Теория принятия решений (стр. 7 из 12)

= –  = – = =

= –  = – = – = –

= 1 – 0  = 1 = – = 0

= –  = + = =

= 0 –  = –

Пересчитываем и заполняем строку оценок:

D0 =

= 1 * + 1 * = =

D1 =

c1 = 1 * + 1 *  1 =  =

D2 =

c2 = 1 * + 1 *  1 =  = =

D3 =

c3 = 1 * 1 + 1 * 0  1 = 0

D4 =

c4 = 1 * 0 + 1 * 1  1 = 0

D5 =

c5 = 1 * + 1 *  0 = =

D6 =

– c6 = 1  + 1  – 0 =

Повторяем 4-й этап. При проверке п. 1 видим, что все j ³ 0 . Следовательно, данный план {у3, у4} (в столбце "текущий базис") – оптимален. Больше пересчитывать симплекс-таблицу не нужно.

Решение задачи линейного программирования полностью содержится в последней симплекс-таблице.

Значения переменных находятся в столбце А0 возле соответствующих переменных. В нашем случае, мы видим, что у3 =

, у4 = . Переменные у1 и у2 не входят в базис, поэтому их значения будут равны нулю. Таким образом, вектор переменных будет выглядеть так: Y = .

Значение целевой функции – это значение оценки 0 . В нашем случае g = 0 =

.

Значения двойственных переменных находятся в строке оценок возле искусственных переменных. В нашем случае это 5 и 6 , то есть х1 =

, х2 = . Таким образом, вектор двойственных переменных будет выглядеть так:Х = .

Итак, мы получили решение прямой задачи (которая у нас была двойственной): Y =

и двойственной задачи к данной (которая у нас была прямой):

Х =

Значения целевых функций при этом будут совпадать:f = g =

.

Найдем цену игры:n =

=

Далее найдем коэффициенты смешанной стратегии

для первого игрока по формуле рi =

:

Р =

= ,

для второго игрока по формуле qi =

:

Q =

= .

Особо "продвинутые" студенты при нахождении решения задачи линейного программирования, чтобы не считать симплекс-метод вручную академическим способом, могут воспользоваться средствами MS Excel. Это гораздо быстрее и удобнее.#

Ответ: смешанная стратегия для первого игрока Р =

,

смешанная стратегия для второго игрока Q =

,

цена игры n =

.

4.2.3 Решение задачи графическим методом

Симплекс-методом можно найти решение матричной игры произвольной размерности. Графическим же способом найти решение можно лишь для игры размерности 2 х n.

В ответе мы должны получить смешанные стратегии – два вектора PA = (p1, p2) и QB = (q1, q2, …, qn). Причем, p2 = 1 – p1.

В этом случае выигрыш игрока А, соответствующий j-той чистой стратегии игрока В, будет вычисляться по формуле:

aj* = a1j p1 + a2j p2 = a1j p1 + a2j (1 – p1) = (a1j – a2j) p1 + a2j

Нахождение наименьшего гарантированного выигрыша для игрока А подразумевает минимизацию данного выражения.

По условию наша игра имеет размерность 2 х n. То есть j =

. В итоге будем иметь n аналогичных выражений, которые надо минимизировать. После этого согласно принципу максимина из найденных минимумов нужно выбрать наибольший:

a =

Решим графическим способом предыдущий числовой пример.