по Общей теории систем и системный анализ (стр. 7 из 13)

.

Если для некоторой пары возможных решений выполняется неравенство (29), то благодаря аксиоме Парето первое решение будет предпочтительнее второго. Значит, второе решение ни при каких обстоятельствах не окажется оптимальным и его можно исключить из последующего процесса выбора. Исключение всех подобного рода решений приводит к множеству Парето.

Множество парето-оптимальных решений обозначается

и определяется равенством

= не существует

, такого, что .

Установим теперь взаимосвязь между недоминируемыми и парето-оптимальными решениями. Если решение

не является парето-оптимальным, то для некоторого возможного решения выполнено неравенство (3). Согласно аксиоме Парето отсюда следует, что , а значит, – доминируемое решение. Таким образом, всякое решение, не являющееся парето-оптимальным, – доминируемое. Отсюда следует, любое недоминируемое решение должно быть парето-оптимальным. На теоретико-множественном языке этот факт можно выразить в виде включения . С учетом (28) отсюда получаем следующую связь между введенными выше множествами:

. (30)

В результате формализации конкретных практических задач выбора становятся известными множество возможных решений

и векторный критерий . Знание векторного критерия и множества возможных решений позволяет найти множество Парето (решений и/или оценок). К настоящему времени свойства множества Парето изучены достаточно подробно, разработаны методы и алгоритмы его построения и все специалисты в области принятия решений единодушно полагают, что наилучшие решения многокритериальной задачи следует искать именно среди множества Парето. Поэтому построение множества Парето нередко считают первым необходимым шагом в решении любой многокритериальной задачи.

Из рассмотрения простых примеров следует, что множество парето-оптимальных решений в одном крайнем случае может состоять из одного-единственного элемента, а в другом – каждое возможное решение будет парето-оптимальным. Если парето-оптимальное решение единственно, то в такой задаче оптимальным может быть только это парето-оптимальное решение. В общем случае, чем ýже множество Парето, тем более простым представляется последующее нахождение множества

. Однако, практика показывает, что в реальных задачах множество Парето оказывается достаточно широким и его построение полностью не решает задачу принятия решений. Необходимы методы, которые позволили бы сузить область дальнейшего поиска оптимальных решений. Именно такого рода метод разработан в рамках теории относительной важности критериев.

4.22 Начальные понятия теории относительной важности критериев

На примере задачи выбора с тремя критериями (

) рассмотрим следующие две оценки и . Оценка по первому критерию «лучше» оценки (так как 4 > 2), а по второму критерию – «хуже» (1 < 2), тогда как по третьему критерию данные оценки равнозначны. Тем самым, при переходе от оценки к оценке ЛПР добавляет 2 единицы по первому критерию, но при этом теряет 1 единицу по второму критерию.

Предположим, что при сравнении этих двух оценок ЛПР выбрало первую -

. Спрашивается, каким образом можно объяснить сделанный ЛПР выбор? Почему ЛПР предпочло добавить две единицы по первому критерию, несмотря на потерю одной единицы по второму критерию?

Наиболее естественный ответ на поставленные вопросы состоит в следующем. Поскольку, ЛПР предпочло «прибавку» по первому критерию за счет «потери» по второму, это означает, что для данного ЛПР первый критерий является более важным, чем второй. Бόльшая степень важности для ЛПР одного критерия по сравнению с другим как раз и выражается в его готовности пожертвовать чем-то второстепенным (менее важным) во имя главного (более важного).

При этом для количественной оценки степени важности первого критерия по сравнению со вторым можно использовать отношение

,

выражающее долю «потери» по отношению к сумме «прибавки» и «потери». Чем больше эта доля, тем большую степень важности будет у одного критерия по сравнению с другим.

Приведенные выше рассуждения для трехмерных оценок ведут к следующим общим определениям, в которых для множества номеров критериев принято обозначение

.

Определение 1. Говорят, что i-й критерий

является более важным, чем j-й критерий

(

) c положительными числовыми параметрами

и

, если для всех

, таких, что

для всех , кроме и ,

выполняется соотношение

.

Заметим, что в данном определении присутствует отношение предпочтения

, связанное с ЛПР. У каждого ЛПР свое собственное отношение предпочтения, а значит, если для одного ЛПР i-й критерий важнее j-го, то для другого ЛПР этого может и не быть. Иначе говоря, введенное понятие относительной важности критериев носит «субъективный» характер, что хорошо согласуется с интуитивными представлениями об этом понятии.

Определение 2. Пусть i-й критерий важнее j-го с положительными параметрами

( ). Число

называется коэффициентом относительной важности критерия i по сравнению с критерием j.

Очевидно,

, причем чем ближе этот коэффициент к 1, тем бόльшая степень важности y i-го критерия по сравнению с j-м; и наоборот, чем ближе к 0, тем меньше указанная степень важности. В «среднем» случае ЛПР для получения «прибавки» по i-у критерию в размере единиц готово пожертвовать тем же количеством по j-у критерию. Подобным образом можно дать интерпретацию любого числового значения коэффициента .