опорной траектории и расширенными векторами остальных траекторий , а для оценки последовательности точек среднего цикла воспользоваться соотношением

, (10)

где

- точка, лежащая на -той траектории (не являющейся опорной), которая находится на минимальном евклидовом расстоянии от точки опорной траектории :

.

Последовательность векторов

, вычисленная согласно (10), дает оценку ненаблюдаемого эталона в фазовом пространстве, а соответствующая последовательность - оценку эталонного цикла во временной области (рис. 2).

Рис.2. Иллюстрация к алгоритму оценки эталона (на примере ЭКГ) фазовые траектории (а); фрагменты траекторий (б); эталонный цикл (в)

Модельный пример. Пусть эталон

имеет форму равнобедренного треугольника (рис. 3 а), заданного двумя фрагментами в виде линейных функций

. (11)

Предположим, что мы наблюдаем два цикла сигнала, порожденного в соответствии с моделью (6) по эталону (11), причем на 1-м цикле параметры растяжения по времени приняли значения

и , а на 2-м цикле - и . В результате наблюдаемый сигнал будет описывать функция

, (12)

график которой показан на рис. 3 б).

Совместим наблюдаемые циклы на интервале

(рис. 3 в) и усредним их во временной области. Легко видеть, что при этом будет получена оценка (рис 3 г)

которая по форме не соответствует эталону (рис 3 а). В то же время, усреднение этих же циклов в фазовом пространстве координат (рис. 3 д) с последующим переходом во временную область (рис. 3 е) позволяет точно восстановить эталон (11).

Рис.3. Иллюстрация к модельному примеру

эталон (а); наблюдаемый сигнал (б); совмещенные во времени циклы (в); оценка эталона при усреднении во временной области (г); фазовая траектория (д); оценка эталона при усреднении в фазовом пространстве (е)

Практические результаты. Предложенный метод оценки эталонного цикла нашел практическое применение при разработке новых компьютерных систем обработки ЭКГ в фазовом пространстве [12-14]. Медицинские испытания систем проводились Украинском НИИ кардиологии имени Н.Д. Стражеско.

При испытаниях был установлен ряд новых диагностических признаков ЭКГ в фазовом пространстве, которые позволили диагностировать больных ревматоидным артритом даже в тех случаях, когда их ЭКГ признавались неизмененными при традиционном анализе во временной области [12]. Предложенный метод позволяет выявить тонкие изменения морфологии циклов ЭКГ и тем самым повысить чувствительность и специфичность диагностики при массовых донозологических обследованиях населения. Он может быть использован для оценки функционального состояние операторов, работающих в условиях повышенного риска (водители транспортных средств, авиадиспетчеры, пилоты и т.п.) [13], а также для изучения влияния параметров внешней среды на ЭКГ здорового человека [14].

Выводы. Предложена стохастическая модель (6) процесса порождения циклических сигналов, которая является прямым обобщением известных в математике моделей периодической и почти периодической функций. Показано, что эта модель легко может быть обобщена на случай порождения циклических сигналов с изменяющейся морфологией отдельных циклов.

Несмотря на то, что предложенная модель основана на линейных операциях, которым подвергаются фрагменты эталона (1), эта модель описывает неравномерные во времени искажения отдельных циклов наблюдаемого сигнала, что характерно для многих реальных циклических сигналов, в частности ЭКГ.

Показано, что можно получить приемлемую оценку ненаблюдаемого эталона по реализации циклического сигнала на основе конструктивного алгоритма усреднения траекторий отдельных циклов в фазовом пространстве координат с использованием хаусдорфовой метрики.

Использование предложенного метода в компьютерных системах обработки ЭКГ позволило повысить чувствительность и специфичность ЭКГ диагностики.

Списоклитературы

Kanjilal P. P., Bhattacharya J., Saha G. Robust method for periodicity detection and characterisation of irregular cyclical series in terms of embedded periodic components // Phys. Rev.- 1999.- Vol. 59.- P. 4013–4025.

Whittaker E. T., Watson, G. N. Quasi-Periodic Functions // A Course in Modern Analysis. – Cambridge (England): Cambridge University Press, 1990 - P. 445-447.

Беркутов А.М., Гуржин С.Г., Дунаев А.А., Прошин Е.М. Повышение эффективности регистрации формы электрокардиосигнала корреляционной обработкой в цифровой осциллографии // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника. - 2002, № 7.- С. 4-13.

Валужис А.К., Рашимас А.П. Статистический алгоритм структурного анализа электрокардиосигнала. – Кибернетика. - 1979, № 3.- С. 91-95.

Амосов Н.М., Агапов Б.Т., Паничкин Ю.В. Исследование сократительной функции миокарда методом фазовых координат // Докалады АН СССР.- 1972, т. 202.- № 1.- С. 245-247.

Фрумин Л.Л., Штарк М.Б. О фазовом портрете электрокардиограммы // Автометрия. – 1993, № 2.- С. 51-54.

Fainzilberg L.S. Potapova T.P. Computer Analysis and Recognition of Cognitive Phase Space Electro-Сardio Graphic Image // Proc. of 6 th Internnational Conf. On Computer analysis of Images and Patterns (CAIP'95).- Prague (Czech Republic).- 1995. - P. 668-673.

Fainzilberg L.S. Heart Functional State Diagnostic Using Pattern Recognition of Phase Space ECG-Images.- Proceeding of The 6th European Congress on Intelligent Techniques and Soft Computing (EUFIT ’98, Aachen, Germany, September 7 - 10, 1998).- Nr: B-27, Vol. 3.- P. 1878-1882.

Лапа В.Г. Математические основы кибернетики. - К.: Вища школа, 1974.- 452 с.

Мурашко В.В., Струтинский А.В. Электрокардиография.- М.: Медицина, 1991.- 288 с.

Скворцов В.А. Примеры метрических пространств. - М.: МЦНМО, 2002.- 24 с.

Файнзильберг Л.С., Клубова А.Ф., Стаднюк Л.А., Чайковский И.А., Лерхе Дитмар. Новый метод анализа ЭКГ больных ревматоидным артритом // Український ревматологічний журнал, 2001, № 2, с.48-51.

Файнзильберг Л.С. Информационная технология для диагностики функционального состояния оператора // УСИМ. - 1998, - № 4. - С. 40-45.

Вишневский В.В., Рагульская М.В., Файнзильберг Л.С. Влияние солнечной активности на морфологические параметры ЭКГ сердца здорового человека // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника, 2003, № 3. - C. 3-12.