Принципы регулирования (стр. 3 из 10)
начальные условия, которые будем считать нулевыми.При нулевых начальных условиях справедливо утверждение:
Дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на оператор p:
Это свойство Лапласа позволяет свести дифференциальное уравнение к алгебраическому и ввести понятие передаточной функции линейного элемента (системы):
αnpnyвых(p) + αn-1pn-1yвых(p) + …. + α1pyвых(p) + α0yвых(p)=bmpmxвх(p) + …. + b1pxвх(p) + +b0x(p)
Далее уравнение решается как обыкновенное алгебраическое:
Операции нахождения оригинала выходной величины по изображению, называется обратным преобразованием Лапласа:
Обратное преобразование совершается с помощью следующего интеграла:
Для облегчения задачи нахождения оригинала по изображению созданы таблицы преобразования Лапласа, позволяющие не решая интеграла, находить оригинал по изображению и обратно.
| Оригинал f(t) | Изображение f(p) |
 |  |
| t |  |
| kt |  |
| e-αt |  |
| sinαt |  |
Отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией:
Статистический коэффициент передачи тоже есть отношение выхода ко входу, но в установившемся режиме, т. е.
,следовательно, k – частный случай W(p), т.к. в статике
, то и p=0, следовательно: 
Временные характеристики звена (системы) представляют собой изменение выходной величины во времени при передаче на ее вход типового апериодического воздействия. В качестве последнего используют единичное ступенчатое воздействие или единичный импульс.
При единичном ступенчатом воздействии входная величина мгновенно возрастает от 0 до 1 и далее остается неизменной, т. е.
Реакция звена на единичную ступенчатую функцию называется переходной характеристикой звена (обозначается h(t))
Очевидно h(t) представляет решение дифференциального уравнения для единичного ступенчатого входного сигнала.
Выражение для h(t) может быть получено из передаточной функции W(p).
По определению:
, т. е. 
Оригинал переходной характеристики находится из таблицы:
Реакция звена на единичный импульс [δ(t) – дельта - функция] называется импульсной переходной характеристикой (весовой функцией).
Дельта – функцию [δ(t)] определяют как импульс, длительность которого равна 0, амплитуда -
, а площадь 1, т. е. δ(t) можно определить как производную от 1(t):  |
Весовую функцию (обозначают ω(t)) также можно найти из передаточной функции звена (системы).
Оригинал весовой функции находится из таблиц преобразования Лапласа:
Частотные характеристики определяют поведение звена (системы) при подаче на его вход гармонического (синусоидального) сигнала.
Пусть xвх(t)=Aвхsin ωt, где Авх=const, ω – круговая частота входного сигнала.
На выходе звена (системы) тоже появится гармонический (синусоидальный) сигнал, амплитуда и фаза которого будут другими, зависящими от частоты входного сигнала.
yвых(t)=Aвых(ω)sin[ωt+φвых(ω)] Зависимость отношения выходного сигнала к входному от частоты входного сигнала называется комплексной передаточной функцией звена (системы).Нас интересует одновременная зависимость 2-х величин: Авых и φвых, поэтому входной и выходной сигналы удобно рассматривать в комплексной плоскости, а для их описания применить аппарат теории функций комплексного переменного.
Синусоидальный входной сигнал можно изобразить вектором ОА на комплексной плоскости, вращающимся вокруг начала координат.
xвх(t)=Aвхsinwt; 
Тогда
;По аналогии:
;По определению комплексная передаточная функция
[K(jω)] может быть записана как 
;Выражение K(jw) можно найти из дифференциального уравнения системы:
xвх(t) = Авх ej wt;
увых(t) = Авых(w)ej[wt + jвых(w)];
Подставив эти выражения в дифференциальное уравнение, найдем К(jw)
Сравнив это выражение с выражением передаточной функции будем определять комплексную передаточную функцию звена (системы) из передаточной функции, заменив в ней оператор «р» на оператор «jw»,
Из выражения K(jw) видим, что каждой частоте w соответствует вектор K(jw), который при изменении частоты от 0 до ¥ описывает в комплексной плоскости кривую (годограф), называемую амплитудно-фазо-частотной характеристикой звена (системы) (АФЧХ).
АФЧХ показывает одновременно, как изменяется амплитуда и фаза выходного сигнала при изменении частоты входного сигнала.
Можно построить отдельно амплитудно-частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики, показывающие как изменяется амплитуда и фаза в функции от частоты (w).
Типовые динамические звенья САР
По виду динамических характеристик звенья САР делятся на
§1. Безинерционные (усилительные или статические) звенья.
К безинерционным звеньям относят элементы, которые в динамике описываются дифференциальным уравнением нулевого порядка вида
yвых(t) = kхвх(t), (1)
где k-статический коэффициент передачи звена.
Для получения выражения передаточной функции запишем уравнение (1) в операторной форме (на основании основного свойства преобразования Лапласа:
)