Математичні методи та моделі в управлінні аграрним виробництвом (стр. 5 из 9)

Рис.4. - Загальний вигляд вікна "Ранжування систем"

Для збереження одержаної інформації в персональному комп’ютері натиснути кнопку "Зберегти", для виводу інформації на принтер натиснути кнопку "Друкувати".

6. Оптимізація використання комплексів машин

Загальні положення про лінійні оптимізаційні моделі

У практиці обґрунтування інженерних рішень важливе місце займають оптимізаційні задачі з використанням детермінованих моделей.

Кожна технічна система функціонує для досягнення певної мети, а ступінь її досягнення і вся сукупність операцій, що відбувається в системі мають кількісну міру, тобто можуть бути описані математично.

Структура оптимізаційної моделі в загальному випадку включає цільову функцію F (x), яку необхідно мінімалізувати або максималізувати, обмеження h_k (х) у вигляді рівнянь, обмеження g_j (x) у вигляді нерівностей, а також область S допустимих значень незалежних змінних х_і. Наприклад, якщо оптимізація передбачає мінімізацію цільової функції F (x), то математичну модель в загальному вигляді можна записати так:

F (x) = f (x₁, x₂,...,x_n) ®min; (1.1)

h_k (x) = 0,k = 1, 2,...,k; (1.2)

g_j (x) ³ 0,g = 1, 2,...,j; (1.3)

xiH£xi£xib, i = 1, 2,...,N;

де x_i^H, x_i^b - відповідно нижнє і верхнє значення і-ої змінної.

Оптимізаційні моделі можна класифікувати відповідно до вигляду функцій (1.1 - 1.3) та розмірності вектора х, тобто числом N змінних.

Задачу умовної оптимізації, в яких функції h_k (x) і g_j (x) є лінійними, входять у клас задач з лінійними обмеженнями. Якщо і цільова функція в них лінійна, то такі задачі відносяться до лінійного програмування.

Стандартна форма задач лінійного програмування

Серед методів багатомірної оптимізації з обмеженнями особливе місце займає лінійне програмування. Це пояснюється широким колом задач, що можуть бути зведені до лінійних моделей, а також розвинутим математичним і програмним забезпеченням методу лінійного програмування.

Задача лінійного програмування у стандартній формі має вигляд:

Z = C₁x₁ + C₂x₂ + … + C_nx_n®min

приa₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1nx_n = b₁ (1.4)

a_m1х₁ + a_m2x₂ + … + a_mnx_n = b_m

x₁³ 0,x₂³ 0,…x_n³ 0 (1.5)

b₁³ 0,b₂³ 0,…b_m³ 0

де

n	-	число незалежних змінних;
m	-	число обмежень;
ai, Ci	-	числові коефіцієнти при змінних хі.

Застосування загальних методів розв’язання задач лінійного програмування потребує зведення математичних моделей до певного однотипного вигляду.

Обмеження (1.4 - 1.5) можуть бути задані у вигляді нерівностей та рівнянь.

При цьому в нерівностях ліва і права частини можуть бути зв’язані знаками £ і ³.

Змінні, що входять у математичну модель, можуть бути додатними або не мати обмежень у знаку. Це народжує певну різноманітність математичних моделей, які можуть бути зведені до стандартної форми лінійних моделей, яка передбачає, що всі обмеження записуються у формі рівнянь з додатною правою частиною, значення всіх змінних моделі є додатними; цільову функцію потрібно мінімізувати або максимізувати.

Будь-яку лінійну модель можна звести до стандартної форми, використовуючи наступні прийоми.

Зведення нерівності до рівняння здійснюється шляхом введенням додаткової змінної, абсолютне значення якої дорівнює різниці між правою і лівою частинами. Ця змінна додається до лівої частини якщо має місце нерівність типу £.

Якщо вихідне обмеження є нерівністю типу ³, то додаткова змінна віднімається від лівої частини.

Значення правої частини рівняння повинно бути додатнім (не від’ємним). Якщо ця вимога не задовольняється, то ліву і праву частини рівняння множать на - 1.

Методика оптимізації використання комплексів машин методом лінійного програмування

Більшість технологічних операцій рільництва може бути виконана з використанням агрегатів на базі різних тракторів. Отже різні агрегати на виконанні однакових робіт мають різні техніко-експлуатаційніпоказники, що можуть істотно відрізнятися.

