Шпаргалки по управленческим решениям (стр. 10 из 10)

Определение 4. Четко недоминируемыми называются альтернативы, для которых μ_R^НД (а) = 1, а множество таких альтернатив

Определение 5. Носителем нечеткого множества В с функцией принадлежности μ_B(a) является множество {а | а

А, μ_B > 0}.

Процедура решения задачи выбора выполняется в несколько шагов.

1. Строится нечеткое отношение Q₁, которое является пересечением исходных отношений предпочтения:

и определяется нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив в множестве (А, μ_Q1):

2. Строится нечеткое отношение Q₂

и определяется нечеткое подмножество недоминируемых альтернатив в множестве (A, μ_Q2):

Данная функция упорядочивает альтернативы по степени их недоминируемости. Числа w_j в приведенной выше свертке представляют собой коэффициенты относительной важности рассматриваемых критериев, для которых выполняются следующие условия:

3. Отыскивается пересечение множеств μ_Q1^НД и μ_Q2^НД:

4. Рациональным считается выбор альтернатив из множества

Наиболее рациональной альтернативой из множества А^НД является та, которая имеет максимальную степень недоминируемости.

Многокритериальный выбор альтернатив с использованием правила нечеткого вывода

Рассмотрим метод многокритериального выбора альтернатив на основе композиционного правила агрегирования описаний альтернатив с информацией о предпочтениях лица, принимающего решение, которые заданы в виде нечетких суждений [2].

Сущность метода, на основе которого реализована компьютерная система, заключается в следующем. Пусть U - множество элементов, А - его нечеткое подмножество, степень принадлежности элементов к которому есть число из единичного интервала [0, 1]. Подмножества A_j

являются значениями лингвистической переменной X.

Допустим, что множество решений характеризуется набором критериев x₁, x₂, ..., x_p, т.е. лингвистических переменных, заданных на базовых множествах u₁, u₂, .... u_p соответственно. Например, переменная x₁ "качество управления" может иметь значение НИЗКОЕ, а переменная x₂ "стоимость" - значение ХОРОШЕЕ и т. д. Набор из нескольких критериев с соответствующими значениями характеризует представления лица, принимающего решение, об удовлетворительности альтернативы. Переменная S "удовлетворительность" также является лингвистической. Ниже приведен пример высказывания :

d₁: "Если x₁ = НИЗКОЕ и x₂ = ХОРОШЕЕ, то S = ВЫСОКАЯ". В общем случае высказывание d₁ имеет вид:

d₁: "Если x₁ = A₁, и x₂ = A_2iи ... хр = A_piто S = B_i". (4.1)

Обозначим пересечение (x₁ = A_1i

x₂ = A_2i ... х_р = A_pi) через х = A_i. Операции пересечения нечетких множеств соответствует нахождение минимума их функций принадлежности:

Здесь V= U₁ x U₂ x ... U_p; v = (u₁, u₂ ..., u_p); μ_Aij (u_j) - значение принадлежности элемента и, нечеткому множеству A_ij.

Тогда высказывание (4.1) можно записать в виде:

Для придания общности суждениям обозначим базовые множества U и V через W. Тогда A_i - нечеткое подмножество W, в то время как B_i - нечеткое подмножество единичного интервала I.

Для представления правил используется операция импликации, для которой предложены различные способы нечеткой реализации [4]. Нечеткая импликация Лукасевича имеет вид:

где Н - нечеткое подмножество на W x I, w

W, i I.

Аналогичным образом высказывания d₁, d₂,..., d_q преобразуются в множества Н₁, Н₂, ..., Н_q. Их пересечением является множество D:

D = H₁

H₂ ... Н_q

и для каждого (w, i)

W x I

Удовлетворительность альтернативы, которая описывается нечетким подмножеством А из W, определяется на основе композиционного правила вывода:

G = Аº D,

где G - нечеткое подмножество интервала I.

Тогда

Сопоставление альтернатив происходит на основе точечных оценок. Для нечеткого множества С

I определяем α-уровневое множество (α [0, 1]):

С_α = {i | μ_c(i) ≥ α

/ I}.

Для каждого С_α можно вычислить среднее число элементов - М(С_α):

для множества из n элементов

для С_α ={a ≤ i ≤ b}

при 0 ≤ a₁ ≤ b₁ ≤ a₂ ≤ b₂ ≤ ... ≤ a_n ≤ b_n ≤ 1.

Тогда точечное значение для множества С можно записать в виде:

где α_max - максимальное значение в множестве С.

При выборе альтернатив для каждой из них находится удовлетворительность и вычисляется соответствующая точечная оценка. Лучшей считается альтернатива с наибольшим ее значением.

Многокритериальный выбор альтернатив на основе аддитивной свертки

В рассматриваемом методе экспертные предпочтения представлены с помощью нечетких чисел, имеющих функции принадлежности треугольного вида (рис.4.2).

Пусть имеется множество альтернатив А = {a₁, a₂, ..., a_m} и множество критериев С = {c₁, c₂, ..., c_n}, при этом оценка j-й альтернативы по i-му критерию представлена нечетким числом R_ij, a относительная важность i-го критерия задается коэффициентом α_i = 1,2 ...,n. Если коэффициенты а,

нормированы, то взвешенная оценка j-й альтернативы вычисляется по формуле

Если функции принадлежности μ_Rij(r_ij) и μ_αi(α_i) имеют треугольный вид, то для них, как и для нечеткого числа X, вершина X*, а также левая Х' и правая X" границы определяются следующими соотношениями:

Взвешенная оценка j-й альтернативы R_j является результатом линейной комбинации нечетких чисел и также будет иметь функцию принадлежности треугольного вида. Вершину и границы нечеткого числа Z == Х x Y, полученного в результате операций сложения или умножения (символ x обозначает обобщенную операцию), можно вычислить следующим образом:

Z'=X' x Y'; Z" = X" x Y" ; Z*=X* x У.

Ранжирование альтернатив с использованием полученных взвешенных оценок возможно на основе их нечеткой композиции:

Здесь μ_J(j) - нечеткое множество альтернатив, соответствующих понятию "лучшая альтернатива". Лучшей считается альтернатива, имеющая наибольшее значение μ_J(j).

Приоритет каждой альтернативы вычисляется путем выбора минимума среди точек пересечения правой границы соответствующего ей нечеткого числа R_j с границами нечетких чисел, представляющих взвешенные оценки альтернатив, расположенных правее на числовой оси (удовлетворяющих условию r_k > r_j.). При этом предполагается, что правая граница области определения нечетких чисел соответствует самым предпочтительным оценкам, а левая - наихудшим.