Метод экспертных оценок (стр. 6 из 11)

Рассмотрим случай, когда величины

получены методами непосредственной оценки или последовательного сравнения, т. е. являются числами, или баллами. Для получения групповой оценки объектов в этом случае можно (воспользоваться средним значением оценки для каждого объекта [12]

(5.1)

где

- коэффициенты весов показателей сравнения объектов, - коэффициенты компетентности экспертов. Коэффициенты весов показателей и компетентности объектов являются нормированными величинами [12]

(5.2)

Коэффициенты весов показателей могут быть определены экспертным путем. Если

- коэффициент веса h-го показателя, даваемый j-м экспертом, то средний коэффициент веса h-го показателя по всем экспертам равен [12]

(5.3)

Получение групповой экспертной оценки путем суммирования индивидуальных оценок с весами компетентности и важности показателей при измерении свойств объектов в кардинальных шкалах основывается на предположении о выполнении аксиом теории полезности фон Неймана-Моргенштерна как для индивидуальных, так и для групповой оценки и условий неразличимости объектов в групповом отношении, если они неразличимы во всех индивидуальных оценках (частичный принцип Парето). В реальных задачах эти условия, как правило, выполняются, поэтому получение групповой оценки объектов путем суммирования с весами индивидуальных оценок экспертов широко применяется на практике.

Коэффициенты компетентности экспертов можно вычислить по апостериорным данным, т. е. по результатам оценки объектов. Основной идеей этого вычисления является предположение о том, что компетентность экспертов должна оцениваться по степени согласованности их оценок с групповой оценкой объектов.

Алгоритм вычисления коэффициентов компетентности экспертов имеет вид рекуррентной процедуры [12]:

(5.4)

(5.5)

(5.6)

Вычисления начинаются сt=1. В формуле (5.4) начальные значения коэффициентов компетентности принимаются одинаковыми и равными

Тогда по формуле (5.4) групповые оценки объектов первого приближения равны средним арифметическим значениям оценок экспертов [12]

(5.7)

Далее вычисляется величина

по формуле (5.5) [12]:

(5.8)

и значение коэффициентов компетентности первого приближения по формуле (5.6) [12]:

(5.9)

Используя коэффициенты компетентности первого приближения, можно повторить весь процесс вычисления по формулам (5.4), (5.5), (5.6) и получить вторые приближения величин

Повторение рекуррентной процедуры вычислений оценок объектов и коэффициентов компетентности естественно ставит вопрос о ее сходимости. Для рассмотрения этого вопроса исключим из уравнений (5.4), (5.6) переменные

и и представим эти уравнения в векторной форме [12]

(5.10)

где матрицыВразмерности

и С размерности равны [12]

(5.11)

Величина

в уравнениях (5.10) определяется по формуле (5.5).

Если матрицы В и С неотрицательны и неразложимы, то, как это следует из теоремы Перрона – Фробениуса, при

векторы и - сходятся к собственным векторам матриц В и С, соответствующим максимальным собственным числам этих матриц [12]

(5.12)

Предельные значения векторов х иk можно вычислить из уравнений [12]:

(5.13)

где

максимальные собственные числа матриц Ви С.

Условие неотрицательности матриц В и С легко выполняется выбором неотрицательных элементов

матрицы Х оценок объектов экспертами.

Условие неразложимости матриц В и С практически выполняется, поскольку, если эти матрицы разложимы, то это означает, что эксперты и объекты распадаются на независимые группы. При этом каждая группа экспертов оценивает только объекты своей группы. Естественно, что получать групповую оценку в этом случае нет смысла. Таким образом, условия неотрицательности и неразложимости матриц Ви С, а следовательно, и условия сходимости процедур (5.4), (5.5), (5.6) в практических условиях выполняются.

Следует заметить, что практическое вычисление векторов групповой оценки объектов и коэффициентов компетентности проще выполнять по рекуррентным формулам (5.4), (5.5), (5.6). Определение предельных значений этих векторов по уравнению (5.13) требует применения вычислительной техники.

Рассмотрим теперь случай, когда эксперты производят оценку множества объектов методом ранжирования так, что величины

есть ранги. Обработка результатов ранжирования заключается в построении обобщенной ранжировки. Для построения такой ранжировки введем конечномерное дискретное пространство ранжировок и метрикув этом пространстве. Каждая ранжировка множества объектов j-м экспертом есть точка в пространстве ранжировок.

Ранжировку

можно представить в виде матрицы парных сравнений, элементы которой определим следующим образом [12]:

Очевидно, что

, поскольку каждый объект эквивалентен самому себе. Элементы матрицы антисимметричны .

Если все ранжируемые объекты эквивалентны, то все элементы матрицы парных сравнений равны нулю. Такую матрицу будем обозначать

и считать, что точка в пространстве ранжировок, соответствующая матрице , является началом отсчета.

Обращение порядка ранжируемых объектов приводит к транспонированию матрицы парных сравнений.

Метрика

как расстояние между i-й и j-й ранжировками определяется единственным образом формулой [12]

если выполнены следующие 6 аксиом [12]:

1.

причем равенство достигается, если ранжировки и тождественны;

2.

3.

причем равенство достигается, если ранжировка «лежит между» ранжировками

и . Понятие «лежит между» означает, что суждение о некоторой паре объектов в ранжировке совпадает с суждением об этой паре либо в , либо в или же в в а в