Тобто при обґрунтуванні складу комплексів машин є можливість вибирати різні варіанти використання сільськогосподарської техніки при виконанні однієї і тієї ж технологічної операції.

Оптимальним буде той варіант, який забезпечить мінімальні затрати ресурсів на виконання заданого обсягу робіт.

У загальному вигляді задачу оптимального використання комплексів машин можна сформулювати наступним чином:

у заданий календарний період (D днів) необхідно виконати певне число (m) технологічних, навантажувальних або транспортних операцій обсягом F_i (i=1, 2, …, m) (табл.4).

Для цього використовують n видів агрегатів j-го складу.

Годинна продуктивність j-го машинного агрегату (j=1, 2, …, n) становить W_ij.

Прямі експлуатаційні витрати на виконання i-тої операції j-м машинним агрегатом складають C_ij, витрати палива на одиницю роботи на виконання i‑тої технологічної операції j-м агрегатом складають G_ij.

Кількість агрегатів кожного складу дорівнює n_aj.

Тривалість зміни у період, що планується, становить - Т_зм.

Коефіцієнт змінності при виконанні операцій становить k_зм.

Таблиця 4

Вихідні дані задачі

Механізована робота	Обсяг робіт,F,га.	Машинний агрегат
		Продуктивність, Wij, га/год. / Прямі експлуатаційні затрати, Сij, грн/га. / Витрати палива, Gij, кг/га
		1	2	3	…	n
Навантаження МД	F1	W11/C11/G11	W12/C12 /G12	W13/C13/G13	…/…/…	W1n/C1n /G1n
Транспортування МД	F2	W21/C21/G21	W22/C22 /G22	W23/C23/G23	…/…/…	W2n/C2n /G2n
Внесення МД	F3	W31/C31/G31	W32/C32 /G32	W33/C33/G33	…/…/…	W3n/C3n /G3n
Оранка	F4	W41/C41/G41	W42/C42 /G42	W43/C43/G43	…/…/…	W4n/C4n /G4n
…	…	…	…	…	…/…/…	…
і-та операція	Fm	Wm1/Cm1/Gm1	Wm2/Cm2 /Gm2	Wm3/Cm3/Gm3	… / …/…	Wmn/Cmn /Gmn

Необхідно знайти оптимальний план розподілу обсягу робіт за окремими агрегатами, який забезпечив би мінімальні затрати ресурсів (затрат праці H_ij, витрати палива G_ij, прямих експлуатаційних затрат C_ij) на виконання всього обсягу робіт.

Побудову математичної моделі проводимо виходячи з того, що змінною величиною буде обсяг робіт Х_ij, що виконується всіма агрегатами j-го складу на і-тій операції за період D днів, а через Z - суму затрат ресурсів (затрат праці, витрати палива, прямих експлуатаційних затрат) на виконання всього обсягу робіт.

Цільову функцію виразимо залежністю:

при мінімізації затрат праці

при мінімізації витрати палива

при мінімізації прямих експлуатаційних затрат

Згідно з умовою задачі потрібно визначити такі значення Х_ij, щоб величина Z була мінімальною.

Можливі значення Х_ij будуть мати цілий ряд обмежень.

Зокрема Х_ij буде обмежене, в першу чергу, областю додатніх чисел, тобто

Друге обмеження стосується виконання повного обсягу робіт щодо кожної технологічної, навантажувальної або транспортної операції. Оскільки при виконанні і-тої операції можуть бути задіяні декілька складів агрегатів, то їх загальний виробіток Fi повинен дорівнювати:

Виробіток технологічних агрегатів дорівнює

X_ij = x_ij, га.

Виробіток навантажувальних агрегатів дорівнює

X_ij = H·x_ij, т.

Виробіток транспортних агрегатів дорівнює

X_ij = H·S·x_ij, т·км.

Трете обмеження стосується не перевищення тракторами j-го складу наявного фонду часу Ф_j в заданому періоді, тобто загальний час використання тракторів j-го виду за D днів неповинен перевищувати фонду їх робочого часу Ф_j:

Т_j ≤ Ф_j.

Час роботи агрегатів j-го типу на і-тій операції складає: