Вероятностные распределения (стр. 2 из 2)

Полиномиальное распределение

Полиномиальное, или мультиномиальное, распределение естественно обобщает распределение. Если биномиальное распределение возникает при бросании монеты с двумя исходами (решетка или герб), то полиномиальное распределение возникает, когда бросается игральная кость и имеется больше двух возможных исходов. Формально — это совместное распределение вероятностей случайных величин X₁,...,X_k, принимающих целые неотрицательные значения n₁,...,n_k, удовлетворяющие условию n₁ + ... + n_k = n, c вероятностями:

Бета-распределение

Бета-распределение имеет плотность вида:

Стандартное бета-распределение сосредоточено на отрезке от 0 до 1. Применяя линейные преобразования, бета-величину можно преобразовать так, что она будет принимать значения на любом интервале.

Распределение экстремальных значений

Распределение экстремальных значений (тип I) имеет плотность вида:

Это распределение иногда также называют распределением крайних значений.

Распределение экстремальных значении используется при моделировании экстремальных событий, например, уровней наводнений, скоростей вихрей, максимума индексов рынков ценных бумаг за данный год и т. д.

Это распределение используется в теории надежности, например, для описания времени отказа электрических схем, а также в в актуарных расчетах.

Распределения Релея

Распределение Релея имеет плотность вида:

где b — параметр масштаба.

Распределение Релея сосредоточено в интервале от 0 до бесконечности

Распределение Вейбулла

Формально плотность распределения Вейбулла записывается в виде:

Иногда плотность распределения Вейбулла записывается также в виде:

где

b — параметр масштаба;

с — параметр формы;

е — константа Эйлера (2,718...).

Распределение Парето

В различных задачах прикладной статистики довольно часто встречаются так называемые усеченные распределения.

Например, это распределение используется в страховании или в налогообложении, когда интерес представляют доходы, которые превосходят некоторую величину c₀

Основные числовые характеристики распределения Парето:

Логистическое распределение

Логистическое распределение имеет функцию плотности:

где

а — параметр положения;

b — параметр масштаба;

е — число Эйлера (2,71...).

Хотеллинга Т² -распределение

Это непрерывное распределение, сосредоточенное на интервале (0, Г), имеет плотность:

где параметры n и k, n >_k >_1, называются степенями свободы.

Распределение Максвелла

Распределение Максвелла возникло в физике при описании распределения скоростей молекул идеального газа.

Это непрерывное распределение сосредоточено на (0,

) и имеет плотность:

Функция распределения имеет вид:

где Ф(x) — функция стандартного нормального распределения. Распределение Максвелла имеет положительный коэффициент асимметрии и единственную моду в точке

(то есть распределение унимодально).

Распределение Максвелла имеет конечные моменты любого порядка; математическое ожидание и дисперсия равны соответственно

и

Распределение Коши

У этого распределения иногда не существует среднего значения, т. к. плотность его очень медленно стремится к нулю при увеличении x по абсолютной величине. Такие распределения называют распределениями с тяжелыми хвостами.

Распределение Коши унимодально и симметрично относительно моды, которая одновременно является и медианой, и имеет функцию плотности вида:

с > 0 — параметр масштаба и а — параметр центра, определяющий одновременно значения моды и медианы.

Распределение Стьюдента

Пусть x₀, x₁,.., х_m — независимые, (0, s²) — нормально распределенные случайные величины:

Это распределение, известное теперь как распределение Стьюдента (кратко обозначается как t(m) -распределения, где т, число степеней свободы), лежит в основе знаменитого t-критерия, предназначенного для сравнения средних двух совокупностей.

Функция плотности f_t(x) не зависит от дисперсии õ² случайных величин

и, кроме того, является унимодальной и симметричной относительно точки х = 0.

Основные числовые характеристики распределения Стьюдента:

t-распределение важно в тех случаях, когда рассматриваются оценки среднего и неизвестна дисперсия выборки. В этом случае используют выборочную дисперсию и t-распределение.

F-распределение

Рассмотрим m₁ + m₂ независимых и (0, s²) нормально распределенных величин

и положим

Очевидно, та же самая случайная величина может быть определена и как отношение двух независимых и соответствующим образом нормированных хи-квадрат-распределенных величин

и то есть

Основные числовые характеристики F-распределения: