• геометрические, позволяющие по полученным значениям искомых оптимизируемых параметров воспроизвести объект с той степенью детализации, которая необходима проектировщику при решении данной конкретной задачи;
• энергетические, устанавливающие зависимость энергосиловых характеристик объекта от оптимизируемых параметров;
• механические, описывающие кинематические и динамические характеристики объекта (взаимное расположение узлов и деталей конструкции в процессе ее функционирования, внешние усилия, инерционные силы, силы трения, масса конструкции и т.п.);
• прочностные, обеспечивающие работоспособность конструкции в целом и отдельных ее узлов из условий прочности, жесткости, долговечности;
• конструкторско-технологические, описывающие специальные конструкторские требования, а также технологические ограничения;
• экономические, включающие в себя ограничения ресурсов проектной задачи, требования к сбыту, торговле, организационной системе.
В случае невозможности формализовать какое-либо из требований в виде математических зависимостей необходимы дополнительные теоретические и экспериментальные исследования.
Решение задачи линейного программирования состоит в отыскании наилучшего решения в допустимой области. Лучшее допустимое решение задачи называется оптимальным.
Значение целевой функции, соответствующее оптимальному решению, называется оптимальным значением задачи математического программирования. При использовании графического метода решения для изображения допустимой области следует начертить графики всех ограничений (прямые линии).
1.1.2. Модели линейного программирования.
Основной формой деятельности любого предприятия является производство тех или иных видов продукции. При этом в процессе производства предприятие потребляет (расходует) определенные виды ресурсов: труд, сырье, оборудование, денежные средства, природные ресурсы и т.п. Поскольку обычно размеры ресурсов ограничены, возникают определенные проблемы их рационального распределения. Если предприятие выпускает продукцию нескольких видов с использованием одних и тех же ресурсов (например, оборудование, трудовые ресурсы), то администрация должна решить, какое количество продукции каждого вида производить. Принятое решение будет направлено на удовлетворение определенной цели администрации. Для удовлетворения этой цели администрация располагает управляющими переменными решения. Переменные решения - это количество продукции каждого вида, которое необходимо произвести за данный период времени. [1]
1.1.3. Двойственный задачи линейного программирования.
Каждой задаче линейного программирования соответствует другая задача, называемая двойственной или сопряженной по отношению к исходной. Теория двойственности весьма полезна при проведении качественных исследований задач линейного программирования, когда необходимо не только найти оптимальное решение задачи, но и оценить влияние на оптимальное решение изменений в параметрах, представляющих собой исходную информацию задачи.
1.1.4. Модели целочисленного линейного программирования.
Существует большое число задач управления, в которых управляющие переменные по самому смыслу решаемой проблемы могут быть только целыми числами. Примерами могут служить задачи, связанные с определением численности трудовых ресурсов (число работающих должно выражаться целым числом), решение задач об оптимальном распределении единиц подвижного состава на транспортных маршрутах города (на маршруте не может находиться, скажем, 3,5 трамвая), оптимизация распределения станочного парка между цехами предприятия и т.п. Такого рода задачи должны формулироваться как задачи целочисленного программирования. Следует заметить, что зачастую такого рода задачи на практике решают как обычные, с непрерывными параметрами, поскольку используемые методы оптимизации в таком случае гораздо более просты. Однако, несмотря на эффективность такого подхода, в ряде ситуаций он может привести к существенным ошибкам, поскольку полученное таким способом решение может даже оказаться недопустимым.
1.1.5. Нелинейные модели.
Имеется много данных об успешном использовании моделей линейного программирования в различных задачах управления. Однако анализ моделей линейного программирования может вызвать сомнения в адекватности строго линейных моделей многим реальным ситуациям. Легко может создаться впечатление, что при линейном подходе игнорируются такие явления, как: эффективность или неэффективность укрупнения операций в многопродуктовых моделях, отсутствие аддитивности объемных показателей при составлении химических смесей; влияние объема реализации на цену реализации, а, следовательно, на выручку от реализации, то есть имеется множество задач, в которых предположение о линейности целевой функции и ограничений оказывается некорректным. В ряде ситуаций удается достаточно эффективно линеаризовать нелинейные компоненты модели. Однако построить хорошее линейное приближение практически невозможно, если существует широкий диапазон допустимых решений.
