Современная портфельная теория (стр. 3 из 4)

Точки У и П соответствуют активам, которые мы выбрали в качестве примера (акции «Урюпинскспецсталь» и Приморского ЦБК). Рассчитаем, каким будет средняя доходность и стандартное отклонение нескольких вариантов портфеля.

Рассматриваемые нами варианты портфеля приведены в таблице (цифры обозначают процент от общего объема средств, инвестируемый в соответствующий актив):

Портфели
А	Б	В	Г	Д
1	Урюпинск	20%	40%	50%	60%	80%
2	Приморск	80%	60%	50%	40%	20%

Доходность и стандартное отклонение портфелей рассчитывается по формулам (6.7) и (6.8) соответственно. Результаты приведены на рисунке 6-1 и в таблице:

Портфели
А	Б	В	Г	Д
	28%	26%	25%	24%	22%
	16.71%	13.74%	12.45%	11.35%	9.96%

Можно сделать вывод, что все возможные портфели лежат на кривой П-A-Б-В-Г-Д-У. Однако это относится лишь к случаю, когда

и . Мы не накладывали ограничений на неотрицательность величин хУ и хУ, так как предполагается возможность неограниченных коротких продаж. Рассмотрим следующие два портфеля:

Портфели
Е	Ж
1	Урюпинск	-30%	150%
2	Приморск	130%	-50%

В случае портфеля Е инвестор вкладывает все свое богатство в акции Приморского ЦБК, одновременно коротко продает акции Урюпинска, и все вырученные деньги также вкладывает в акции Приморска. Средний доход портфеля Е 33%, риск 25.26%.

Для портфеля Ж - ситуация обратная: инвестор коротко продает акции Приморска на сумму, равную половине всех инвестиций, и все деньги (собственное богатство и средства, вырученные от короткой продажи) вкладывает в акции Урюпинска. Средняя доходность этого портфеля равна 15%, стандартное отклонение 15.33%.

В целом, при неограниченных возможностях коротких продаж, все доступные инвестору комбинации доходности и риска можно представить на рисунке в виде кривой Е-П-A-Б-В-Г-Д-У-Ж, которая задана параметрически уравнениями (6.7) и (6.8).

Допустимые комбинации риска и доходности при разной степени статистической взаимосвязи активов, входящих в портфель

Пусть есть портфель из двух активов: х1 и х2 обозначают долю от общего объема инвестиций, приходящуюся на каждый из активов, m1 и m2 - ожидаемые доходности, s1 и s2 - стандартные отклонения доходности первого и второго активов соответственно. Средняя доходность и риск портфеля рассчитываются как

, (6.13)

. (6.14)

Рассмотрим, используя рисунок, случаи, когда показатели доходности активов, входящих в портфель, связаны между собой абсолютной положительной зависимостью: r12=1, абсолютной негативной взаимосвязью r12=-1, а также ситуацию, когда статистическая взаимосвязь между доходностью двух активов отсутствует r12=0.

Если

, стандартное отклонение равно

(6.15)

Уравнения (6.13) и (6.15) определяют линейную взаимосвязь между mp и sp при изменении параметров x1 и x2 (намним, что x1 = 1 - x2). Тем самым комбинации риска и дохода для различных портфелей лежат на прямой, проходящей через точки a и b на рисунке 6-2.

При r12=-1,

(6.16)

Комбинации риска и дохода, соответствующие этому случаю - точки, лежащие на лучах ca и cb (рисунок 6-2). Отрезки ca и cb соответствуют комбинациям стандартного отклонения и доходности при условии

x1 ³ 0 и x2 ³ 0.

Наконец, если r12=0, то все возможные варианты отражает кривая, параметрически задаваемая уравнением (6.13) и уравнением

. (6.17)

Рисунок 6-2 позволяет проследить важную закономерность: чем меньше величина r12 (чем ближе она к -1), тем меньшего уровня риска можно достичь, причем при r12=-1 существует портфель с нулевым риском (точка с) - факт, уже обоснованный нами выше, и используемый в стратегии хеджирования.

