Шпаргалка по Маркетингу 9 (стр. 6 из 6)

1. Аргумент Х является НСВ, которая задана дифферен.ф-цией

. В данном случае матем.ожидание может быть рассчитано двумя способами:

1) Можно рассчитать дифферен.ф-цию q(y) случайной величины Y, а затем применить формулу:

2) Если расчет дифферен.ф-ции q(y) является достаточно трудоемким, то матем.ожидание ф-ции

можно найти по формуле

Если возможные значения СВ Х принадлежат интервалу (a;b), то матем.ожидание находят по формуле

38. Функция двух случайных величин.Распределение суммы независимых слагаемых.

Если каждой паре возможных значений случайных величин Х и Y соответ-ствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y : Z = φ(X, Y).

Рассмотрим в качестве такой функции сумму Х + Y. В некоторых случаях можно найти ее закон распределения, зная законы распределения слагаемых.

1) Если X и Y – дискретные независимые случайные величины, то для определения закона распределения Z = Х + Y нужно найти все возможные значения Z и соответствующие им вероятности.

2) Если X и Y – непрерывные независимые случайные величины, то, если плотность вероятно-сти хотя бы одного из аргументов задана на (-∞, ∞) одной формулой, то плотность суммы g(z) можно найти по формулам

где f₁(x), f₂(y) – плотности распределения слагаемых. Если возможные значения аргументов неотрицательны, то

Замечание. Плотность распределения суммы двух независимых случайных величин называют композицией.

39. Показательное распределение (экспоненциальное)

Это распределение которое описывается деф.функцией вида:

Где

-параметр деф.функции и , таким образом показательное распределение в отличии от нормального задается только . В качестве примера НСВ которая подчиняется показательному закону распределения можно привести временной интервал появления 2х последовательных событий простейшего потока.

Интегральная функция:

На практике часто становится задача отыскания вероятности попадания в (a,b) НСВ Х подчиняющейся показательному закону распределения вероятности который задан интегральной функцией вида

Для решения данной задачи

с учетом того что получаем значение функции затабулировано.

Найдем Мат.ожидание НСВ Х распределенной по показательному закону:

в результате 2го интегрирования получаем

Дисперсия НСВ Х распределенной по показательному закону:

полученный интеграл находим двукратного применения формулы интегрирования по частям

Среднеквадратическое отклонение НСВ Х:

40. Функцией надежности R(t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы устройства в течение времени t. Функция надежности.

Пусть элемент (то есть некоторое устройство) начинает работать в момент времени t₀ = 0 и должен проработать в течение периода времени t. Обозначим за Т непрерывную случайную величину – время безотказной работы элемента, тогда функция F(t) = p(T > t) определяет вероятность отказа за время t. Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время равна

R(t) = p(T > t) = 1 – F(t).

Эта функция называется функцией надежности.

Показательный закон надежности.

Часто длительность безотказной работы элемента имеет показательное распределение, то есть

F(t) = 1 – e^-λt .

Следовательно, функция надежности в этом случае имеет вид:

R(t) = 1 – F(t) = 1 – (1 – e^-λt) = e^-λt .

Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством

R(t) = e^-λt ,

где λ – интенсивность отказов.

41. Интегральная функция распределения двумерной СВ.

Пусть (ХУ) –двумерная СВ а ху пара действительных чисел. Обозначим через F(x,y) – вероятность события состоящего в том что СВ Х примет значение <х и в тоже время СВ У <у при изменении чисел х, у будет изменятся F(x,y) т.е F(x,y) рассматривается как функция от х и у.

Интегральная функция распределения двумерной СВ – это функция F(x,y) которая для каждой пары чисел (x,y) определяет вероятность того что СВ Х примет значение<х и в тоже время СВ У <у :

Свойства:

1)значение интегральной функции F(x,y) удовлетворяет:

. Док-во: в основе данного свойства лежит определение интегральной функции как вероятности т.е вероятность – это всегда неотрицательное число и меньше 1

2) интегральная функция F(x,y) является неубывающей функцией по каждому аргументу:

если x₂>x₁ если y₂>y₁

3) для интегральной функции распределения двумерной СВ справедливо:

; ; ;

4) при

интегральная функция F(x,y) системы двух СВ становится интегральной функцией компонента х: , при интегральная функция F(x,y) системы двух СВ становится интегральной функцией компонента y .

При помощи интегральной функции F(x,y) системы СВ Х и У можно рассматривать и рассчитать вероятность того что в результате эксперемента случайная точка попадает в полуполосу

. для определения вероятности попадания случайной точки в полуполосу у применяют формулу :

Для определения вероятности попадания случайной точки в полуполосу х:

следовательно вероятность попадания случайной точки в полуполосу рассчитывается как приращения интегральной функции системы 2х СВ по одному из аргументов.

42. Деф.функция двумерной НСВ.

Двумерная НСВ может быть задана не только при помощи интегральной но и при помощи деф.функции распределения вероятностей.

Деф.функция распределения двумерной НСВ Х и У это вторая смешенная частная производная от интегральная функции F(x,y):

Если известна деф.функция f(x,y) двумерной СВ то интегральную функцию F(x,y) можно рассчитать по формуле

Свойства:

1) деф.функция f(x,y) является неотрицательной

2) двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от деф.функции =1

3) если все возможные значения (x,y) принадлежат конечной области Д то

43. (1) Условные законы распределения

Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение, называется условным законом распределения.

Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения так и плотностью распределения.

Условная плотность распределения вычисляется по формулам:

Условная плотность распределения обладает всеми свойствами плотности распределения одной случайной величины.