Понятно, что невозможно составить таблицу критических значений для всех матриц, так что приходится использовать обходные способы применения таких тестов. В тесте Дарбина — Уотсона используются для этого верхняя и нижняя (две) границы, которые уже зависят только от количества наблюдений, регрессоров и уровня значимости, таким образом, их уже можно «затабулировать» (составить для них таблицы). Правда, применение их (границ) далеко не всегда просто! Все ясно, когда соответствующая статистика (эмпирическое, или рассчитанное распределение) Дарбина — Уотсона меньше нижней границы, то отвергается нулевая гипотеза и принимается альтернативная гипотеза. Если же тест больше верхней границы, то принимается первая (нулевая) гипотеза. Но если тест попадает между этими границами, ситуация становится неопределенной: непонятно как выбрать одну из двух гипотез. К сожалению, ширина этой неопределенной зоны вполне может быть довольно пространной. Естественно, что поэтому пытались и небезуспешно построить тесты, сужающие такую зону неопределенности.
Вернемся теперь к проблеме выявления основной зависимости. Для этого существуют различные методы. Это могут быть качественные методы и качественный анализ исследуемых временных рядов, в т.ч. построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени. Это могут быть методы сопоставления двух параллельных рядов и методы укрупнения интервалов. Поскольку они носят достаточно качественный характер, суть их понятна из названия и к тому же они приводятся в курсах статистики, не будем останавливаться на них подробно.
3. Методы автокорреляции
3.1 Метод скользящего окна
Несколько более гибок и опирается на количественные (аналитические) инструменты анализа метод скользящей средней, или скользящего окна. В нем последовательно рассчитывается вместо одного полного среднего для всех наблюдений ряд так называемых частных средних для трех, пяти наблюдений или более, номера которых постоянно сдвигаются вправо (в сторону увеличения). Таким образом, получается последовательность частных средних, которая отсеивает несущественные флуктуации и способна легче обнаружить тренд, чем данные исходного ряда.
Очевидно также, что при описанном выше использовании коэффициентов автокорреляции уровней ряда для выявления тренда используется сравнение коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Ясно, что при наличии линейного тренда соседние уровни ряда тесно коррелируют. Для нелинейного тренда дело обстоит сложнее, но нередко может быть упрощено сведением к линейному случаю соответствующим преобразованием переменных.
3.2 Метод аналитического выравнивания
Основным способом моделирования и изучения таким образом основной тенденции временного ряда (ряда динамики) является аналитическое выравнивание временного ряда. При этом строится аналитическая функция, характеризующая зависимость уровней ряда динамики от времени. Эта функция называется также трендом. Сам такой способ выявления основной тенденции называется аналитическим выравниванием. Ранее были описаны различные способы определения типа тренда. В целом построение модели тренда включает следующие основные этапы:
1) выравнивание исходного ряда методом скользящей средней
2) расчет сезонной компоненты;
3) устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в модели;
4) аналитическое выравнивание уровней и расчет значений тренда с использованием полученного уравнения тренда;
5) расчет полученных по модели значений, генерируемых трендом и сезонной компонентой;
6) расчет абсолютных и относительных ошибок.
В качестве основной тенденции выдвигается гипотеза о некоторой аналитической функции, выражающей данную зависимость. Но ведь требуется еще определить коэффициенты (параметры) данной зависимости. Для определения (оценивания) параметров тренда используется обычный МНК. Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее значение скорректированного коэффициента детерминации.
Для устранения тренда применяют метод отклонений от тренда, в ходе которого вычисляются значения тренда для каждого ряда динамики модели и отклонения от тренда. Для последующего анализа уже применяют не исходные данные, а отклонения от тренда.
Другой способ устранения тренда — это метод последовательных разностей. Если тренд линейный, то исходные данные заменяются первыми разностями, которые в этом случае равны просто коэффициенту регрессии b, сложенному с разностью соответствующих случайных компонент. Если тренд параболический, то исходные данные заменяются вторыми разностями. В случае экспоненциального и степенного тренда метод последовательных разностей применяется к логарифмам исходных данных. Не следует упускать из виду и уже обсуждавшуюся выше автокорреляцию в остатках. Для выявления автокорреляции остатков используется критерий Дарбина — Уотсона.
Критерий Дарбина-Уотсона представляет собой распространенную статистику, предназначенную для тестирования наличия автокорреляции остатков первого порядка после сглаживания ряда или в регрессионных моделях.
Численное значение коэффициента равно
d = [( e(2)- e(1)) 2 + ... + ( e( n)- e( n -1)) 2]/[ e(1) 2 + ... + e(n) 2],
где e( t) - остатки.
Возможные значения критерия находятся в интервале от 0 до 4, причем табулированы его табличные пороговые значения для разных уровней значимости (Лизер, 1971).
Значение d близко к величине 2*(1 - r 1), где r - выборочный коэффициент автокорреляции для остатков. Соответственно, идеальное значение статистики - 2 (автокорреляция отсутствует). Меньшие значения соответствуют положительной автокорреляции остатков, большие - отрицательной.
4. Модели с распределенным лагом
Рассматриваются также и эконометрические модели, содержащие не только текущие, но и лаговые (учитывающие запаздывание) значения факторных переменных. Эти модели так и называются моделями с распределенным лагом. Если максимальная величина лага конечна, то для такой модели зависимость имеет довольно простой вид. Это просто сумма свободного члена и произведений коэффициентов (регрессии) на факторные переменные (в текущий момент, в предшествующий момент, в предпредшествующий момент и т.д.). Естественно, имеется еще и случайный член. Последовательные суммы соответствующих коэффициентов при значениях факторов в различные моменты времени называются промежуточными мультипликаторами. Для максимального лага воздействие фактора на результативное переменное описывается полной суммой соответствующих коэффициентов, которая и называется долгосрочным мультипликатором. После деления этих коэффициентов на долгосрочный мультипликатор получаются относительные коэффициенты модели с распределенным лагом. По формуле средней арифметической взвешенной получают величину среднего лага модели множественной регрессии. Эта величина представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент t. Имеется также медианный лаг — период, в течение которого с момента времени t будет реализована 1/2 общего воздействия фактора на результат.
Во многих практически интересных ситуациях выявление тренда (при всей важности этого) вовсе не является завершением исследования структуры ряда и требуется по крайней мере обнаружение и изучение еще циклической (сезонной) составляющей. Проще всего для решения подобных задач использовать метод скользящей средней, далее построить аддитивную или мультипликативную модель временного ряда. Если амплитуда сезонных колебаний (или циклических колебаний) приблизительно постоянна, то строят аддитивную модель временного ряда, в котором значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, то строят мультипликативную модель. В мультипликативной модели уровни ряда зависят от значений сезонной компоненты.
В остальном схема во многом аналогична приведенной выше с очевидными модификациями. Именно процесс построения модели включает следующие шаги:
1) выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;
2) расчет значений сезонной компоненты;
3) устранение сезонной компоненты из исходных уровней.
После этого наступает очередь шагов второго уровня:
4) получение выровненных данных в аддитивной или мультипликативной модели соответственно;
5) аналитическое выравнивание этих, один раз уже выровненных уровней суперпозиции компонент тренда и циклической и расчет значений тренда в этой усовершенствованной модели с использованием полученного уравнения тренда;
6) расчет уже по этой модели значений суперпозиции тренда и циклической компоненты и расчет абсолютных и относительных ошибок.