Консолидирование задолженности (стр. 2 из 2)
Эквивалентными считаются такие платежи, которые, будучи "приведены" к одному моменту времени, оказываются равными. Приведение осуществляется путем дисконтирования к более ранней дате или, наоборот, наращения суммы платежа (если эта дата относится к будущему). Если при изменении условий принцип финансовой эквивалентности не соблюдается, то одна из участвующих сторон терпит ущерб, размер которого можно заранее определить. По существу, принцип эквивалентности следует из формул наращения и дисконтирования, связывающих величины Р (первоначальная сумма долга) и S (наращенная сумма, или сумма в конце срока), Сумма Р эквивалентна S при принятой процентной ставке и методе ее начисления. Две суммы денег S1 и S2, выплачиваемые в разные моменты времени, считаются эквивалентными, если их современные (или наращенные) величины, рассчитанные по одной и той же процентной ставке и на один момент времени, одинаковы. Замена S1 на S2 в этих условиях формально не изменяет отношения сторон.
Сравнение платежей предполагает использование некоторой процентной ставки, и, следовательно, результат зависит от выбора ее величины. Однако, что практически весьма важно, такая зависимость не столь жестка, как это может показаться на первый взгляд. Допустим, что сравниваются два платежа S1 и S2 сроками n1 и n2 , измеряемыми от одного момента времени, причем S1 < S2 и n1 < n2. Их современные стоимости Р1 и Р2 в зависимости от размера процентной ставки показаны на рис. 3.1.
С ростом i величина Р уменьшается, причем при i = i0 наблюдается равенство Р1 = Р2. Для любой ставки i < i0 Р1 < Р2. В свою очередь, при i > i0 Р1 > Р2. . Таким образом, результат сравнения зависит от критического (барьерного) размера ставки, равного i0. Определим величину этой ставки. На основе равенства современных стоимостей сравниваемых платежей
S1 S21 + n1 i0 1 + n2 i0
Находим
(1)
рис. 1.
Из формулы (1) следует, что чем больше различие в сроках, тем больше величина i0 при всех прочих равных условиях. Рост отношения S1/S2 оказывает противоположное влияние.
Если дисконтирование производится по сложной ставке, то критическую ставку найдем из равенства
S1 (1+ i0) = S2 (1+ i0)
Получим:
(2)
Принцип эквивалентности применяется при различных изменениях условий выплат денежных сумм.
Общий метод решения подобного рода задач заключается в разработке так называемого уравнения эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к какому-либо моменту времени, приравнивается к сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате. Для краткосрочных обязательств приведение осуществляется обычно на основе простых ставок, для средне- и долгосрочных — с помощью сложных ставок. Заметим, что в простых случаях часто можно обойтись без специальной разработки и решения уравнения эквивалентности.
Одним из распространенных случаев изменения условия является консолидация (объединение) платежей. Пусть платежи S1, S2, …, Sm со сроками n1, n2, …, nm заменяются одним в сумме So и сроком n0. В этом случае возможны две постановки задачи: если задается срок n0, то находится сумма So, и наоборот, если задана сумма консолидированного платежа So, то определяется срок n0.
При определении суммы консолидированного платежа уравнение эквивалентности имеет простой вид. В общем случае, когда n1< n2, <…<. nm , причем n1< n0 < nm , искомую величину находим как сумму наращенных и дисконтированных платежей. При применении простых процентных ставок получим:
(3)
где Sj — размеры объединяемых платежей со сроками ni< n0;
Sk - размеры платежей со сроками n k > n0;
В частном случае, когда n0 > nm
(4)
При объединении обязательств можно применить и учетные ставки. В этом случае при условии, что все сроки выплат пролонгируются, т.е. n0 > nj , находим сумму наращенных по учетной ставке платежей:
So = å Sj (1- tj d )
В общем случае имеем
So = å Sj (1- tj d ) + å Sk (1- tk d )
Здесь tj, tk имеют тот же смысл, что и выше.
Консолидацию платежей можно осуществить и на основе сложных ставок. Вместо формулы (3) получим для общего случая
( n1 < nо< nm )
So = å Sj (1+ t ) + å Sk (1 + i ) (5)
Если при объединении платежей задана величина консолидированного платежа So, то возникает проблема определения его срока n0. В этом случае уравнение эквивалентности удобно представить в виде равенства современных стоимостей соответствующих платежей.
При применении простой ставки это равенство имеет вид:
So (1+ n0i ) = å Sj (1+ nj i )
Отсюда
(6)
Очевидно, что решение может быть получено при условии, что Sо > å Sj (1+ nj i )
Иначе говоря, размер заменяющего платежа должен быть больше суммы современных стоимостей заменяемых платежей. Искомый срок пропорционален величине консолидированного платежа.
При консолидации платежей на основе сложных процентных ставок уравнение эквивалентности будет следующим:
So (1 + i) = å Sj (1+ i )
Для упрощения дальнейшей записи можно принять:
Q = å Sj (1+ i )
Тогда
(7)
Решение существует, если соблюдено условие So > Q. Для частного случая, когда Sо = å Sj при определении срока консолидирующего платежа вместо формулы (7) иногда применяют средний взвешенный срок:
(8)
Привлекательность этой формулы, помимо ее простоты, состоит в том, что она не требует задания уровня процентной ставки. Она дает приближенный результат, который больше точного. Чем выше ставка i, тем больше погрешность решения по формуле (8).
Список литературы
1. Ковалев В.В. Финансовый анализ: Управление капиталом. Выбор инвестиций. Анализ отчетности. – М.: Финансы и статистика, 1997. –512 с.
2. Малыхин В.И. Финансовая математика.: Учеб. пос. для вузов. – М.: ЮНИТИ – ДАНА,1999.- 247 с.
3. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. – 2-е изд., испр. и доп. – М.: «Дело Лтд», 1995. – 320 с.