и делится между игроками по заранее оговоренному правилу.
Пример.
| 3 | 0 | 2 | 1 | 3 | 0 | ||
| А: | 1 | 2 | 1 | В: | 2 | 1 | 2 |
| 2 | 3 | 0 | 0 | 2 | 3 |
Ситуаций равновесия нет. Находим максимальный элемент в матрице А+В
| 4 | 3 | 2 | |
| А+В: | 3 | 3 | 3 |
| 2 | 5 | 3 |
max = 5, ( i, j ) = (3,2). Эта сумма должна быть разделена между первым и вторым игроками.
В случае, если договор между игроками невозможен, игра станет неустойчивой и игрокам будет выгодно скрывать свои стратегии. Решение такой игры будет в смешанных, вероятностных стратегиях.
Понятие смешанных стратегий в биматричных играх такое же, как и в матричных играх, то есть это полный набор вероятностей применения их чистых стратегий. Выигрыш игроков тоже находится как математическое ожидание.
Задание по биматричным играм
Придумать условие биматричной игры n*m, n = m > 3 и найти ее решения в чистых стратегиях ("игра с побочными платежами")
Глава . Нестратегические игры
1. Основные понятия и определения.
На практике достаточно часто встречаются случаи, когда в типично игровых ситуациях участники вступают между собой в соглашения, образуют союзы, коалиции, корпорации, тресты, обьединения и т.п. При рассмотрении стратегических игр предполагалось, что каждый игрок действует изолированно от других, но в общем случае такое поведение не всегда выгодно. В решении биматричной игры с побочными платежами можно легко в этом убедиться.
Рассмотрим биматричную игру с побочными платежами. Если участники по условию игры в состоянии договориться с друг другом, то решение - то есть выигрыши игроков, не будет зависеть от выбираемых ими стратегий, а только лишь от способа дележа общего дохода. При этом для них важно еще и то, насколько выгодно им вступать в такое соглашение или коалицию.
Коалицией в кооперативное игре называется всякое (любое) подмножество множества игроков.
Пример. Пусть I = {1,2,...i...n} - некоторое множество игроков. Коалициями будут: k1 = {1,2,5,i};
k2 = {i} = i;
k3 = { } = Æ ;
k4 = { 1,2,...n} = I.
Когда игроки обьеденены в коалицию, естественно рассматривать их общий выигрыш, который может быть получен в игре. Разумеется, игроков интересует максимально гарантированный выигрыш, который и является мерой полезности обьединения игроков.
Характеристической функцией v(k) называется наибольший выигрыш, уверенно получаемый коалицией k.
Пример. Допустим, существует небольшая бригада состоящая из двух рабочих и мастера. Дневное задание может выполняться всей бригадой или мастером с одним из рабочих. Выполнение дневного задания гарантирует бригаде заработок в С единиц (выигрыш).
Задать характеристическую функцию этой игры.
I = { M, p1, p2 } - множество игроков игры. Тогда
v(Æ) = v(p1, p2) = v (p1) = v (p2)= v (M) = 0,
v (M, p1, p2) = v( M,p1) = v( M, p2) = C.
Из заданной характеристической функции видно в какие коалиции выгодно вступать игрокам, так как выигрыш существенно зависит от состава коалиций. Таким образом, характеристическая функция задается на множестве всех подмножеств множества игроков I игры Г и принимает вещественные значеня.
Свойства характеристической функции:
1. Персональность vГ (Æ) = 0;
2. Супераддитивность vГ (КÈL) ³ vГ (К) + vГ (L), где K,LÎI, KÇL = Æ;
3. Дополнительность vГ (К) + vГ (I\K) = vГ (I) = C,
где С - постоянная сумма выигрыша.
2. Дележи в кооперативных играх.
Как только игроки вкоалиции получили свой максимально гарантированный выигрыш, возникае задача о том, как его разделить между участниками.
Обычно распределение выигрыша задается вектором х с числом компонент, равным числу игроков в коалиции.
Пусть задана характеристическая функция v над множеством игроков I. Какие векторы дележей в этом случае допустимы?
Прежде всего, каждый игрок вступает в коалицию только в том случае, если это, по крайней мере, не уменьшает его выигрыш, то есть если
xi ³ v(i) Эгалитарный подход
å xi = v (I) Утилитарный подход
Приведенные условия носят названия индивидуальной и коллективной рациональности, так как позволяют получить максимальную выгоду и использовать возможности системы полностью.
Дележом в условиях характеристической функции v называется вектор х = ( х1, х2, ... хn), удовлетворяющий условиям индивидуальной и коллективной рациональности.
