Прогнозирование емкости и коньюктуры рынка (стр. 3 из 4)

t	y	t2	yt
1	11,9	1	11,9
2	12,6	4	25,2
3	12,2	9	36,6
4	13,9	16	55,6
5	14,3	25	71,5
6	14,6	36	87,6
7	15,3	49	107,1
8	14,4	64	115,2
9	15,8	81	142,2
10	16,7	100	167
11	17,4	121	191,4
12	16,1	144	193,2
78	175,2	650	1204,5

Для нахождения параметров строится система нормальных уравнений.

=(175,2*650-78*1204,5)/(12*650-78*78)=11,614;

=(12*1204,5-175,2*78)/(12*650-78*78)=-0,459

Расчет параметров параболического тренда

_t= а₀ + а₁t + a₂t² по исходным данным методом МНК.

t	y	t2	yt	t4	yt2	t3
1	11,9	1	11,9	1	11,9	1
2	12,6	4	25,2	16	50,4	8
3	12,2	9	36,6	81	109,8	27
4	13,9	16	55,6	256	222,4	64
5	14,3	25	71,5	625	357,5	125
6	14,6	36	87,6	1296	525,6	216
7	15,3	49	107,1	2401	749,7	343
8	14,4	64	115,2	4096	921,6	512
9	15,8	81	142,2	6561	1279,8	729
10	16,7	100	167	10000	1670	1000
11	17,4	121	191,4	14641	2105,4	1331
12	16,1	144	193,2	20736	2318,4	1728
78	175,2	650	1204,5	60710	10322,5	6084

Для нахождения параметров строится система нормальных уравнений.

na₀ + a₁St + a₂St² = Sy;

a₀St + a₁St² + a₂St³ = Syt;

a₀St² + a₁St³ + a₂St⁴ = Syt².

а0 =	SySt2St4 + StSt3Syt2 + SytSt3St2 – StSytSt4 – St3St3Sy – St2St2Syt2	.
	nSt2St4 + StSt3St2 + StSt3St2 – St2St2St2 – St3St3n – StStSt4

а0 =	175,2× 650 × 60710 + 78 × 6084 ×10322,5 + 1204,5× 6084 × 650 – 78 ×1204,5× 60710 –
	12 × 650 × 60710 + 78 × 6084 × 650 + 78 ×6084× 650 – 650 × 650 × 650 –

– 6084 × 6084 ×175,2 – 650 × 650 ×10322,5	= 11,12.
– 6084 × 6084 × 12 – 78 × 78 × 60710

а1 =	n Syt St4 + St Syt2St2 + Sy St3St2 – St2Syt St2 – Syt2St3 n – Sy St St4	.
	n St2St4 + St St3St2 + St St3St2 – St2St2St2 – St3St3 n – St St St4

а1 =	12 ×1204,5× 60710 + 78×10322,5× 650 + 175,2 × 6084 × 650 – 650 ×1204,5× 650 –
	12 × 650 × 60710 + 78 × 6084 × 650 + 78 × 6084 × 650 – 650 × 650 × 650 –

– 10322,5× 6084 × 12 – 175,2 × 78 × 60710	= 0,67.
– 6084 × 6084 × 12 – 78 × 78 × 60710

а2 =	nSt2Syt2 + StSt3Sy + StSytSt2 – SySt2St2 – SytSt3n – StStSyt2	.
	n St2St4 + St St3St2 + St St3St2 – St2St2St2 – St3St3 n – St St St4

а2 =	12 × 650×10322,5 + 78×6084 × 175,2 + 78×1204,5× 650 – 175,2×650×650 –
	12 × 650 × 60710 + 78 × 6084 × 650 + 78 ×6084× 650 – 650 × 650 × 650 –

– 1204,5× 6084 ×12 – 78×78×10322,5	= -0,016.
– 6084 × 6084 × 12 – 78 × 78 × 60710

Таким образом, параболический тренд имеет следующий вид:

_t= 11,12 + 0,67 ×t - 0,016 ×t².

