Электрические цепи с бинарными потенциалами (стр. 2 из 3)

4. Электрическая цепь с аналоговыми логическими элементами - схема АД

Рассмотрим теперь электрическую цепь, построенную из элементов ТД с единичным коэффициентом трансформации, AnAND, AnOR, AnNOT, резисторов и источников напряжения. Имея в виду, что элементы AnAND, AnOR, AnNOT, в свою очередь, содержат ТД с единичным коэффициентом трансформации, диоды, резисторы и источники напряжения, замечаем, что эта электрическая цепь содержит только ТД с единичным коэффициентом. Таким образом, эта цепь является частным случаем рассмотренной выше. В дальнейшем дальнейшем будет именовать схемой АД. Она изображена на фиг 3.1, где

R - сопротивления,

x,

, y, z, v v точки схемы и их потенциалы.

Точки x и y составляют два множества выводов схемы АД. Между точками z и v в схеме АД включена матрица трансформаторов ТД, изображенная на фиг 3.2. Из и этой схемы следует, что

, (1)

, (2)

где

- векторы токов.

В схеме АД каждый элемент AnAND-m соединен своими входами с одним из выходов некоторого подмножества элементов AnNOT-k, а каждый элемент AnOR-j соединен своими входами с выходами некоторого подмножества элементов AnAND-m. Обозначим:

- матрица связей элементов AnAND-m и AnNOT-k,

- матрица связей элементов AnAND-m и AnOR-j,

причем

	1, если выход соединен с AnAND-m,
	0, если выход соединен с AnAND-m,
	-1, если AnNOT-k выход не соединен с AnAND-m,

	1, если AnAND-m соединен с AnOR-j,
	0, если AnAND-m не соединен с AnOR-j.

Таким образом, матрица B имеет M строк и K столбцов и в ней каждая m-строка соответствует элементу AnAND-m, а каждый k-столбец соответствует элементу AnNOT-k. Матрица G имеет M строк и J столбцов и в ней каждая m-строка соответствует элементу AnAND-m, а каждый j-столбец соответствует элементу AnOR-j. В матрице трансформаторов ТД на фиг. 3.2 TD-mj присутствует, если

, и отсутствует, если .

Выводы х и у могут использоваться либо как входы, либо как выходы схемы АД. Другими словами, либо к этим выводам может быть подключен источник напряжения и тогда через них проходит ток, либо выводы Lвисят в воздухе¦ и тогда ток через них не проходит.

Из вышеизложенного следует, что в схеме АД минимизируется функция

(3)

при ограничениях (3.2), (3.4), (2).

В частности, если выводы х являются входами, а выводы у v выходами, то минимизируется функция

(4)

Если же выводы у являются входами, а выводы х v выходами, то минимизируется функция

(5)

Решение будем называть булевским, если все потенциалы принимают одно из двух значений - 0 или u. Эти значения будем называть бинарными. Очевидно, без потери общности можно принять u = 1. Потенциалы с бинарными значениями при u = 1 будем также называть булевскими потенциалами.

5. Прямое включение.

Обозначим входы элементов AnAND-m как . При этом:

(1)

Пусть все элементы AnAND-m соединены со всеми элементами AnNOT-k, т.е.

. (2)

При этом

(3)

Тогда из (2.5) следует, что

.

(4)

Из (2.7) следует, что

.

(5)

При прямом включении схемы АД выводы х являются входами, а выводы у являются выходами схемы АД. Это означает, что выводы у нагружены на очень большое сопротивление и, практически,

. (6)

Все входные потенциалы х принимают булевские значения. Пусть, кроме того, выполняется условие (2) и существует такая S-строка в матрице В, что

.

(7)

Это означает, что булевский вектор х совпадает с S-строкой матрицы В v см. (3).

Покажем, что в этом случае все потенциалы у также принимают булевские значения.

Из (4) следует, что

(8)

Из (5) и (7) следует, что

T

, если точка (с потенциалом ) присоединена к одному из входов элемента AnOR-j,

T

, если точка (с потенциалом ) не присоединена ни к одному из входов элемента AnOR-j.

Таким образом, все потенциалы v принимают булевские значения. Из (6) следует, что и все потенциалы у также принимают булевские значения, что и требовалось показать.

6. Обратное включение.

При обратном включении схемы АД выводы у являются входами, а выводы х являются выходами схемы АД. Все входные потенциалы у принимают булевские значения. Пусть, кроме того, существует такая S-строка в матрице G, что

.

(1)

Это означает, что булевский вектор у совпадает с S-строкой матрицы G. Пусть еще

(2)

и, следовательно,

(3)

Существование и количество решений уравнения (4.1) относительно z определяется рангом расширенной матрицы

. Но, по условию, булевский вектор у совпадает с S-строкой матрицы G, т.е. совпадает с одним из столбцов матрицы . Следовательно, ранг матрицы равен рангу матрицы . Таким образом, существование и количество решений уравнения (4.1) определяется рангом матрицы G. Точнее,

T если ранг матрицы G равен M (числу неизвестных), то (4.1) имеет единственное решение;

T если ранг матрицы G меньше M, то (4.1) имеет несколько решений;

T ранг матрицы G не может быть больше M, т.к. матрица

имеет ровно столбцов.

Таким образом, решение уравнения (4.1) будет единственным, если ранг матрицы

равен M или ранг G матрицы равен M. Это верно, если выполняется следующее условие, которое в дальнейшем для краткости будем называть как

Первое ранговое условие:

T в матрице

все M столбцов линейно независимы,

T в матрице

есть не менее M линейно независимых строк.

Если выполняется первое ранговое условие, решение уравнения (4.1) единственно, выполняется условие (1) и для строки S не существует линейно зависимых строк, то это решение имеет вид

(4)

Отсюда и из (5.4) следует, что

,

т.е. все потенциалы х принимают булевские значения, что и требовалось показать. Итак, для этого должно выполнятся

Второе ранговое условие:

T в матрице

все M столбцов линейно независимы,

T в матрице

все строки линейно независимы.