Восстановление эталона циклических сигналов на основе использования хаусдорфовой метрики в фазовом пространстве координат (стр. 2 из 3)

где

. (7)

Предложенная модель, которая описывает неравномерные по времени искажения эталона

, более пригодна для описания реальных циклических сигналов, в частности ЭКГ, нежели ее упрощенный вариант

,

полученный в предположении, что фигурирующий в (7) случайный параметр

зависит только от номера цикла, но не зависит от номера фрагмента.

Нетрудно показать, что стохастическая модель (6),(7) является прямым обобщением известных моделей строго периодического и почти периодического процессов. Действительно, положив в (7)

, модель (6) можно представить в виде соотношения

,

которое описывает почти периодический процесс [9], а при дополнительном условии

, сводится к модели строго периодической функции .

Предложенная модель легко может быть обобщена для описания процесса порождения более сложных циклических сигналов, в частности, ЭКГ с изменяющейся морфологией отдельных циклов (экстрасистолами) [10]. Для этого достаточно ввести в рассмотрение не один, а

эталонов , и предположить, что каждый -й цикл порождается путем аналогичных искажений одного из этих эталонов, выбираемых случайным образом в соответствии с вероятностями .

Генератор циклических последовательностей. Рассмотрим достаточно простой алгоритм генерации дискретных циклических последовательностей по эталонам. Пусть каждый из

эталонов , ( ) представлен конечным числом дискретных значений , зафиксированных с постоянным шагом квантования по времени. Зададим общее число фрагментов каждого эталона и номера точек , которые определяют границы -го и -го фрагмента -го эталона.

При таких исходных данных процедура генерации циклической последовательности сводится к следующим шагам.

Шаг 1. Задаем общее число

циклов генерируемой последовательности.

Шаг 2. Определяем число

циклов, порождаемых -м эталоном, по формуле , где здесь и далее -операция округления до целого числа .

Шаг 3. Выбираем номер

эталона, порождающего -й цикл ( ), по значению реализации целочисленной случайной величины , распределенной на интервале [1,G] т.е. = .

Шаг 4. Если

, то повторяем шаг 3.

Шаг 5. Определяем число точек

-го фрагмента -го цикла по формуле

,

где

- реализация случайной величины , которая с нулевым математическим ожиданием распределена на интервале .

Шаг 6. По дискретным значениям

-го фрагмента -го эталона в узлах любым из методов интерполяции вычисляем значения генерируемой последовательности в точках.

Шаг 7. Модифицируем каждое вычисленное значение

на основе мультипликативной процедуры , где - реализация случайной величины , которая с нулевым математическим ожиданием распределена на интервале .

Шаг 8. Если

, то возвращаемся к шагу 5.

Шаг 9. Присваиваем

.

Шаг 10. Если

, то возвращаемся к шагу 3.

Результаты моделирования подтверждают эффективность рассмотренного алгоритма для имитации реальных циклических сигналов (рис. 1).

Рис. 1. ЭКГ- сигнал, порожденный моделью (6): по одному эталону (а); по двум эталонам (б)

Метод оценки эталона по искаженной реализации. Пусть циклический сигнал (6) представлен последовательностью

дискретных значений, наблюдаемых в течение циклов. Предположим, что для каждого -го значения имеется оценка производной . Выполнив нормировку

,

сформируем множество

точек, принадлежащих траектории наблюдаемого сигнала в двумерном нормированном фазовом пространстве .

Пусть нам известны номера точек

, соответствующие началам

каждого

-го цикла ( алгоритм определения номеров в данной статье не рассматривается). Тогда множество можно разбить на подмножеств нормированных векторов , концы которых лежат на фазовых траекториях отдельных циклов.

Будем оценивать расстояние между любыми двумя подмножествами

и , хаусдорфовой метрикой [11]

, (8)

где

- евклидово расстояние между точками и .