В целом, все принимаемые в теории принятия решений принципы оптимальности прямо или косвенно отражают идеи устойчивости, выгодности и справедливости.
Понятия устойчивости и выгодности в экономике легко формализуются. В общем виде говорят об условных принципах устойчивости и выгодности: полученное решение устойчиво с той точки зрения, что участникам процесса принятия решений не вывгодно от него отклоняться, а выгодно - потому, что все стремяться по возможности увеличить свой выигрыш или уменьшить проигрыш. Такое решение в ТПР называется равновесным, оно обеспечивает всем участникам максимально гарантированный выигрыш.
Если реализация принципов выгодности и устойчивости основана на исходных условиях задачи, то принцип справедливости устанавливается извне. Участники процесса принятия решений должны заранее их оговорить. Часто компромиссное решение, основанное на принципах справедливости не совпадает с равновесным.
В договоре между участниками может участвовать еще одно посторонее лицо: арбитр, который и предлагает компромиссное решение, отвечающее некоторым "принципам справедливости". Эти принципы часто формулируются в виде набора аксиом. Это трудная и важная задача, так как на этой системе аксиом строится все арбитражное решение. Система аксиом должна отвечать нормам морали общества, которые в значительной мере отражаются в существующем законодательстве, быть полной и непротиворечивой, то есть должна позволять получить решение и причем единственное. Арбитр, как всякий судья, должен обладать авторитетом и моральным правом принимать решения, то есть пользоваться безусловным доверием всех участников ППР. В противном случае принятое решение не будет выполняться, так как единственным стимулом к его выполнению является согласие, договоренность сторон. Если система аксиом выбрана и принята участниками ППР, то получение решения осуществляется формальными методами.
Глава1. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ
В качестве методов математического моделирования задач принятия решений в условиях определенности традиционно используются критериальный анализ, линейное и нелинейное программирование. Все эти подходы основаны на систематизированном анализе, в процессе которого используемые количественные оценки должны помочь ЛПР уяснить для себя, какой курс действий ему следует выбрать.
Линейное и нелинейное программирование используется в задачах с одним критерием выбора решения и набором ограничений на веденные переменные. В курсе ТПР эти задачи рассматниваютя как задачи однокритериального анализа, то есть частный случай многокритериального анализа.
1.1. Постановка задачи. Основные понятия.
При постановке задачи критериального анализа предполагается, что у ЛПР есть несколько вариантов выбора, несколько альтернатив u U, где U - множество всевозможных альтернатив, включающее не меннее двух элементов. В зависимости от характера задачи множество U может быть как непрерывным, так и дискретным. Если решается задача стратегического плана, то под u обычно понимается стратегия, то есть набор правил, определяющих состав и порядок действий в любой из возможных ситуаций, а множество U - в этом случае дискретно и конечно.
При решении задач тактического плана, например, выбора варианта какого-либо проекта, распределения средств между обьектами, определения состава различных видов городского транспорта множество U может быть как непрерывным, так и дискретным.
В нашем курсе будем полагать, что U дискретно и счетно, а u - эмпирический обьект, задаваемый "своим именем" ( например, названия банков ).
Выбор из множества альтернатив происходит на основании заранее заданной системы или функции предпочтений Р(р). В критериальном анализе предпочтения р задаются в виде некоторого набора характеристик, которые обозначаются k и называются критериями.
В общем виде: k - функция от альтернативы u: k(u)
U = ( u1 ,u2 ,...un ), n - число альтернатив
K(u) = ( k1 (u), k2(u),...km(u)), где m - число частных критериев ki(u)
1.Если m = 1 - однокритериальная задача, то есть задача линейного программирования.
2.Если m > 1, но k(u) P k(v) - тривиальный вариант, так как u всегда лучше v.
3.Если по одним критериям вариант u предпочтительнее варианта v, а по другим - наоборот, то это задача критериального анализа, способы решения которой будут расмотрены в этом курсе.
Введем обозначения: K (u) P K (v) - вариант u предпочтительнее, K (u) I K (v) - одинаковы по предпочтени,K(u) N K(v) - несравнимы.
1.2. Формирование критериальной системы.
Для формулировки задачи критериального анализа необходимо:
1. Четко сформулировать цель, задачу и требуемый результат
2. Классифицировать характеристики вариантов
3. Беспристрастно выбрать критерии
Требования к критериальной системе:
1. Соответствие критериев цели и задаче.
