Об одном кулисно-рычажном механизме (стр. 1 из 2)

Смоляков Андрей Анатольевич, старший научный сотрудник РФЯЦ-ВНИИЭФ .

Уповалов Вячеслав Владимирович, научный сотрудник РФЯЦ-ВНИИЭФ .

Предлагается к рассмотрению кулисно-рычажный механизм, в котором осуществляется преобразование вращательного движения кулачка в качание кулисы. Механизм может быть реализован двумя способами, как показано на рис. 1 и 2. Устройство состоит из кулачка, вращающегося вокруг постоянной оси, и кулисы с двумя направляющими. Кулиса, с жестко заделанными направляющими, качается вдоль своей оси качания, перпендикулярной оси вращения кулачка. В каждый момент времени кулачок касается обеих направляющих (каждой в одной точке) за счет выбора формы кулачка (в первом варианте) или направляющих (во втором варианте). В первом варианте (см. рис. 1) направляющие имеют форму цилиндров, а во втором варианте (см. рис. 2) кулачок выполнен в форме цилиндра.

Рис. 1.

Для нахождения функции, описывающей форму кулачка для первого варианта, необходимо решить дифференциальное уравнение (1.1). (1.1)при , где - максимальный угол отклонения кулисного механизма с направляющими вокруг оси качания кулисы;l - расстояние между осями направляющих кулисного механизма;r - радиус направляющей:H - радиус качания кулисы (перпендикуляр от центра оси качания кулисы к отрезку, соединяющему центры направляющих);L - радиус вращения кулачка (между центром кулачка и центром оси вращения кулачка).

Оси x и y лежат в плоскости определяющей кулачка и направлены соответственно вдоль максимального и минимального диаметров.

Уравнение (1.1) имеет вид дифференциального уравнения Клеро. Как известно, дифференциальное уравнение Клеро

/1/ имеет особый интеграл (в параметрической форме) и , причем . Правая часть дифференциального уравнения (1.1) - это . После подстановки имеем параметрическое решение уравнения (1.1) в виде:

Для нахождения функции, описывающей форму направляющих для второго варианта (рис. 2), необходимо решить систему из 3-х уравнений (2.1), (2.2) и (2.3), приведенных ниже. Уравнение (2.1) определяет, что каждая точка направляющей лежит на окружности - кулачке. Дифференциальное уравнение (2.2) определяет, что в точках соприкосновения кулачка и направляющих совпадают производные, т.е. происходит касание. Уравнение (2.3) (следует из ) определяет, что конструкция жестко связана. (2.1) (2.2) (2.3)

Рис. 2.

при очевидных граничных условиях

и , где

- максимальный угол отклонения кулисного механизма с направляющими вокруг оси качания кулисы;

- угол отклонения кулисного механизма с направляющими вокруг оси качания кулисы;

- угол поворота кулачка вокруг оси собственного вращения при отклонении кулисы на угол ;

l - расстояние между осями направляющих кулисного механизма;

R - радиус кулачка;

H - радиус качания кулисы (перпендикуляр от центра оси качания кулисы к отрезку, соединяющему центры направляющих);

L - радиус вращения кулачка (между центром кулачка и центром оси вращения кулачка).

Ось x направлена вдоль центральной оси направляющей, ось y - перпендикулярно к оси x. Начало координат - середина направляющей, самое ?узкое¦ место. Координата y определяет радиус сечения направляющей в точке с координатой x. Продифференцируем (2.1) по x:

(2.4)из (2.2) , подставим в (2.4)

, отсюда следует

, и имеем

(2.5)
из (2.3) следует, что или , - подставляем в (2.5)

, что дает

(2.6)

Подставим из (2.3) выражение для

в (2.6)

или , откуда имеем

(2.7)

Подставив (2.7) в (2.2), получим

или

или

(2.8)
Подставив из (2.8) выражение для в (2.7), получим

(2.9)
Подставим (2.8) и (2.9) в (2.1), получим выражение:

,

в котором приведем к общему знаменателю выражения в скобках

и затем сократим выражения в скобках

,

что приведет к окончательному виду дифференциального уравнения, определяющего форму направляющих

(2.10)
Если обозначить и , то уравнение (2.10) можно переписать как

(2.11)

(2.12)
Как известно, дифференциальное уравнение Лагранжа

приводится к уравнению в виде

;

переписав последнее относительно

в виде (2.13)
и получаем линейное дифференциальное уравнение относительно .

Для уравнения (2.12) можно записать соотношения

, , , .

Обозначим

и запишем уравнение (2.13) как линейное дифференциальное уравнение относительно .

(2.14)
Обозначим и перепишем уравнение (2.14) как линейное дифференциальное уравнение первого порядка ,

или, после упрощения

(2.15)
Как известно, линейное дифференциальное уравнение первого порядка