Хаос, необратимость времени и брюссельская интерпретация квантовой механики (стр. 6 из 8)

Как и в квантовой механике, мы можем рассмотреть задачу на собственные значения:

При этом, поскольку L – эрмитов оператор, его собственные значения l_n действительны. Кроме того, из функций |j_n > можно составить полную ортонормированную систему, по которой раскладывается любая функция распределения:

.

Эволюция же распределения во времени определяется соотношением

r(t)=U(t)r(0)=e^–iLtr(0).

Как и в квантовой механике, U(t) – унитарный оператор, и поэтому

.

Таким образом, распределение вероятности разлагается в сумму независимо развивающихся во времени мод, каждая из которых входит с весом c_n, постоянным во времени. Поскольку собственные значения вещественны, каждая мода "вращается" в фазовом пространстве. Единственное отличие от квантовой механики состоит в том, что в данном случае каждая мода вносит свой вклад непосредственно в вероятность r, а не в амплитуду вероятности y, как в квантовой механике.

Проблема состоит в том, что решение уравнения Лиувилля для матрицы плотности в гильбертовом пространстве не описывает приближения к равновесию [1, с.166].

Мы сталкиваемся здесь с основной трудностью теории необратимых процессов. Вращение по фазе сохраняет симметрию во времени. Чтобы получить нарушение симметрии во времени, было бы необходимо иметь комплексные собственные значения l_n = l_n' + il_n'', тогда exp(–il_nt)=exp(–il_n't)exp(–l_n''t), и второй множитель порождает экспоненциальное затухание. Но это невозможно, поскольку мы имеем дело с эрмитовым оператором и используем формализм гильбертова пространства.

Одна из возможностей, к принятию которой склоняются многие авторы, состоит в утверждении, что поскольку уравнение Лиувилля обратимо во времени, необратимость возникает в результате грубой зернистости, то есть приближённого описания. Но на микроскопическом уровне мы снова возвращаемся к парадоксу времени. Решить его можно только двумя способами: выбрать в качестве исходных новые уравнения движения, с самого начала содержащие необратимость, или отказаться от гильбертова пространства. Концепция Пригожина реализует вторую возможность.

Для интегрируемых классических систем решение задачи на собственные значения оператора L приводит к траекториям. В квантовой теории ансамблей ситуация аналогична. Если задача на собственные значения для гамильтониана H решена, то мы можем решить её и для L и представить решение в терминах волновых функций. Для квантовых систем с дискретным спектром никаких трудностей при этом не возникает, но при переходе к большим системам Пуанкаре (с непрерывным спектром и непрерывными множествами резонансов) не существует уже конструктивного метода решения задачи ни для H, ни для L [1, с.164].

Отличие статистического описания, даваемого школой Пригожина, от классического эйнштейновско-гиббсовского именно в том, что оно несводимо. Оно неприменимо к отдельной траектории. Это утверждение представляет собой строгий математический результат, полученный в результате применения к анализу хаоса методов современного функционального анализа. Кроме того, в таком необратимом вероятностном описании прошлое и будущее играют различные роли. Хаос приводит к включению стрелы времени в фундаментальное динамическое описание.

Легко показать, что хаос, определяемый как обычно, приводит к несводимому вероятностному описанию. Пригожин обращает это утверждение и выдвигает новое определение: все системы, допускающие несводимое вероятностное описание, по определению считаются хаотическими [1, с.9].

3. БРЮССЕЛЬСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

Э.Шрёдингер

3.1 Альтернативные интерпретации квантовой механики

Вероятно, квантовая механика – одна из немногих, если не единственная работающая физическая теория, по поводу интерпретации которой на фундаментальном уровне до сих пор ведутся содержательные споры. Данная работа посвящена краткому изложению позиции и следствий только одной из интерпретаций, однако автору кажется невозможным при этом не упомянуть самые распространённые альтернативные интерпретации. (Более подробно – см.[2]).

Наиболее известны следующие подходы к квантовой механике:

– копенгагенская интерпретация;

– статистическая интерпретация;

– "неоклассические" интерпретации со скрытыми параметрами;

– многомировая интерпретация;

– брюссельская интерпретация, развиваемая школой Пригожина.

Остановимся вкратце на каждой из этих интерпретаций.

