Середны величини (стр. 2 из 4)
Зв'язок методу середніх і методу групувань полягає також в тому, що загальні середні, обчислені для якісно однорідних одиниць, в багатьох випадках повинні доповнюватися груповими середніми, так як загальні середні можуть не розкрити повністю закономірності досліджуваних процесів.
Загальні середні потрібно доповнювати груповими середніми в тих випадках, коли варіаційна ознака суттєво відрізняється по окремих групах і в порівнюваних групах існує різне співвідношення груп. В таких випадках розмір загальної середньої визначається через розміри групових середніх і структуру досліджуваної сукупності.
Особливого значення набуває доповнення загальної середньої груповими середніми при вивченні взаємозв’язку і взаємозалежності одних показників і ознак від інших. При використанні середніх потрібно також пам’ятати, що середні величини не можуть і не повинні підміняти індивідуальні показники, а доповнюватись вивченням кращих і гірших одиниць сукупності.
Із всього вищенаведеного випливає, що середні в статистиці потрібно застосовувати на основі і в органічній єдності з методом групувань, який, в свою чергу, дозволяє відмежувати якісно однорідні сукупності для доповнення загальної середньої груповими середніми, а також рядами розподілу, в яких розкриваються передові досягнення або недоліки. Іншими словами, наукове застосування середніх в статистиці повинно виходити з діалектичного поєднання категорій загального і індивідуального, масового і одиничного.
1.2. Основні види середніх величин.
Середні величини діляться на два великих класа:
1) степеневі середні. До них відносяться такі найбільш відомі і часто вживані види, такі як:
· середня арифметична;
· середня геометрична;
· середня квадратична;
· середня гармонійна;
· середня хронологічна.
2) структурні середні. До них відносяться мода і медіана.
Середні величини відрізняються в залежності від урахування ознак, що впливають на усереднювань величину: Якщо середня величина розраховується для ознаки, без урахування впливу на нього будь-яких інших ознак, то така середня величина називається середньої незваженої або простої середньої.
Якщо є відомості про вплив на осредняемий ознака деякого ознаки або декількох ознак, які необхідно врахувати при розрахунку для коректного розрахунку середньої величини, то розраховується середня зважена.
За формою розрахунку виділяють кілька видів середніх величин, які утворені з єдиної степеневою середньої величини. Степенева середня величина має форму:
,
де - середнє значення досліджуваного явища;
k - показник ступеня середньої;
x - поточне значення (варіант) осредняемого ознаки;
i-i-тий елемент сукупності;
n - число спостережень (число одиниць сукупності).
Вибір форми середньої обумовлений вихідним співвідношенням, суть якого наводилася вище. Існує порядок розрахунку середньої величини:
1. Визначення вихідного співвідношення для досліджуваного показника.
2. Визначення відсутніх даних для розрахунку вихідного співвідношення.
3. Розрахунок середньої величини.
Розглянемо деякі види середніх, які найбільш часто використовуються в статистиці.
1.2.1. Середня арифметична
Одним з найпоширеніших видів середньої є середня арифметична. Вона застосовується у тих випадках, коли обсяг варіюючої ознаки для всієї сукупності являє собою суму індивідуальних значень її окремих елементів. Середня арифметична розраховується за такою формулою:
= 
де n – кількість одиниць сукупності,
x – варіруюча ознака.
Для того щоб розрахувати середню арифметичну, потрібно скласти всі окремі варіанти (індивідуальні значення ознаки) і суму поділити на їхню кількість.
Наприклад, відомо, що тарифний розряд робітників бригади, яка складається з восьми чоловік, становить : 3,4,3,5,4,5,4,4. Треба знайти середній рівень кваліфікації робітників бригади. Для цього складемо тарифний розряд кожного робітника і добуту суму поділимо на кількість робітників:
= 
Середня арифметична буває двох видів – проста і зважена.
Проста середня арифметична застосовується у випадках, коли є окремі значення ознаки, тобто дані не згруповані. Якщо дані представлені у вигляді рядів розподілу або угруповань, то середня обчислюється інакше.
Проста середня арифметична розраховується за такою формулою:
= 
, де n – кількість одиниць сукупності, x – варіруюча ознака.Середня арифметична зважена обчислюється за формулою:
= 
де n – кількість одиниць сукупності, x – варіруюча ознака.
Таким чином, середня арифметична зважена дорівнює сумі зважених варіантів ознаки, поділена на суму ваг. Вона застосовується в тих випадках, коли кожна варіанта ознаки зустрічається декілька (нерівну) кількість разів.
Приклад. Знайти середній рівень кваліфікації робітників бригади.
| Ряд розподілу робітників за тарифним розрядом | |||||
| Тарифний розряд робітників | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| К-сть робітників | - | 2 | 4 | 2 | - |
Властивості середньої арифметичної :
1.Якщо варіанти збільшити (зменшити) у одне і те саме число разів, то середня арифметична збільшиться (зменшиться) у стільки ж разів.
2.Якщо варіанти збільшити (зменшити) на одне і те саме число, то середня арифметична збільшиться (зменшиться) на те саме число.
3.Якщо окремі значення варіант збільшити (зменшити) на величину А або в k разів, то середня зміниться відповідно. Наприклад, якщо грошові внески громадян до ощадбанку скоригувати на рівень інфляції, що становить 1,2, то середній розмір внеску збільшиться відповідно в 1,2 рази.
4. Середня суми (різниці) двох або декількох величин дорівнює сумі (різниці) їх середніх: 
5. Загальний множник індивідуальних значень ознаки може бути винесений за знак середньою: 
2.2.2. Середня гармонійна
Середня гармонічна тісно пов’язана із середньою арифметичною і обчислюється як відношення суми ознак до суми добутків цих ознак на обернені значення варіант.
Середня гармонійна застосовується в тих випадках, коли нам не відомі самі варіанти, а відомі або їхні обернені числа або добуток одиниць сукупності на значення ознаки.
Середню гармонійну використовують, наприклад, для визначення середніх затрат праці, часу, матеріалів на одиницю продукції, на одну деталь за двома (трьома тощо) підприємствами, робітниками, які зайняти виготовленням одного й того ж виду продукції, однієї й тієї ж деталі.
Приклад. Маємо дані про витрати часу в годинах на виготовлення однієї деталі кожним з трьох робітників: ½, 1/3, 1/7. Треба обчислити середні витрати часу на виготовлення однієї деталі.
Середня гармонійна буває зважена і проста.
У випадку розрахунку середньої гармонійної зваженої її обчислюють тоді, коли відомі дані про загальний обсяг ознаки (z = xf), а також індивідуальні значення ознаки (х), невідома частота (f). Формули мають такий вигляд:
.1.2.3. Середня геометрична
Середню геометричну застосовують у тих випадках, коли обсяг сукупності формується не сумою, а добутком індивідуальних значень ознак. Цей вид середньої використовується здебільшого для обчислення середніх коефіцієнтів (темпів) зростання в рядах динаміки. Так, у випадку однакових часових інтервалів між рівнями динамічного ряду середня геометрична проста має такий вигляд:
де K - темпи зростання, n – кількість інтервалів.
Приклад. Кількість зареєстрованих злочинів за чотири роки зросла у 1,57 рази, у тому числі за перший рік – у 1,08; за другий – у 1,1; за третій – у 1,18; за четвертий – у 1,12 рази. Середньорічний темп зростання кількості зареєстрованих злочинів становить:
= 
= 
=1,12 рази, тобто число зареєстрованих злочинів зростало щорічно у середньому на 12 %.