2. Критичность. Критерий должен быть "чувствительным" к изменению варианта выбора.
3. Вычислимость критериев.
4. Полнота и минимальность. С одной стороны, критериальная система должна как можно полнее описывать варианты выбора, но чем векторный критерий меньше, тем проще решается задача. Полнота критериальной системы формально означает, что введение дополнительного частного критерия не изменит вариант выбора, все частные критерии должны быть учтены.
5. Декомпозируемость. Векторный критерий должен допускать упрощение задачи путем перехода к рассмотрению отдельных частных критериев вне зависимости от других. Это требование сводится к вопросу о независимости частных критериев по предпочтению.
В каждом конкретной задаче необходимо проводить проверку критериев на независимость, которая сводится к следующему:
Если есть U = ( u,v,s,t ) - множество альтернатив и варианты u и v такие, что для "j ¹ i верно kj (u) = kj (v), а ki (u) ¹ ki (v), причем К(u) P К(v); варианты s и t такие, что для "j ¹ i верно kj (s) = kj (t) ¹ kj (u), при k i (s) = k i (u) , ki (t) = ki (v) . Если отсюда следует, что К (s) Р К(t), то говорят, что i-тый векторный критерий независим по предпочтению от всех частных критериев. В противном случае методически удобнее при решении таких задач перейти к новой постановке, где предпочтительным было бы изменение всех частных критериев, например в сторону увеличения. При этом, если в исходной постановке задачи для части критериев предпочтительнее меньшее значение, то в новой постановке значения таких критериев рассматриваются с противоположным знаком.
Независимость по предпочтению частных критериев дает возможность перейти от задачи сравнения векторных с m частными критериями к решению m однокретериальных задач сравнения частных критериев между собой. В реальных задачах допущение о независимости частных критериев по предпочтению зависит от характера решаемого вопроса. Например, если в качестве частных критериев используют затраты, надежность, прибыль, льготы, то для них всегда наиболее предпочтительным будет экстремальное значение ( min или max ) вне зависимости от других частных критериев.
Если частные критерии определяют структуру сравниваемых обьектов, то например, рост и вес человека, количество наземного и подземного транспорта в городе, количество тепловых, атомных и гидроэлектростанций, то они обычно зависимы по предпочтению.
Необходимо отметить, что переход от независимых частных критериев к зависимым иногда связан с более "тонким" анализом самих предпочтений.
1.3. Аксиома Парето и эффективные варианты.
Сравнение между собой векторных критериев представляет собой достаточно сложную проблему.
Пример. U = (u,v,s,t) - множество альтернатив
| k1 | k2 | k3 | |
| u | 5 | 3 | 7 |
| v | 4 | 3 | 6 |
| s | 5 | 2 | 7 |
| t | 6 | 3 | 1 |
k (u) ³ k (v), "i =1:3, поэтому K(u)P K(v).
k (u) ³ k (s), "i =1:3, поэтому K(u) P K(s), варианты s и v оказались доминируемыми, а остальные векторные оценки сравнить невозможно: k (u) N k (t) Таким образом все множество векторных оценок делится на два подмножества: эффективных { k(u),k(t)} и неэффективных { k(v), k(s)} векторных оценок. Из приведенного примера можно сделать важный вывод: если вариант имеет абсолютный max по какому-либо показателю, то он не может быть доминирован.
Аксиома Парето: Пусть даны две векторные оценки:
K(u)= ( k1 (u), k2 (u), ... km (u)) и
K(v)= ( k1 (v), k2 (v), ... km (v))
K(u) P K(v), если существует хотя бы одно j от 1 до m такое что:
" i ¹ j ki (u) I ki(v), или ki (u) P ki(v), а kj (u) P kj (v).
P - "предпочтительность в смысле Парето".
Все векторные оценки, для которых не существует более предпочтительных в смысле Парето векторных оценок, образуют множество Hо эффективных векторных оценок, а соответствующие варианты - множество vо - эфективных вариантов.
Для нашего примера: H = { K(u), K(v), K(s), K(t)}, Hо = { K(u), K(t)} - множество эффективных векторных оценок. Определение множеств эффективных векторных оценок обычно не позволяет получить в чистом виде решение задачи, но является важным и обязательным этапом, так как практически всегда происходит сокращение имеющихся вариантов, кроме того, для Hо и vо могут выполняться допущения не верные для H и v, то есть задача в дальнейшем может упрощаться за счет дополнительных правил или информации после сокращения.