Современная портфельная теория (стр. 2 из 4)
Для расчета статистической оценки коэффициента ковариации двух случайных величин используется формула
, (6.6)где rt, st - наблюдения, , - средние величины.
В нашем примере, ковариация доходности в квартальном измерении равна 0.15%, соответственно в годовом измерении
,откуда получим коэффициент корреляции
.Необходимо еще раз подчеркнуть, что расчитываемые по формулам (6.4) - (6.6) показатели представляют собой лишь статистические оценки исторических значений средней доходности, дисперсии и ковариации. Тем более нельзя считать, что эти оценки сколько-нибудь точно прогнозируют будущие значения рассматриваемых показателей. Вместе с тем, на практике, когда нет возможности более точной оценки показателей доходности и риска ценных бумаг, часто используют именно статистические методы.
5.Эффект диверсификации
Напомним, что если s12 - коэффициент ковариации показателей доходности некоторых двух ценных бумаг, то
.где s1, s2 - стандартные отклонения, r12 - коэффициент корреляции случайных величин доходности 1-го и 2-го активов. Следовательно, формулу для расчета стандартного отклонения портфеля, состоящего из 2-х активов, можно записать
.Таким образом, общий риск портфеля зависит от величины риска активов, входящих в портфель si, доли каждого из активов в портфеле xi и коэффициента, характеризующего статистическую взаимосвязь между величинами доходности активов, входящих в портфель r12.
Эффект диверсификации - распределения инвестиций между различными направлениями, состоит в том, что, выбирая объемы инвестиций в различные активы, инвестор может регулировать рискованность портфеля - выбирать такую величину из возможных, которая отвечает его предпочтениям. Возможности по снижению риска портфеля зависят от тесноты статистической взаимосвязи между доходностью различных инвестиционных решений (в нашем примере - величины r12). Напомним, что величина коэффициента корреляции двух случайных величин может изменяться в пределах от -1 до 1. Величина r12=-1 означает совершенную отрицательную взаимосвязь - если доходность одного актива увеличивается, доходность второго - пропорционально снижается. В случае r12=1 оба актива характеризуются совершенной положительной взаимосвязью: любое увеличение доходности одного из них с необходимостью приводит к пропорциональному увеличению доходности второго. Если же r12=0 - доходность одного актива никак не связана с доходностью второго.
6.Портфель с минимальным риском
Пусть целью инвестора является выбор портфеля с минимальным возможным риском, то есть необходимо так выбрать х1 и х2, чтобы величина риска портфеля была бы наименьшей. Эту задачу можно просто решить аналитически. Прежде всего, заметим, что для портфеля из 2-х активов всегда должно выполняться бюджетное ограничение
,- сумма долей равняется единице. Значение х2 мы можем выразить через х1
.Обозначим
Задачу выбора портфеля с наименьшим риском можно записать
. (6.9)Запишем условие первого порядка для данной задачи (возьмем производную по x и приравняем ее к нулю)
,откуда, при условии, что знаменатель не равен нулю, получим
. (6.10)Формула (6.10) дает возможность определить портфель, риск (стандартное отклонение доходности) которого минимален.
Рассмотрим некоторые частные случаи.
1. Пусть r12=-1 тогда
, 
.В этом случае риск портфеля равен нулю
.То есть, если доходность первого актива снизится, для портфеля в целом это будет полностью компенсировано ростом доходности второго актива.
2. В случае, когда r12=0, то есть какая-либо взаимосвязь между доходностью первого и второго актива отсутствует, портфель с наименьшим риском выбирается так:
, 
.Стандартное отклонение такого портфеля будет равно. Если s1<1 и s2<1, риск портфеля будет меньше, чем риск каждого из отдельно взятых активов.
3. Когда r12=1, оптимальный портфель выбирается следующим образом:
, 
.Риск такого портфеля также равен нулю:
,но существует важное отличие от случая, когда r12=-1: при совершенной отрицательной корреляции оптимальные объемы инвестиций в каждый из активов были положительными. Здесь же, либо х*, либо 1-х* меньше нуля (причем, если х*<0, то (1-х*)>1, и наоборот). Отрицательный объем инвестиций означает короткую продажу - когда продается актив, взятый в долг с обязательством последующего возврата. Следовательно, в случае положительной корреляции, для того, чтобы получить портфель с минимальным риском, необходимо коротко продать один из активов, и инвестировать все имевшиеся и вырученные за счет короткой продажи средства во второй актив.
7.Хеджирование
Полученные выше результаты позволяют сделать очень важный вывод: чем больше степень статистической взаимосвязи между доходностью двух активов, тем больше возможностей по снижению риска путем комбинации инвестиций в эти активы (формирования портфеля), - другими словами тем более эффективна диверсификация, предпринимаемая с целью снижения риска. Данный факт лежит в основе стратегии хеджирования.
Хеджирование представляет собой стратегию снижения риска, при которой инвестор, для того, чтобы обезопасить себя от возможных потерь, связанных с инвестированием в некоторый актив, одновременно инвестирует в другой актив, доходность которого негативно коррелирована с доходностью первого.
В качестве примера рассмотрим ту же задачу выбора портфеля, но в несколько измененном виде.
Пусть инвестор владеет одной единицей некоторого актива, который принесет ему единиц чистого дохода на протяжении планового горизонта. Обозначим через x объем инвестиций в этот актив:
.Доходность z является случайной вeличиной. Предположим, что она может быть как положительной, так и отрицательной. Пусть инвестор желает обезопасить себя от риска потери стоимости своего актива - тех случаев, когда z окажется отрицательной. Для этого он инвестирует средства в другой актив, доходность которого h также случайна, но связана отрицательной статистической взаимосвязью с доходностью первого актива. Обозначим через h объем инвестиций во второй актив. Суммарная ожидаемая доходность инвестиций (портфеля) будет составлять
.Риск портфеля будет равен
. (6.11)Риск будет минимальным, если, исходя из условий первого порядка минимума функции (6.11), выполняется равенство
,или
, (6.12)где rzh - коэффициент корреляции случайных величин z и h.
Величина h, рассчитанная по формуле (6.12) называется коэффициентом хеджирования с минимальным риском. Заметим, что если
rzh=-1,
то h=1, то есть хеджирование будет обеспечивать минимальный риск, если в портфеле каждой единице средств, инвестированных в первый актив, будет соответствовать ровно одна единица инвестиций в актив, используемый для хеджирования. Хеджирование в пропорции «один к одному» называют еще «наивным хеджем», так как коэффициент хеджирования с минимальным риском равен единице лишь в случае абсолютной отрицательной взаимосвязи между доходностью двух активов.
8.Графическая иллюстрация
Предполагая, что инвесторы, принимая решение, ориентируются лишь на среднюю доходность и риск, измеряемый стандартным отклонением доходности, мы можем использовать в качестве иллюстрации портфельных инвестиций диаграмму из главы 3, на которой по вертикали откладывается средняя доходность, а по горизонтали - риск, под которым теперь будем понимать стандартное отклонение случайной величины доходности (рисунок 6-1).