Шпаргалки по управленческим решениям (стр. 9 из 10)
Здесь и далее операция v обозначает взятие максимума. Операция пересечения вычисляется следующим образом:
Здесь и далее символ л обозначает взятие минимума.
Нечеткие отношения. Нечетким отношением R между полным множеством U и другим полным множеством V называется подмножество прямого декартова произведения U V, определяемое следующим образом:
где U = {u1, u2,..., ul}, V {v1, v2,..., vm}.
Допустим, что между элементами знаний, представленных нечеткими множествами F и G, существует связь, заданная правилом: "Если F, то G", при этом F
U, G V. В логике высказываний для представления правил подобного вида используется операция импликации. В нечеткой логике предложены различные способы реализации импликации. Один из наиболее простых способов заключается в представлении импликации, соответствующей правилу "Если F, то G", нечетким отношением R, которое вычисляется следующим образом [2]: 
Свойства нечетких отношений.
1. Объединение отношений
(R
S)(u, v) = R(u, v) 
S(u, v), u 
U, v V.2. Пересечение отношений
(R
S)(u, v) = R(u, v) 
S(u, v), u U, v V.3. Операция включения
(R
S) ↔ R(u, v) ≤ S (u, v), u U, v V.4. Свойство идемпотентности
R
R = R, R R = R.5. Коммутативность
R
S = S R, R S = S R.6. Ассоциативность
R
(S Q) = (R S) Q.R
(S Q) = (R S) Q.7. Дистрибутивность
R
(S Q) = (R S) (S Q).R
(S Q) = (R S) (S Q).8. Рефлексивность
Если μR (u, u) = 1, отношение R - рефлексивное.
Если μR (u, u) < 1, отношение R - слабо рефлексивное.
Если μR (u, u) = 0, отношение R - антирефлексивное.
Если μR (u, u) > 0, отношение R - слабо антирефлекеивное.
9. Симметричность
μR (u, v) = μR (v, u); u, v
U.10. Транзитивность
μR(u, v) ≥ μR(u, z)
μR(z, v); u, v, z U.28. Многокритериальный выбор альтернатив на основе теории нечетких множеств.
Многокритериальный выбор альтернатив на основе пересечения нечетких множеств
Экспертные оценки альтернативных вариантов по критериям могут быть представлены как нечеткие множества или числа, выраженные с помощью функций принадлежности. Для упорядочения нечетких чисел существует множество методов, которые отличаются друг от друга способом свертки и построения нечетких отношений. Последние можно определить как отношения предпочтительности между объектами.
В данном случае критерии определяют некоторые понятия, а оценки альтернатив представляют собой степени соответствия этим понятиям. Пусть имеется множество альтернатив А = {а1, а2, ..., am,} и множество критериев С= {C1, C2, ..., Cn}, при этом оценки альтернатив по каждому i-му критерию представлены нечеткими множествами:
Ci= { μCi (a1)/ μCi, (a2)/a2, …, μCi (am)/am}
Правило выбора лучшей альтернативы можно представить как пересечение нечетких множеств, соответствующих критериям:
D = C1
C2 ... Cn.Операция пересечения нечетких множеств может быть реализована разными способами. Иногда пересечение выполняется как умножение, но обычно этой операции соответствует взятие минимума:
Лучшей считается альтернатива a*, имеющая наибольшее значение функции принадлежности
Если критерии Ci имеют различную важность, то их вклад в общее решение можно представить как взвешенное пересечение:
D=C1a1
C2a2 ... Cnan,где ai - весовые коэффициенты соответствующих критериев, которые должны удовлетворять следующим условиям:
Коэффициенты относительной важности можно определить, используя процедуру попарного сравнения критериев.
Многокритериальный выбор альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения
Рассмотрим метод принятия решений, предполагающий построение множества недоминируемых альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения.
Постановка задачи в краткой форме представляется следующим образом. Пусть задано множество альтернатив А и каждая альтернатива характеризуется несколькими критериями качества с номерами j == i, ..., m. Информация о попарном сравнении альтернатив по каждому критерию качества j представлена в форме отношения предпочтения Rj. Таким образом, имеется m отношений предпочтения Rj на множестве А. Требуется выбрать лучшую альтернативу из множества {A, R1, ...,Rm}.
Метод многокритериального выбора альтернатив на основе нечеткого отношения предпочтения основан на ряде определений.
Определение 1. Нечетким отношением R на множестве А называется нечеткое подмножество декартова произведения А x А, характеризующееся функцией принадлежности μR: А x А → [0,1]. Значение μR (a, b) этой функции понимается как степень выполнения отношения а
b .Определение 2. Нечетким отношением предпочтения на А называется любое заданное на этом множестве рефлексивное нечеткое отношение, функция принадлежности которого вычисляется следующим образом:
Определение 3. Пусть А - множество альтернатив и μR - заданное на нем нечеткое отношение предпочтения. Нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив множества (А, μR) описывается функцией принадлежности