Принципы регулирования (стр. 7 из 10)

Исходным выражением для определения устойчивости по Гурвицу является Н(р), следовательно, по Гурвицу определяют устойчивость замкнутых и разомкнутых систем.

Пример 1. Определить по Гурвицу устойчивость системы первого порядка, заданной характеристическим уравнением:

Н(р)=α₁р+α₀=0

1)α₁ >0; α₀ >0

2)D=| α₀| >0, т.е. для того, чтобы система первого порядка была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты её характеристического уравнения имели одинаковые знаки.

Пример 2. Определить по Гурвицу устойчивость системы второго порядка заданной характеристическим уравнением:

Н(р)=а₂р²+α₁р+α₀=0

1)α₁> 0; α₂>0; α₀>0

α1	0
α2	α0

2)D₂= = α₁ α₀ – α₂ 0 >0

т.е. для того чтобы система второго порядка была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты её характеристического уравнения имели одинаковые знаки.

Пример 3. Определить по Гурвицу устойчивость замкнутой системы, заданной следующей структурной схемой:

Исходным выражением для определения устойчивости по Гурвицу является характеристическое уравнение замкнутой САР, которое находится как знаменатель ее передаточной функции.

где:

Первое условие:

а2	а0	0
а3	а1	0
0	а2	а0

Второе условие:

∆ =

∆₁ = α₂ >0, если выполняется первое условие;

α2	α0
α3	α1

∆₂= = α₂ α₁ - α₃ α₀ >0, в этом случае система устойчива;

∆₃ = (-1)³⁺³ α₀ ∆₂^>0 всегда, если α₂>0 и выполняется первое условие.

Для того, чтобы система третьего порядка была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты ее характеристического уравнения имели одинаковые знаки, а произведение внутренних коэффициентов было больше произведения крайних.

Но может оказаться, что D₂<0, тогда система неустойчива, и ее необходимо скорректировать, не прибегая к структурной коррекции. Это, возможно меняя статический коэффициент передачи разомкнутой САР. Для данной системы k_раз = b₀, а коэффициент характеристического уравнения α₀=f(k_раз).

В этом случае находят критическое значение k_раз, при котором система находится на границе устойчивости, т. е. ∆₂=0.

∆₂= α₂ α₁ - α₃ α_{0 кр}=0

α_{0 кр}= α₂ α₁/α₃

k_{раз кр} (для данной системы)= α_{0 кр} - 1

Выбирают k_{раз ск} < k_{раз кр} и α_{0 ск} = 1+ k_{раз ск}

∆_{2 скор. сист.} α₂ α₁ - α₃ α_{0 ск} >0, т. е. скорректированная система устойчива.

§3. Частотный критерий Михайлова.

Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости систем автоматического управления по виду их частотных характеристик.

Пусть характеристическое уравнение системы имеет вид:

(1)

Заменив в Н(р) оператор р на оператор jω, получим вектор Н(jω)

Пусть p₁, p₂,......, p_n - корни характеристического уравнения. Тогда в соответствии с теоремой Безу характеристическое уравнение (1) можно переписать в виде:

или

Н(jω)

(2)

Величина (jω-p_j) геометрически изображается векторами в комплексной плоскости, а Н(jω) представляет собой вектор, равный произведению элементарных векторов (jω-p_i), модуль этого вектора равен произведению модулей элементарных векторов, а фаза – сумма фаз элементарных векторов.

Условимся считать вращение против часовой стрелки положительным, тогда при изменении ω от 0 до ∞ каждый элементарный вектор повернется на некоторый угол.

Пусть p₁ - отрицательный действительный корень (“левый”, т. е. слева от мнимой оси), равный “ -α ₁”. При изменении ω от 0 до ∞

arg(jω- p₁)

т. е. каждый “левый” действительный корень характеристического уравнения поворачивает вектор характеристического уравнения в комплексной плоскости при изменении ω от 0 до ∞ на угол

в положительном направлении.

Если p₂ - положительный действительный корень (“правый”), равный “+α₂”,то при изменении ω от 0 до ∞

arg(jω- p₂)

т. е. каждый “правый” действительный корень характеристического уравнения поворачивает вектор характеристического уравнения в комплексной плоскости при изменении ω от 0 до ∞ на угол

в отрицательном направлении.

Если p_3,4 - корени комплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью, равные –α₃ ± jβ₃, то

при изменении ω от 0 до ∞

arg(jω- p₃) (jω- p₄)

т. е. пара комплексно-сопряженных корней с отрицательной действительной частью поворачивает вектор характеристического уравнения в комплексной плоскости при изменении ω от 0 до ∞ на угол +2(π/2).

Если p_5,6 - комплексно-сопряженные корни с положительной вещественной частью, равные +α₄ ± jβ₄, то при изменении ω от 0 до ∞

arg(jω- p₅) (jω- p₆)