Хотя применение математического программирования в преобладающем большинстве реальных ситуаций сводится к моделям линейной аппроксимации, а не к нелинейным моделям в явном их виде, значимость нелинейного программирования и его использования постоянно возрастает. Это обусловлено растущим уровнем потребностей в надежном адекватном моделировании сложных управленческих задач, а также появлением современных программных средств нелинейной оптимизации.
1.1.6. Модели динамического программирования.
Важным свойством оптимальных решений, получаемых на основе описанных в предыдущих разделах математических моделей, является их устойчивость во времени. Ясно, что во многих задачах основные параметры и ограничения, такие, как сырьевые и людские ресурсы, доход с единицы продукции, меняются во времени, что определяет динамический характер таких задач. Действительно, увеличение длительности планового периода может существенно повлиять на правильность текущего выбора. Это наглядно было видно в рассмотренной задаче распределения средств на рекламу.
Следует отметить, что динамическая задача не сводится полностью к задаче оптимизации для последовательных периодов времени, рассматриваемых изолированно друг от друга. Так, например, если, решая задачу рационального выбора ингредиентов для комбикорма, фермер допускает некоторое ослабление требований к составу пищевой смеси в течение одного периода, рассчитывая на компенсацию в последующие периоды, когда будут более благоприятны цены на компоненты корма, то возникает типичная задача динамического программирования. При этом очевидно, что в такой оптимизационной задаче не удастся представить модель как простую совокупность невзаимосвязанных задач оптимизации для каждого периода времени.
Общим для всех моделей этой категории является то, что текущие управляющие решения "проявляются" как в период, относящийся непосредственно к моменту принятия решения, так и в последующие периоды. Следовательно, наиболее важные экономические последствия проявляются в разные периоды, а не только в течение одного периода. Такого рода экономические последствия, как правило, оказываются существенными в тех случаях, когда речь идет об управляющих решениях, связанных с возможностью новых капиталовложений,
увеличения производственных мощностей или обучения персонала с целью создания предпосылок для увеличения прибыльности или сокращения издержек в последующие периоды.
Типичными областями применения моделей динамического программирования при принятии решений являются:
• Разработка правил управления запасами, устанавливающих момент пополнения запасов и размер пополняющего заказа.
• Разработка принципов календарного планирования производства и выравнивания занятости в условиях колеблющегося спроса на продукцию.
• Определение необходимого объема запасных частей, гарантирующего эффективное использование дорогостоящего оборудования.
• Распределение дефицитных капитальных вложений между возможными новыми направлениями их использования.
• Выбор методов проведения рекламной кампании, знакомящей покупателя с продукцией фирмы.
• Систематизация методов поиска ценного вида ресурсов.
• Составление календарных планов текущего и капитального ремонта сложного оборудования.
• Разработка долгосрочных правил замены выбывающих из эксплуатации основных фондов.
Процессы принятия решений, которые выражаются упомянутыми выше моделями, отражают динамику изменяющихся экономических условий и, с этой точки зрения, могут быть отнесены к числу микроэкономических. Эти модели весьма важны, поскольку во многих реально функционирующих системах еженедельно требуется принимать тысячи подобных решений. Вместе с тем, отражая реальную динамику функционирования системы, они позволяют тем самым осуществить более реалистичное долгосрочное планирование.
Общей особенностью всех моделей динамического программирования является то, что здесь задача принятия решений сводится к получению рекуррентных соотношений.
1.2. Модели сетевого планирования.
Сетевые оптимизационные модели, обычно являющиеся частными случаями моделей линейного программирования, имеют две важные особенности. Во-первых, часто они относятся к задачам распределения продукции, следовательно, имеют экономический смысл для многих фирм, располагающих несколькими предприятиями и хранящих запасы продукции на складах, размещенных в различных пунктах. Во-вторых, математическая структура сетей идентична структуре других операционных моделей, на первый взгляд не имеющих с ними ничего общего.