9.Эффективность инвестиционного портфеля. Эффективное множество

Вернемся к анализу более реальной ситуации - когда инвестор имеет возможность выбирать не из двух, а из гораздо большего количества активов, каждый из которых характеризуется своими показателями доходности и риска (точки 1, 2, 3, и т.д. на рисунке 6-3). Теперь инвестор может выбирать любой актив (и в любом количестве) для включения в свой портфель. Кривые 1-2, 2-4, и т.д., отражают комбинации риска и дохода, которые может получить инвестор, выбирая портфель, состоящий исключительно из первого и второго активов, второго и четвертого, и так далее. Однако этим возможности не ограничиваются. Пусть, скажем, точка А соответствует портфелю на 50% состоящему из инвестиций в 1-й актив и на 50% - во второй. Точка В - портфель, представляющий собой сочетание 50 : 50 из 1-го и 5-го активов. Тогда кривая, проходящая через точки А и В - это значения риска и дохода, соответствующие всем возможным сочетаниям портфеля А и портфеля В. Например, пусть точка О - это точка полученная сочетанием в общем портфеле 25% вложений в портфель А и 75% вложений в портфель В. Это означает, что в общем портфеле содержится

1-го актива

;

2-го актива

;

3-го актива

.

Все возможные сочетания инвестиций образуют область допустимых значений риска и дохода (заштрихованная область на рисунке 6-4). Очевидно (см. рисунок 6-3), что область допустимых значений является выпуклой.

Рассмотрим допустимые портфели с точки зрения их привлекательности для несклонного к риску инвестора. Как мы помним, человек, несклонный к риску всегда предпочитает меньший риск при одинаковом ожидаемом доходе, и, соответственно, всегда стремится к большему значению среднего дохода при одинаковом уровне риска. Поэтому, для несклонного к риску инвестора портфель А, например, всегда лучше портфеля В, или портфеля С. Хотя портфели А и В обеспечивают одинаковый ожидаемый доход, портфель В - более рискован. Аналогично, хотя портфели А и С имеют одинаковую степень риска, портфель С менее выгоден с точки зрения его доходности.

Эффективным портфелем называется портфель, обеспечивающий наивысший уровень ожидаемого дохода при данном уровне риска и наименьший риск при данном уровне дохода. Согласно этому определению, портфели А, Д, Е на рисунке 6-4 являются эффективными, а портфели В и С - нет.

Очевидно, если существует множество альтернатив для инвестирования (множество активов) то существует и множество эффективных портфелей. На рисунке 6-4 множество эффективных портфелей - это портфели лежащие на границе допустимой области. Множество эффективных портфелей называют границей эффективности или эффективным множеством.

Если возможности по инвестированию ограничиваются лишь некоторым набором рискованных активов, то есть достижимые комбинации риска и дохода ограничены областью допустимых значений риска и ожидаемой доходности, выбор инвестора определяется его индивидуальными предпочтениями (рисунок 6-5).

10.Безрисковая ставка доходности

Предположим, что на рынке помимо рискованных инвестиций, существует возможность финансовых вложений, которые гарантированно обеспечивают получение определенного дохода. Другими словами, положим, что существует безрисковая ставка доходности. В реальности, трудно найти активы, которые свободны от какого бы то ни было риска. Как правило, свободными от риска считают государственные ценные бумаги. Однако даже в этом случае риск есть, хотя, возможно и значительно меньший по сравнению с другими финансовыми инструментами.

В данном случае мы будем считать, что существует актив, характеризующийся определенной ставкой доходности и нулевым риском. На нашей диаграмме в координатах риска и дохода - это точка лежащая на оси среднего дохода - точка О на рисунке 6-6. Ставку m0 - мы назовем безрисковой ставкой доходности.

Если существует безрисковая ставка доходности, перед инвестором стоит задача распределения инвестиций между некоторым рискованным активом (портфелем активов) с ожидаемым доходом mp и стандартным отклонением sp, и безрисковым вложением средств по ставке m0, причем mp>m0 (рисунок 6-6). Пусть xp - доля богатства, вкладываемая в рискованное направление, х0 - доля, инвестируемая по безрисковой ставке.