Рис. 4. Еженедельный оборот магазина «Ткани для дома» (исходный ряд, линейный и параболический тренд)

Проведем оценку аппроксимации линейного тренда и выбранной параболической трендовой модели с помощью критерия наименьшей суммы квадратов отклонений, который имеет следующий вид:

S =	S(yt – )2	Þ min
	n – m

где n – количество уровней ряда; m – число параметров трендовой модели.

t	yt	Линейный тренд		Параболический тренд
		t	(yt – t)2	t	(yt – t)2
1	11,9	12,21	0,0961	11,774	0,015876
2	12,6	12,62	0,0004	12,396	0,041616
3	12,2	13,03	0,6889	12,986	0,617796
4	13,9	13,44	0,2116	13,544	0,126736
5	14,3	13,85	0,2025	14,07	0,0529
6	14,6	14,26	0,1156	14,564	0,001296
7	15,3	14,67	0,3969	15,026	0,075076
8	14,4	15,08	0,4624	15,456	1,115136
9	15,8	15,49	0,0961	15,854	0,002916
10	16,7	15,9	0,64	16,22	0,2304
11	17,4	16,31	1,1881	16,554	0,715716
12	16,1	16,72	0,3844	16,856	0,571536
-	-	173,58	4,483	175,3	3,567

Для линейного тренда

S =	4,483	= 0,4483.
	12 – 2

Для параболического тренда

S =	3,567	= 0,396.
	12 – 3

0,4483 > 0,396; Þ параболическая модель наилучшим образом аппроксимирует исходный временной ряд.

5)

t	yt		et	Pt	et2	(et – t) 2	(et – et-1) 2
1	11,9	12,21	-0,31	–	0,0961	0,198025	–
2	12,6	12,62	-0,02	1	0,0004	0,024025	0,166
3	12,2	13,03	-0,83	1	0,6889	0,931225	0,107
4	13,9	13,44	0,46	1	0,2116	0,105625	0,200
5	14,3	13,85	0,45	0	0,2025	0,099225	0,870
6	14,6	14,26	0,34	1	0,1156	0,042025	0,045
7	15,3	14,67	0,63	1	0,3969	0,245025	0,000
8	14,4	15,08	-0,68	1	0,4624	0,664225	0,529
9	15,8	15,49	0,31	0	0,0961	0,030625	0,306
10	16,7	15,9	0,8	0	0,64	0,442225	0,111
11	17,4	16,31	1,09	1	1,1881	0,912025	1,182
12	16,1	16,72	-0,62	–	0,3844	0,570025	0,352
S	175,2	173,58	1,62	7	4,483	4,2643	3,868

Найдем величины случайных отклонений для исходного ряда по формуле: e_t = y_t –

_t.

Построим график ряда отклонений e_t (рис. 5).

Рис. 5. График ряда отклонений e_t

Из графика видно, что в ряде отклонений e_t отсутствует тенденция.

Оценим адекватность выбранной трендовой модели (параболы) исходному ряду на основе анализа ряда отклонений e_t.

1) Колебание величины e_t носит случайный характер. Выполнение этого условия означает, что величина e_t не содержит элементов тренда. Проверим это условие с помощью критерия поворотных точек. Точка считается поворотной, если выполняется одно из следующих условий:

e_t-1 < e_t > e_t+1

e_t-1 > e_t < e_t+1

Обозначим поворотные точки как Р_t = 1. В противном случае P_t = 0. Найдем сумму всех поворотных точек P = SP_t.

Выдвинем нулевую гипотезу – Н₀: колебание величины et носит случайный характер. Для проверки нулевой гипотезы рассчитаем математическое ожидание и дисперсию поворотных точек.

М(Р) =	2 (n – 2)	=	2 × (12 – 2)	= 6,667.
	3		3