Классической кооперативной игрой называется система < I, v >, включающая множество игроков I и характеристическую функцию v над этим множеством, а так же множество Х дележей в условиях этой характеристической функции.
Теорема. Для того, чтобы вектор х = ( х1, х2, ... хn) был дележом в кооперативной игре < I, v >, необходимо и достаточно, чтобы
хi = v (i) + ai, ai ³ 0, i Î I;
å ai = v(I) - å v(i)
Нетрудно видеть, что компоненты вектора х удовлетворяют условию индивидуальной рациональности. Условие кооперативной рациональности
åxi = å v (i) + v(I) - å v(i) = v(I) также выполняется.
ai - это добавочный выигрыш игрока, получаемый за счет кооперации с другими участниками.
Важной отличительной чертой кооперативных игр является то, что для каждого игрока имеет значение не выигрыш коалиции в той или иной ситуации, а результат дележа, независящий от выбора стратегий. Поэтому этот класс игр называется нестратегическим.
В соответствии с приведенным определением можно построить бесконечное множество классических кооперативных игр. Для изучения их свойств игры делятся на непересекающиеся классы, внутри которых игры обладают одинаковыми или близкими свойствами.
Существующая классификация делит все кооперативные игры, прежде всего, на существенные и несущественные.
Несущественной игрой называется кооперативная игра, в которой характеристическая функция любой коалиции равна сумме характеристических функций любых подкоалиций.
v (КÈL) = v (К) + v (L), где K,LÎI, KÇL = Æ;
Существенными называются остальные игры.
Любая кооперативная игра с аддитивной (а не супераддитивной) характеристической функцией является несущественной, ее участники не заинтересованы в образовании коалиций, так как это не увеличивает их выигрыш (долю).
Признак аддитивности характеристической функции задается теоремой:
Теорема. Для того, чтобы характеристическая функция была аддитивной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство å v(i) = v(I).
Если в соответствии с этим признаком окажется, что рассматриваемая кооперативная игра несуществена, то характеристические функции легко можно найти по аддитивным формулам. Так же просто могут быть определены и дележи.
Теорема. В несущественной игре существуе только один дележ
( v(1), v(2),... v(n) ).
Во всякой существенной игре множество дележей бесконечно.
Это обьясняется тем, что в существенной игре обязательно существует
D = v(I) - å v(i) > 0,
которая может быть разделена между игроками бесконечным большим числом способов.
Игроки так же делятся на существенных и несущественных (болванов), а множества игроков - на носителей игры и множества болванов.
Существенным называется игрок i, если существует такая коалиция К, что
v(K) + v(i) < v(KÈi).
Болваном называется игрок i, если для любой коалиции KÌI cправедливо
v(K) + v(i) = v( KÈi).
Допустим, L - множество болванов (несущественных игроков) и LÌK, тогда
v(K) = v(K\ L) + å v(i), а если K = L, то v(K) = å v(i).
Существенные игроки образуют множество носителей игры, NÌI. Признаком этого для коалиции К является:
v(K) = v(KÇN) + å v(i) i ÎK\N.
3. Аффинно-эквивалентные игры.
Существенные и несущественные игры тоже делятся на классы.
Кооперативная игра с множеством игроков I и характеристической функцией v называется аффинно-эквивалентной игре с тем же множеством игроков и характеристической функцией v’, если найдутся такое положительное число k и произвольные вещественные ci ( i Î I ), что для любой коалиции KÌ L имеет место равенство:
v’(K) = k v(K) + å ci , iÎK.
При афинной эквивалентности v ~ v’ дележ x соответствует дележу х’ так, что: xi ’ = k xi + ci.
Иногда вместо аффинной эквивалентности самих кооперативных игр удобно говорить об аффинной эквивалентности их характеристических функций.
Введенное понятие эквивалентности кооперативных игр сходно с понятием стратегической эквивалентности бескоалиционных игр, но и имеет существенные отличия. Во-первых, в кооперативных играх не оговариваются стратегии для эквивалентных игр. Во-вторых, если в бескоалиционных играх в качестве функции выигрыша рассматривались платежи, то в кооперативных играх задаются характеристические функции, то есть максимально гарантированные выигрыши коалиции.
Выделенные пары аффинно-эквивалентных игр на всем множестве кооперативных игр образуют бинарные отношения, которые обладают свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, что позволяет судить о них как о классах эквивалентности. Следовательно, для изучения свойств какой-либо кооперативной игры достаточно рассмотреть одну, наиболее простую из соответствующего класса.