по Общей теории систем и системный анализ (стр. 6 из 13)
Рассмотрим ситуацию, когда первое решение предпочтительнее второго, а оно, в свою очередь, предпочтительнее некоторого третьего решения. В таком положении здравомыслящий человек при сравнении первого и третьего решения всегда выберет первое. Здесь происходит то же самое, что и при сравнении чисел с помощью строгого неравенства >. Например, если
и 
, то непременно выполнено 
. В терминах возможных решений это может быть сформулировано следующим образом: для любой тройки возможных решений 
из выполнения соотношений 
и 
обязательно следует справедливость соотношения 
. Это свойство отношения предпочтения называют свойством транзитивности. Далее будем предполагать, что отношение предпочтения 
обладает свойством транзитивности.4.20 Множество недоминируемых решений
Постановка всякой задачи многокритериального выбора включает
· множество возможных решений
· векторный критерий
вида (27)· отношение предпочтения
.Само ЛПР в постановку задачи многокритериального выбора не включено. В этом нет необходимости. Подразумевается, что все его устремления, вкусы, пристрастия и предпочтения, оказывающие влияние на процесс выбора, «материализованы» в терминах векторного критерия и отношения предпочтения.
Как указано выше, решение задачи многокритериального выбора заключается в отыскании множества оптимальных решений
. Выясним, каким образом сведения об отношении предпочтения могут быть использованы в процессе решения задачи многокритериального выбора.Рассмотрим два произвольных возможных решения
и 
. Для них имеет место один и только один из следующих трех случаев:· справедливо соотношение
, а соотношение 
не выполняется;· справедливо соотношение
, а соотношение не выполняется;· не выполняется ни соотношение
, ни соотношение 
.Следует заметить, что четвертый случай, когда оба участвующих здесь соотношения
и 
выполняются, невозможен, поскольку из этих соотношений благодаря транзитивности отношения 
сразу вытекает противоречие 
.При выполнении соотношения
(т.е. в первом случае) говорят, что решение 
доминирует решение 
, или что доминируется решением .Вернемся к задаче выбора. Если из двух возможных решений одно доминируется другим, то, очевидно, доминируемое решение не может оказаться выбранным, оптимальным. Таким образом, всякое доминируемое решение можно исключить из списка решений, претендующих на роль оптимальных.
Исключение всех доминируемых решений приводит к множеству, которое носит специальное название и играет важную роль в принятии решений.
Множество недоминируемых решений определяется равенством
не существует 
, такого, что 
.Поскольку удаление доминируемых решений из множества возможных решений не приводит к потере ни одного оптимального решения, то имеет место включение
. (28)Включение (28) показывает, что выбор оптимальных решений следует производить только среди недоминируемых решений.
4.21 Множество Парето[1]
Вернемся к задаче многокритериального выбора. В ней кроме множества возможных решений
и отношения предпочтения присутствует также векторный критерий 
. Компонента 
векторного критерия характеризует определенную цель ЛПР, а стремление достичь этой цели в математических терминах выражается в максимизации или минимизации этой компоненты на множестве 
. Для определенности всюду далее будем считать, что ЛПР заинтересовано в получении по возможности бóльших значений каждой компоненты векторного критерия[2].Выбрав произвольное возможное решение
и вычислив значение векторного критерия 
на этом решении, получим набор 
чисел, образующий векторную оценку 
данного решения . Таким образом, каждое возможное решение имеет свою собственную векторную оценку.Теперь рассмотрим два произвольных возможных решения
и вместе с соответствующими им оценками 
и 
. Допустим, что эти оценки связаны соотношением 
, (29)которое означает справедливость покомпонентных неравенств
³ 
для всех номеров 
, причем 
, т.е. хотя бы для одного номера 
верно строгое неравенство 
> 
.Выполнение неравенства (29) означает, что по всем компонентам первая векторная оценка «не хуже» (точнее говоря, не меньше) второй векторной оценки, причем, по крайней мере, какая-та одна компонента первой оценки «лучше» (строго больше) соответствующей компоненты второй оценки. Поскольку, как принято выше, ЛПР заинтересовано в достижении максимального возможного значения по каждому критерию, то в имеющейся ситуации ЛПР из двух представленных ему на выбор решений
и 
явно выберет первое.Иначе говоря, стремление ЛПР максимизировать каждую компоненту векторного критерия можно выразить в терминах следующего требования: отношение предпочтения и векторный критерий подчиняются аксиоме Парето, т.е. всякий раз из выполнения неравенства (29) следует справедливость соотношения
: