Средства визуализации изображений в компьютерной томографии и цифровых рентгенографических системах (стр. 8 из 11)
.Интеграл по r есть преобразование Фурье от r ++. Используя таблицы для преобразования Фурье обобщенных функций [19], приходим к выражению (2.1.3).
Для действительных функций f(x) в формуле (2) нужна мнимая часть
: 
.Используя обобщенные функции, сосредоточенные на поверхности [19], получаем следующее следствие:
.Здесь S(x ) = {g Î S2½(x , g ) = 0),
v производная по направлению x . Подставляя в (2.1.2) функции 
и 
, зависящие от параметра l , получаем формулу обращения, пригодную для построения численных алгоритмов: 
(2.1.4)Здесь S(x ) v окружность, являющаяся пересечением единичной сферы и плоскости P(b ). Плоскость P(b ) проходит через начало координат ортогональна вектору b . Символ W (x ) означает интегрирование по окружности. Оператор L(b , D) означает дифференцирование функции
в направлении вектора b : 
,при этом l , зависящее от b и x, остается фиксированным.
Как и выше, b = b (q , j ) = (cosq cosj , cosq sinj , sinq ), l = l (q , j ) = l (x, b ) такое, что скалярное произведение (x, b ) равно (b , g (l )) и (b , g /(l )).
В формуле (4) используются регулярные функции, и она пригодна для построения численных алгоритмов.
Замечание. А.С. Денисюком независимо и другим методом, без явного использования преобразования Фурье обобщенных функций, получены формулы обращения функции g+ в Rn . При n = 3 формулы А.С. Денисюка и формулы, получаемые изложенным способом из формулы Туя, совпадают.
Выше были получены формулы, позволяющие строить численные алгоритмы восстановления функции f(x) = f(x1, x2, x3) по ее лучевому преобразованию
Далее мы будем опускать символ f и использовать обозначение
.При фиксированном S функция
является функцией в трехмерном пространстве, но в силу ee однородности существуют поверхности, такие что 
полностью определяется своими значениями на них (поверхности расположения приемников излучения).Исходные данные в виде функции
удобно использовать, если матрица приемников расположена на сфере. Однако в реальных ситуациях матрицу приемников обычно располагают на плоскости или поверхности цилиндра. В этих случаях удобно использовать несколько иной вид исходных данных.Плоский детектор.
Мы будем предполагать, что для источника, находящегося в точке S = (s1, s2, s3), исходные данные регистрируются в плоскости P, определяемой уравнением xs1 + ys2 + zs3 = -½S½. Плоскость P, определяется следующими условиями:
плоскость P перпендикулярна лучу, соединяющему источник с началом координат;
плоскость P проходит через точку S= (s1, s2, s3.)
Расстояние D между плоскостью регистрации и источником равно удвоенному расстоянию от источника до начала координат. В плоскости регистрации будем использовать прямоугольную систему координат (p1, p2), начало которой находится в точке пересечения с лучем, соединяющим источник с точкой (0, 0, 0). Таким образом, если источник находится в точке S = (s1, s2, s3), то начало системы координат (p1, p2) в плоскости наблюдения находится в точке с трехмерными координатами -s1, -s2, -s3 =- S.
При реконструкции в конусе лучей наиболее распространенными примерами траекторий источника являются винтовая линия и совокупность двух окружностей лежащих в пересекающихся плоскостях.
Траектория в виде двух окружностей.
Рассмотрим окружность, лежащую в плоскости z =0.
Направление оси p2 в плоскости регистрации будет совпадать с направлением оси z.
Ось p1 системы координат возьмем на линии пересечения плоскости регистрации с плоскостью, содержащей окружность, по которой движется источник. Для окончательного определения системы координат необходимо выбрать одно из двух возможных направлений оси p1. Если s3 = 0, s1 = r cosl , s2 = r sinl (источник движется в плоскости z =0), то положительный единичный вектор на оси p1 выберем так, чтобы он совпадал с вектором (cos(l +p /2), sin(l +p /2), 0) = (-sinl , cosl , 0) = (-s2/½S½, s1/½S½, 0).
Точка, имеющая в плоскости регистрации координаты (p1, p2), имеет следующие пространственные координаты:
x = -p1 sinl - r cosl = -p1s2 /½S½- s1 ,
y = p1 cos l - r sinl = p1s1 /½S½- s2 , z = p2.
В случае плоского детектора, исходными данными являются интегралы по лучам, соединяющим точки (p1, p2) в плоскости регистрации с источником S.
Регистрируемая функция gr(p1, p2, l ) есть интеграл от искомой функции f(x) = f(x1, x2, x3) вдоль луча исходящего из точки S = (s1, s2, s3) = (rcosl , r sinl , 0) в направлении точки
P = (-p1 sin l - rcosl , p1 cosl - r sinl , p2 ) = (-p1s2/½S½v s1, p1s1/½S½v s2, p2).
Интегральная форма регистрируемой функции имеет вид:
При t = 0 луч проходит через точку S = (rcosl , rsinl , 0), при t = 1 v через точку P = (p1, p2) = (-p1 sin l - rcosl , p1 cosl - r sinl , p2).
Итак, мы имеем соотношение между функциями gr(p1, p2, l ) и
: 
, 
.Наряду с обозначением gr(p1, p2, l ), мы будем использовать обозначения gr(p1, p2, S(l )), gr(p1, p2, S) и gr(P, S) , здесь S(l ) точка на траектории источника, соответствующая параметру l , P = (p1, p2). Мы выразили функцию gr(p1, p2, l ) через функцию
= g+ (x , l ).В формуле обращения лучевого преобразования используется функция g+ (x , l ) =
для того, чтобы использовать gr(p1, p2, l ), регистрируемую в случае плоского детектора, нужно выразить g+ (x , l ) используя gr(p1, p2, l ).Для дальнейшего нам потребуются координаты (p1, p2) (в системе координат плоскости регистрации) точки пересечения плоскости регистрации данных с лучем (S +tx ) = (s1 + tx 1, s2 + tx 2, s3 + tx 3). Эти координаты имеют вид:
. 
.Теперь мы можем выразить
используя gr(p1, p2, l ): = g+ (x , l ) = gr(2 ½S(l )½ (s2(l )x 1 v s1(l )x 2) / 
, -2½S(l )½ 2x 3 / ,l ),если
< 0, = 0, если ³0.Итак, мы имеем следующее соотношение между функциями:
g+ (P, l ) и
= g+ (x , l ); P = (p1, p2), x = (x 1, x 2, x 3,); = g+ (x , l ) == gr(2 ½S(l )½ (s2(l )x 1 v s1(l )x 2) /
, - 2½S(l )½ 2x 3 / ,l ),если
< 0,