а) Копенгагенская интерпретация является наиболее распространённой, но в то же время представляет (в силу исторических причин) собой скорее конгломерат различных подходов, нежели монолитную концепцию. Двумя важнейшими принципами являются общефилософский принцип дополнительности Бора и постулат редукции волнового пакета.

Принцип дополнительности первоначально возник как истолкование соотношения неопределённостей Гейзенберга. В дальнейшем Бор развил этот принцип как общенаучный и призывал к его применению в биологии, психологии и гуманитарных науках. Содержание его примерно таково: никакая классически непротиворечивая система понятий не может описать реальность, всегда существуют различные, взаимоисключающие и взаимодополняющие подходы, каждый из которых отрицает другой. Только совместное рассмотрение этих описаний может дать нам полную картину происходящих в мире событий.

Постулат редукции волнового пакета описывает процесс наблюдения квантовой системы внешним наблюдателем и утверждает, что в таком процессе происходит переход волновой функции квантового объекта в одно из собственных состояний – то есть система переходит из смешанного состояния в чистое, и переход этот необратим. Собственно, в копенгагенской интерпретации этот постулат и является тем "примечанием", вносящем необратимость времени (см. раздел 2.1) в теорию. С постулатом редукции волнового пакета связано много дискуссий и парадоксов. Копенгагенская интерпретация квантовой механики неоднократно подвергалась критике за необходимость присутствия в ней наряду с квантовыми объектами сугубо классического внешнего наблюдателя.

б) Статистическая интерпретация, или интерпретация статистических ансамблей, основана на предположении, что волновая функция квантовой системы описывает не индивидуальный объект, а ансамбль одинаковым образом приготовленных объектов. При этом признаётся фундаментальный характер вероятностных предсказаний в квантовой механике, и в этом смысле квантовомеханическое описание реальности считается полным. Вероятности того или иного результата естественным образом даётся относительно-частотное толкование. С точки зрения статистической интерпретации квантовая механика вообще не описывает индивидуальные квантовые объекты.

Нужно заметить, что в рамках статистической интерпретации вводится постулат о том, что в процессе измерения макроприбор выделяет из статистического ансамбля некоторый подансамбль, соответствующий данному результату измерения. Этот постулат фактически занимает место постулата редукции в копенгагенской интерпретации.

в)Неоклассические интерпретации квантовой механики исходят из того, что квантовомеханическое описание в действительности не является полным. Следовательно, должна существовать более общая теория, обеспечивающая наличие детерминизма классического образца. По отношению к такой теории квантовая механика была бы некоторым статистическим приближением. Наиболее распространены неоклассические теории со скрытыми параметрами. В них предполагается, что волновая функция ½y> не полностью определяет состояние системы. Наряду с ней существуют скрытые параметры x, такие, что их точное знание могло бы дать возможность предсказания результатов измерения любой физической величины. При этом сами параметры являются статистически распределёнными по некоторому закону, и мы не можем на практике точно определить значение x . Поэтому сохраняются все следствия квантовой механики, в том числе невозможность одновременного точного измерения некоммутирующих величин. Принципиальным в такой неоклассической интерпретации является факт, что существует описание состояния системы (½y>, x), позволяющее избежать недетерминированности в предсказании результатов измерений.

Вопрос об обратимости времени в интерпретации со скрытыми параметрами не является ключевым, и остаётся столь же открытым, сколь и в копенгагенской интерпретации (особенно если из последней "удалось бы изъять" принцип редукции волновой функции).

г) Многомировая интерпретация квантовой механики (концепция Эверетта) исходит из принципа реальности волновой функции. При этом постулируется, что существует такая функция сразу для всей Вселенной, и нет необходимости в мистическом "внешнем наблюдателе", отвечающем, например, за квантовые эффекты в момент её рождения. В многомировой интерпретации место постулата редукции волнового пакета занимает понятие "ветвления волновой функции Вселенной", которое можно толковать либо образно – как появление "параллельных квантовых миров", либо чисто математически, как процедуру дефакторизации волновой функции наблюдаемого объекта [2, с.29]. При этом возникают свои математические тонкости, связанные с предпочтительным выбором базиса собственных состояний для каждого объекта во Вселенной, исключающего "лишние" ветвления для ненаблюдающихся в конкретном эксперименте объектов (своебразное применение хорошо известной "бритвы Оккама").